文档内容
2019-2020学年九年级（上）第二次月考数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣3，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向下
B．该函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣7）
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．该函数图象与x轴有两个不同的交点，且分布在坐标原点两侧
3．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形
AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（ ）
A．2：1 B． ：1 C．3： D．3：2
4．如果要得到y＝x2﹣6x+7的图象，需将y＝x2的图象（ ）
A．由向左平移3个单位，再向上平移2个单位
B．由向右平移3个单位，再向下平移2个单位
C．由向右平移3个单位，再向上平移2个单位
D．由向左平移3个单位，再向下平移2个单位
5．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O．若
S ：S ＝4：25，则S 与S 的比是（ ）
△DOE △COA △BDE △CDE
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
6．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到
△ABC，连接BC，则BC的长为（ ）
1 1 1A． B． C．4 D．6
7．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零
件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的
长为（ ）
A．60mm B． mm C．20mm D． mm
8．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明
准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角
形的周长为（ ）
A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，
CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64° B．120° C．122° D．128°10．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE
的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．4
11．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点
E，若AB＝4，BM＝2，则△DEF的面积为（ ）
A．9 B．8 C．15 D．14.5
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴
相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜
0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为4+c，其中正确的结论
个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中
心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是
．14．圆锥的底面半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的高是 ．
15．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x＝﹣3，此
二次函数的解析式为 ．
16．如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE，OF和 上，且
点A是线段OB的中点，则 的长为 ．
17．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC＝6，对角线AC、BD交于E点，且AB＝
BD，EC＝1，则AD的长是 ．
18．如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，P，Q，B，C均为格点，线段PQ、BC相
交于点A．
（Ⅰ）PA：AQ＝ ；
（Ⅱ）尺规作图：设∠QAB＝α，将线段AB绕点A逆时针旋转α+90°的角，点B的对
应点为B′，请你画出点B′．三．解答题（共7小题）
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（1，﹣9），且经过点（3，﹣5）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如果点（﹣1，m），（n，7）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
20．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；
（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作
OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积
S．
22．已知：如图，BD是半圆O的直径，A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线
于点C，交半圆O于点F，且E为弧DF的中点．
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）若BC＝8，BE＝6 ，求半径的长．23．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每
天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价
部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y
（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售
利润最大，并求出最大利润．
24．如图，点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），将线段AB的中点绕点A
按顺时针方向旋转90°得点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与
直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连接AC、BC、CD，设点A的横
坐标为t．
（1）线段AB与AC的位置关系是 ；数量关系是 ．
（2）当t＝2时，求CF的长；
（3）当t为何值时，点C落在线段BD上？求出此时点C的坐标；
（4）设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
25．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣
），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和 的值．
（3）点F （0，y）是y轴上一动点，当y为何值时， FC+BF的值最小．并求出这个
最小值．参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项符合题意．
故选：D．
2．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣3，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向下
B．该函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣7）
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．该函数图象与x轴有两个不同的交点，且分布在坐标原点两侧
【分析】根据二次函数的性质解题．
【解答】解：A、由于y＝x2﹣4x﹣3中的a＝1＞0，所以该抛物线的开口方向是向上，
故本选项不符合题意．
B、由y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7知，该函数图象的顶点坐标是（2，﹣7），故本选
项不符合题意．
C、由y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7知，该抛物线的对称轴是x＝2且抛物线开口方向向
上，所以当x＞2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意．
D、由y＝x2﹣4x﹣3知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，则该抛物线与x轴有
两个不同的交点；设a、b是该抛物线与x轴交点横坐标，则ab＝﹣3＜0，所以两个不
同的交点分布在坐标原点两侧，故本选项符合题意．
故选：D．
3．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形
AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（ ）A．2：1 B． ：1 C．3： D．3：2
【分析】根据折叠性质得到AF＝ AB＝ a，再根据相似多边形的性质得到 ＝ ，
即 ＝ ，然后利用比例的性质计算即可．
【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF＝ AB＝ a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴（ ）2＝2，
∴ ＝ ．
故选：B．
4．如果要得到y＝x2﹣6x+7的图象，需将y＝x2的图象（ ）
A．由向左平移3个单位，再向上平移2个单位
B．由向右平移3个单位，再向下平移2个单位
C．由向右平移3个单位，再向上平移2个单位
D．由向左平移3个单位，再向下平移2个单位
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：函数y＝x2图象向右平移3个单位，得抛物线y＝（x﹣3）2，再向下平移
移2个单位可得到抛物线y＝（x﹣3）2﹣2＝x2﹣6x+7
故选：B．
5．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O．若
S ：S ＝4：25，则S 与S 的比是（ ）
△DOE △COA △BDE △CDEA．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∵S ：S ＝4：25，
△DOE △COA
∴（ ）2＝ ，
∴ ＝ ，
∵DE∥AC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴S 与S 的比＝2：3，
△BDE △CDE
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到
△ABC，连接BC，则BC的长为（ ）
1 1 1
A． B． C．4 D．6
【分析】根据旋转的性质得出AC＝AC，∠BAC＝90°，进而利用勾股定理解答即可．
1 1
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ABC，
1 1
∴AC＝AC＝2，∠CAC＝60°，
1 1
∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝90°，
1∴在Rt△BAC中，BC＝ ＝ ．
1 1
故选：B．
7．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零
件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的
长为（ ）
A．60mm B． mm C．20mm D． mm
【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，设AD交PN于点K．
∵PM：PQ＝3：2，
∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．
∵四边形PQNM是矩形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PM，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得k＝20mm，
∴PM＝3k＝60mm，故选：A．
8．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明
准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角
形的周长为（ ）
A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
【分析】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．
【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一
个切点，BC＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故选：B．
9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，
CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64° B．120° C．122° D．128°
【分析】根据圆周角定理可求∠CAD＝32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根
据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
【解答】解：在⊙O中，∵∠CBD＝32°，
∴∠CAD＝32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC＝64°，
∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣64°）÷2＝58°，
∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°．
故选：C．
10．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE
的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．4
【分析】连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，证出△COB是等边三角形，根据锐角三角函
数的定义求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴∠OCM＝60°，
∴OM＝OC•sin∠OCM，
∴OC＝ ＝ ．
∵∠OCN＝30°，
∴ON＝ OC＝ ，CN＝2，
∴CE＝2CN＝4，∴该圆的内接正三角形ACE的面积＝3× ＝4 ，
故选：D．
11．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点
E，若AB＝4，BM＝2，则△DEF的面积为（ ）
A．9 B．8 C．15 D．14.5
【分析】由勾股定理可求AM的长，通过证明△ABM∽△EMA，可求AE＝10，可得DE＝
6，由平行线分线段成比例可求DF的长，即可求解．
【解答】解：∵AB＝4，BM＝2，
∴AM＝ ＝ ＝2 ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，
∴∠EAM＝∠AMB，且∠B＝∠AME＝90°，
∴△ABM∽△EMA，
∴ ，
∴
∴AE＝10，
∴DE＝AE﹣AD＝6，
∵AD∥BC，∴ ，
∴ ＝3，
∵DF+CF＝4，
∴DF＝3，
∴S ＝ DE×DF＝9，
△DEF
故选：A．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴
相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜
0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为4+c，其中正确的结论
个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系，利用开口方向得出a的符号，结合图象与x
轴交点位置得出c的符号，再结合对称轴位置得出b的符号，结合图象与x轴交点位置
分别判断①，②，③，再结合已知AO＝OC，即可得出BO＝4+c，进而判断④，即可求出
答案．
【解答】解：由抛物线的开口可知：a＜0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＜0，
由抛物线的对称轴可知：﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
令x＝3，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②错误；
∵OA＝OC＜1，∴c＞﹣1，故③正确；
观察图象可知关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）＝0的两根：一个根在0与1之间，一个
根在3与4之间，由OC＝OA，则OB＝4+c，即关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个
根为4+c，故④正确；
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中
心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是
（ ， ） ．
【分析】由题意可得OA：OD＝2：3，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，
又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：
3，
∴OA：OD＝2：3，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA＝1，
∴OD＝ ，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE＝OD＝ ．
∴E点的坐标为：（ ， ）．
故答案是：（ ， ）．
14．圆锥的底面半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的高是 ．【分析】设圆锥的母线长为R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到R，进而利用勾股定理
解答即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，
根据题意得2π•1＝ ，解得R＝4，
∵θ＝90°，
∴r＝1，
∴R＝4，
∴h＝ ．
故答案为：
15．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x＝﹣3，此
二次函数的解析式为 y ＝﹣ （ x + 7 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两个交点坐标，然后把顶点坐标（﹣
3，4）代入函数解析式y＝a（x+7）（x﹣1）求得系数a的值．
【解答】解：∵该函数图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x＝﹣3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标是（﹣7，0）、（1，0）．
故设该抛物线解析式为y＝a（x+7）（x﹣1）（a≠0）．
把顶点（﹣3，4）代入得到：4＝a（﹣3+7）（﹣3﹣1），
解得a＝﹣ ．
则该二次函数解析式为：y＝﹣ （x+7）（x﹣1）．
故答案是：y＝﹣ （x+7）（x﹣1）．
16．如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE，OF和 上，且
点A是线段OB的中点，则 的长为 π ．【分析】连接OC，求出OB长，根据勾股定理求出OC，求出∠DOA，根据弧长公式求出
即可．
【解答】解：连接OC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°＝∠DAO，
∵A为OB的中点，
∴OB＝2AB＝4，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝ ＝ ＝2 ，
∵A为OB的中点，AB＝AD＝2，
∴OA＝AD＝2，
∵∠DAO＝90°，
∴∠DOA＝∠ADO＝45°，
∴ 的长为 ＝ π，
故选：D．
17．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC＝6，对角线AC、BD交于E点，且AB＝
BD，EC＝1，则AD的长是 ．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据三角形的相似可以求得CD的长，然后
根据勾股定理可以求得AD的长．
【解答】解：连接BO交AD于点F，连接OD，
∵BA＝BD，OA＝OD，
∴BF是线段AD的垂直平分线，
∴BF⊥AD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
即AD⊥DC，
∴BF∥CD，
∴△BOE∽△DCE，
∴ ，
∵AC＝6，EC＝1，
∴OB＝3，OC＝3，
∴OE＝2，
∴ ，
解得，CD＝ ，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AC＝6，CD＝ ，
∴AD＝ ，
故答案为： ．18．如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，P，Q，B，C均为格点，线段PQ、BC相
交于点A．
（Ⅰ）PA：AQ＝ 5 ： 4 ；
（Ⅱ）尺规作图：设∠QAB＝α，将线段AB绕点A逆时针旋转α+90°的角，点B的对
应点为B′，请你画出点B′．
【分析】（Ⅰ）取格点K．连接PK．由CQ∥PK，可得PA：AQ＝PK：CQ＝2.5：2＝5：
4；
（Ⅱ）如图2中，取格点T、L、H、R，连接TL，HR交于点S，连接AS，在AS上截取
AB′＝AB即可．线段AB′即为所求；
【解答】解：（Ⅰ）取格点K．连接PK．
∵CQ∥PK，
∴PA：AQ＝PK：CQ＝2.5：2＝5：4，
故答案为5：4．（Ⅱ）如图2中，取格点T、L、H、R，连接TL，HR交于点S，连接AS，在AS上截取
AB′＝AB即可．线段AB′即为所求；
三．解答题（共7小题）
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（1，﹣9），且经过点（3，﹣5）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如果点（﹣1，m），（n，7）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
【分析】（1）根据题意解方程即可得到结论；
（2）把x＝﹣1或y＝7分别代入函数解析式，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（1，﹣9），且经过点
（3，﹣5），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣9，
∴﹣5＝a（3﹣1）2﹣9，
解得：a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣9；
（2）当x＝﹣1时，m＝（﹣1﹣1）2﹣9＝﹣5，当y＝7时，（n﹣1）2﹣9＝7，
解得：n＝5或﹣3．
20．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；
（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
【分析】（1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°
可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．（2）由相似三角形的性质得到 ，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等
量代换得到 ，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°．
∴∠ACP＝∠PDB＝120°．
∵∠APB＝120°，
∴∠A+∠B＝60°．
∵∠PDB＝120°，
∴∠DPB+∠B＝60°．
∴∠A＝∠DPB．
∴△ACP∽△PDB．
（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，
∴ ，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC＝PD＝CD，
∴ ，
∴CD2＝AC•BD．
∵AC＝4，BD＝9，
∴CD＝6．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作
OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积
S．【分析】（1）根据∠D＝60°，可得出∠B＝60°，继而求出BC，判断出OE是△ABC的
中位线，就可得出OE的长；
（2）连接OC，将阴影部分的面积转化为扇形FOC的面积．
【解答】解：（1）∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°（圆周角定理），
又∵AB＝6，
∴BC＝3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝ BC＝ ；
（2）连接OC，
则易得△COE≌△AFE，
故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，
S ＝ ＝ π．
扇形FOC即可得阴影部分的面积为 π．
22．已知：如图，BD是半圆O的直径，A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线
于点C，交半圆O于点F，且E为弧DF的中点．
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）若BC＝8，BE＝6 ，求半径的长．
【分析】（1）要证AC是⊙O的切线，只要连接OE，再证DE⊥AC即可；
（2）根据相似三角形的性质即可求出结论．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵E为 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠OBE＝∠CBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∵BC⊥AC，
∴∠C＝90°，
∴∠AEO＝∠C＝90°，即OE⊥AC，
又∵OE为半圆O的半径，
∴AC是半圆O的切线；
（2）∵E为 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠OBE＝∠CBE，
∵∠BED＝∠C＝90°，
∴△BDE∽△BEC，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∴BD＝9，
∴半径的长为 ．
23．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每
天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价
部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y
（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售
利润最大，并求出最大利润．
【分析】（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到w＝（x﹣6）（﹣1x+280）＝﹣10（x﹣17）2+1210，根据二次函数
的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝200﹣10（x﹣8）＝﹣10x+280，
故y与x的函数关系式为y＝﹣10x+280；
（2）根据题意得，（x﹣6）（﹣10x+280）＝720，解得：x＝10，x＝24（不合题意舍
1 2
去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣6）（﹣10x+280）＝﹣10（x﹣17）2+1210，
∵﹣10＜0，
∴当x＜17时，w随x的增大而增大，
当x＝12时，w ＝960，
最大
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
24．如图，点A是x轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与
直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连接AC、BC、CD，设点A的横
坐标为t．
（1）线段AB与AC的位置关系是 A B ⊥ A C ；数量关系是 A B ＝ 2A C ．
（2）当t＝2时，求CF的长；
（3）当t为何值时，点C落在线段BD上？求出此时点C的坐标；
（4）设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
【分析】（1）根据“线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C”推知AB与
AC的关系；
（2）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF＝ OA＝ t，由此求出CF的值；
（3）由 Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得 AF的长度；若点 C落在线段 BD上，则有
△DCF∽△DBO，根据相似比例式列方程求出t的值；
（4）有三种情况，需要分类讨论：当0＜t≤8时，如题图1所示；当t＞8时，如答图
1所示；t＝8时，如答图2所示；．
【解答】解：（1）∵如图，将线段AB的中点绕点A按顺时针方向旋转90°得点C，
∴AB＝2AC，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC．
故答案是：AB＝2AC，AB⊥AC；
（2）∵∠BAO+∠CAF＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAF，
∵∠AOB＝∠AFC＝90°，
∴Rt△ACF∽Rt△BAO，∴ ＝ ．
∵AB＝2AC，
∴CF＝ OA＝ t．
当t＝2时，CF＝1；
（3）由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴ ＝ ，
∴AF＝ OB＝2，
∴FD＝AF＝2，．
∵点C落在线段BD上，
∴△DCF∽△DBO，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
整理 得t2+4t﹣16＝0
解得 t＝2 ﹣2或t＝﹣2 ﹣2（不合题意，舍去）
∴当t＝2 ﹣2时，点C落在线段BD上．
此时，CF＝ t＝ ﹣1，
OF＝t+2＝2 ，
∴点C的坐标为（2 ，﹣1+ ）；
（4）①当0＜t≤8时，如题图1所示：
S＝ BE•CE＝ （t+2）•（4﹣ t）＝﹣ t2+ t+4；
②当t＞8时，如答图1所示：CE＝CF﹣EF＝ t﹣4S＝ BE•CE＝ （t+2）•（ t﹣4）＝ t2﹣ t﹣4；
③如答图2，当点C与点E重合时，CF＝OB＝4，可得t＝OA＝8，此时S＝0．
25．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣
），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和 的值．
（3）点F （0，y）是y轴上一动点，当y为何值时， FC+BF的值最小．并求出这个
最小值．【分析】（1）将点C、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）当△AOC∽△AEB时， ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，求出y＝﹣ ，由
E
△AOC∽△AEB得： ＝ ＝ ，即可求解；
（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，
即可求解．
【解答】解：（1）由题可列方程组： ，
解得：
∴抛物线解析式为：y＝ x2﹣ x﹣2；
（2）∵抛物线y＝ x2﹣ x﹣2的图象与x轴交于A、B两点，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴AO＝1，BO＝3，
∴∠AOC＝90°，AC＝ ，AB＝4，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
则 ，解得： ，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；
当△AOC∽△AEB时
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∵S ＝1，
△AOC
∴S ＝ ，
△AEB
∴ AB×|y|＝ ，AB＝4，则y＝﹣ ，
E E
则点E（﹣ ，﹣ ）；
由△AOC∽△AEB得： ＝ ＝ ，
∴ ＝ ；
（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CFsin∠FCG＝ CF，
∴ CF+BF＝GF+BF≥BE，
当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，
由（2）可知∠ABE＝∠ACO
∴BE＝ABcos∠ABE＝ABcos∠ACO＝4× ＝ ，
|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3× ＝ ，
∴当y＝﹣ 时，即点F（0，﹣ ）， CF+BF有最小值为 ；
