文档内容
2019-2020 学年人大附中朝阳学校九年级（上）月考数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2
2．“垃圾分类，从我做起”，以下四幅图案分别代表四类垃圾，其中图案是中心对称图形
的是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝7 C．（x+2）2＝7 D．（x+2）2＝1
4．抛物线y＝ x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（
）
A．y＝ （x+3）2﹣2 B．y＝ （x﹣3）2+2
C．y＝ （x﹣3）2﹣2 D．y＝ （x+3）2+2
5．如图，A，B，C是 O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（ ）
⊙
A．35° B．55° C．65° D．70°
6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点
E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（ ）A．60° B．65° C．70° D．75°
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8
＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，
以相同的速度沿 O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝
DB．两人同时开⊙始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间
x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（ ）A．小红的运动路程比小兰的长
B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇
C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D
D．在4.84秒时，两人的距离正好等于 O的半径
二．填空题（共8小题） ⊙
9．方程x2﹣2x＝0的根是 ．
10．如图， O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的
距离等于⊙ ．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B （1，﹣2），
则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为 ．
12．一个斜边长是8的Rt△AEC，一个斜边长是6的Rt△AFB，一个正方形AEDF，拼成一
个如图所示的Rt△BCD，则Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和是 ．13．如图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验的结果．
那么可以推断出如果小亚实际投掷一枚品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性
“凹面向上”的可能性．（填“大于”，“等于”或“小于”）．
14．若二次函数y＝2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a b（填
“＜”或“＝”或“＞”）．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B
的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交
于点E．现有下列结论： a＞0； b＞0； 4a+2b+c＜0； AD+CE＝4．其中所有
正确结论的序号是 ①． ② ③ ④
16．如图，一段抛物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C ，它与x轴交于点O，A ；将
1 1
C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点A ；将C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点
1 1 2 2 2 2 3
A ；…，如此进行下去，得到图形
3
（1）请写出抛物线C 的解析式： ．
2
（2）若点P（4037.5，a）在图形G上，则a＝ ．
三．解答题（共12小题）
17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）
18．下面是小明主设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：直线l．
求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．
作法：如图，
在直线l上任取两点O，A；
①以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；
②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交 于点C；
③连接AC，BC．
④所以△ABC就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：在 O中，AB为直径，
∴∠ACB＝⊙90°（ ），（填推理的依据）
连接OC ①
∵OA＝OC＝AC，
∴∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°（ ），（填推理的依据）
19．已知一个二次函②数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4＜x＜﹣2时，直接写出y的取值范围．20．党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡
导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会
主义核心价值观的基本内容．其中：
“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；
“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；
“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．
小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸
板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取
一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．
（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是 ；
（2）请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层
面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，、△ABC的顶点都
在格点上，建立平面直角坐标系
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ．
（2）以原点 O 为中心，将△ABC 逆时针旋转 90°，得到△A B C 请在网格内画出
1 1 1
△A B C ，并写出点A 和B 的坐标 ， ．
1 1 1 1 122．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
23．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD
到点F，使▱DF＝CE，连接AF．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝45°，求OF的长度．
24．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这
段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离
进行测试，测得的数据如下表
刹车时车速 0 5 10 15 20 25 30
（千米/时）
刹车距离 0 0.1 0.3 0.6 1 1.6 2.1
（米）
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，
描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；
（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据
的函数表达式；
（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知
这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．
25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝40°，点D是线段BC上的动点，将线段AD
绕点A顺时针旋转50°至AD'，连接BD'．已知AB＝2cm，设BD为x cm，BD'为y cm．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面
是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 0.5 0.7 1.0 1.5 2.0 2.3
y/cm 1.7 1.3 1.1 0.7 0.9 1.1
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数
的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
线段BD'的长度的最小值约为 cm；
若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是 ．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n（m≠0）与x轴交于点A，B，点A
的坐标为（﹣2，0）．
（1）写出抛物线的对称轴；（2）直线y＝ x﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．
分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；
①点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l
1
：y＝x+a和l
2
：y＝﹣x+b组成图
②形G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．
27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以
AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于
点G．
（1）若点D在线段BC上，如图1．
依题意补全图1；
①判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；
②（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB＝ ，则GE的长
为 ，并简述求GE长的思路．
28．在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+ ，0），对于线段AB和x轴上方的点
P给出如下定义：当∠APB＝60°时，称点P为AB的“等角点”．
（1）若t＝﹣ ，在点C（0， ），D（ ，1），E（﹣ ， ）中，线段AB的
“等角点”是 ；
（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN＝30°．
线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP＝90°，求点P的坐标；
①在 的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；
②若①线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是 ．
③参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2
【分析】由抛物线的顶点式y＝（x﹣h）2+k直接看出对称轴是x＝h．
【解答】解：∵抛物线的顶点式为y＝（x﹣1）2+2，
∴对称轴是x＝1．
故选：B．
2．“垃圾分类，从我做起”，以下四幅图案分别代表四类垃圾，其中图案是中心对称图形
的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．用配方法解方程x2+4x＝3，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝7 C．（x+2）2＝7 D．（x+2）2＝1
【分析】把方程两边都加上4，方程左边可写成完全平方式．
【解答】解：x2+4x+4＝7，
（x+2）2＝7．
故选：C．
4．抛物线y＝ x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（
）
A．y＝ （x+3）2﹣2 B．y＝ （x﹣3）2+2C．y＝ （x﹣3）2﹣2 D．y＝ （x+3）2+2
【分析】变化规律：左加右减，上加下减．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y＝ x2向左平移3个单位，再向下
平移2个单位得y＝ （x+3）2﹣2．
故选：A．
5．如图，A，B，C是 O上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为（ ）
⊙
A．35° B．55° C．65° D．70°
【分析】由A，B，C是 O上的三个点，若∠C＝35°，直接利用圆周角定理求解即可
求得答案． ⊙
【解答】解：∵A，B，C是 O上的三个点，∠C＝35°，
∴∠AOB＝2∠C＝70°． ⊙
故选：D．
6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点
E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而
可得答案．
【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC，
则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，∴∠DAC＝ ＝ ＝75°，
故选：D．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8
＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．
【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），
∴方程的另一个根为x＝﹣2．
故选：B．
8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，
以相同的速度沿 O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝
DB．两人同时开⊙始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间
x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（ ）A．小红的运动路程比小兰的长
B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇
C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D
D．在4.84秒时，两人的距离正好等于 O的半径
【分析】利用图象信息一一判断即可解⊙决问题．
【解答】解：A、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；
B、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；
C、当小红运动到点D的时候，小兰还没有经过了点D，故本选项不符合题意；
D、当小红运动到点 O的时候，两人的距离正好等于 O的半径，此时t＝ ＝
⊙
4.84，故本选项正确；
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．方程x2﹣2x＝0的根是 x ＝ 0 ， x ＝ 2 ．
1 2
【分析】因为x2﹣2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．
【解答】解：因式分解得x（x﹣2）＝0，
解得x ＝0，x ＝2．
1 2
故答案为x ＝0，x ＝2．
1 2
10．如图， O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的
⊙距离等于 2 ．
【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含
30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．
【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，
∴OC＝ ．
故答案为：2
11．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B （1，﹣2），
则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为 x ＝﹣ 3 ， x ＝ 1 ．
1 2
【分析】关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n交点的横
坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B （1，﹣
2），
∴关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为x ＝﹣3，x ＝1．
1 2故答案为x ＝﹣3，x ＝1．
1 2
12．一个斜边长是8的Rt△AEC，一个斜边长是6的Rt△AFB，一个正方形AEDF，拼成一
个如图所示的Rt△BCD，则Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和是 2 4 ．
【分析】设正方形AEDF的边长为x，则AE＝AF＝x，证明△AEC∽△BFA，利用相似
比得到BF＝ x，CE＝ x，在Rt△ACE中利用勾股定理得到x2+（ x）2＝82，则x2＝
，然后根据三角形面积公式计算Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和．
【解答】解：设正方形AEDF的边长为x，则AE＝AF＝x，
∵AE∥BD，
∴∠CAE＝∠B，
而∠AEC＝∠AFB＝90°，
∴△AEC∽△BFA，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴BF＝ x，CE＝ x，
在Rt△ACE中，x2+（ x）2＝82，
∴x2＝ ，
∴Rt△AEC和Rt△AFB的面积之和＝ •x• x+ •x• x＝ x2＝ × ＝24．
故答案为24．
13．如图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验的结果．那么可以推断出如果小亚实际投掷一枚品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性 小于
“凹面向上”的可能性．（填“大于”，“等于”或“小于”）．
【分析】根据图形中的数据即可解答本题．
【解答】解：根据表中数据可得，“凸面向上”的频率在0.443与0.440之间，
∴凸面向上”的可能性 小于“凹面向上”的可能性．，
故答案为：小于．
14．若二次函数y＝2x2﹣5的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a ＜ b（填
“＜”或“＝”或“＞”）．
【分析】根据二次函数图象的增减性即可解答．
【解答】解：y＝2x2﹣5的对称轴为x＝0，开口方向向上，顶点为（0，﹣5）．
对于开口向上的函数，x距离对称轴越近，y值越小，2比3距离近，所以a＜b．
故答案为＜．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B
的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交
于点E．现有下列结论： a＞0； b＞0； 4a+2b+c＜0； AD+CE＝4．其中所有
正确结论的序号是 ① ． ② ③ ④
②④
【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．
【解答】解： 该函数图象的开口向下，a＜0，错误；
①
∵a＜0，﹣ ＞0，∴b＞0，正确；
②
把x＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；
③∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．
④故答案为：
16．如图，一段②抛④物线：y＝x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C
1
，它与x轴交于点O，A
1
；将
C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点A ；将C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点
1 1 2 2 2 2 3
A ；…，如此进行下去，得到图形
3
（1）请写出抛物线C 的解析式： y ＝﹣（ x ﹣ 2 ）（ x ﹣ 4 ） ．
2
（2）若点P（4037.5，a）在图形G上，则a＝ 0.7 5 ．
【分析】（1）利用交点式得到A （2，0），利用旋转的性质得A （4，0），然后利用
1 2
交点式写出抛物线C 的解析式；
2
（2）利用4037.5＝2018×2+1.5可判断点P在抛物线C 上，而它的解析式为y＝（x﹣
2019
4036）（x﹣4038），然后计算把x＝4037.5对应的函数值即可．
【解答】解：（1）抛物线C 的解析式为y＝x（x﹣2），则A （2，0），
1 1
根据旋转的性质得A A ＝OA ＝2，则A （4，0），
1 2 1 2
抛物线C 的解析式为y＝﹣（x﹣2）（x﹣4）；
2
（2）∵4037.5＝2018×2+1.5，
∴点P（4037.5，a）在抛物线C 上，而抛物线C 的解析式为y＝（x﹣4036）（x﹣
2019 2019
4038）
把x＝4037.5代入得a＝（4037.5﹣4036）（4037.5﹣4038）＝0.75．
故答案为y＝﹣（x﹣2）（x﹣4）；0.75．
三．解答题（共12小题）
17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）
【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，
变形得：（x﹣2）2＝9，
开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x ＝5，x ＝﹣1．
1 2
18．下面是小明主设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：直线l．
求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．
作法：如图，
在直线l上任取两点O，A；
①以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；
②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交 于点C；
③连接AC，BC．
④所以△ABC就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：在 O中，AB为直径，
∴∠ACB＝⊙90°（ 直径所对的圆周角是直角 ），（填推理的依据）
连接OC ①
∵OA＝OC＝AC，
∴∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°（ 直角三角形两锐角互余 ），（填推理的依据）
【分析】（1）根②据要求作出图形即可．
（2）根据圆周角定理，等边三角形的判定和性质即可解决问题．
【解答】解：（1）△ABC即为所求．
（2）在 O中，AB为直径，
∴∠ACB⊙＝90°（ 直径所对的圆周角是直角），
连接OC ①∵OA＝OC＝AC，
∴∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°（ 直角三角形两锐角互余）．
故答案为：直径所②对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余．
19．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4＜x＜﹣2时，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣
4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据x＝﹣4、﹣2时的函数值即可写出y的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，
把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，
故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；
（2）如图所示：（3）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，
当x＝﹣2时，y＝﹣3，
又对称轴为x＝﹣1，
∴当﹣4＜x＜﹣2时，y的取值范围是﹣3＜y＜5．
20．党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡
导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这24个字是社会
主义核心价值观的基本内容．其中：
“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；
“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；
“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．
小光同学将其中的“文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在4张硬纸
板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取
一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片．
（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是 ；
（2）请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层
面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．
【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次抽取卡片上的文字一次是
国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率＝ ＝
；
故答案为 ；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一
次是社会层面价值取向的结果数为8，
所以两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率
＝ ＝ ．
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，、△ABC的顶点都
在格点上，建立平面直角坐标系
（1）点A的坐标为 （ 2 ， 8 ） ，点C的坐标为 （ 6 ， 6 ） ．
（2）以原点 O 为中心，将△ABC 逆时针旋转 90°，得到△A B C 请在网格内画出
1 1 1
△A B C ，并写出点A 和B 的坐标 （﹣ 8 ， 2 ） ， （﹣ 6 ， 0 ） ．
1 1 1 1 1
【分析】（1）直接根据图形即可写出点A和C的坐标；（2）直接依据旋转中心，旋转方向以及旋转角度，即可得到△A B C ．
1 1 1
【解答】解：（1）如图所示，A点坐标为：（2，8），C点坐标为：（6，6）；
故答案为：（2，8），（6，6）；
（2）如图所示，△A B C 即为所求，A 和B 的坐标分别为（﹣8，2），（﹣6，0）．
1 1 1 1 1
故答案为：（﹣8，2），（﹣6，0）．
22．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于 m的一元二次方程，求出m的
值即可；
（2）根据题意得到x＝1和x＝m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求
m的最小值．
【解答】（1）证明：依题意，得△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）
＝m2+6m+9﹣4m﹣8
＝m+1）2．
∵（m+1）2≥0，
∴△≥0．
∴方程总有两个实数根．
（2）解：解方程，得x ＝1，x ＝m+2，
1 2
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴m+2≥1．∴m≥﹣1．
∴m的最小值为﹣1．
23．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD
到点F，使▱DF＝CE，连接AF．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝45°，求OF的长度．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝
EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF＝ AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结
论．
【解答】（1）证明：∵在 ABCD中，
∴AD∥BC且AD＝BC， ▱
∴∠ADF＝∠BCE，
在△ADF和△BCE中，
∵
∴△ADF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE，∠AFD＝∠BEC＝90°，
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ABEF是矩形，
∴EF＝AB＝6，
∵DE＝2，
∴DF＝CE＝4，
∴CF＝4+4+2＝10，
Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AF＝DF＝4，
由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝2 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴OF＝ AC＝ ．
24．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这
段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离
进行测试，测得的数据如下表
刹车时车速 0 5 10 15 20 25 30
（千米/时）
刹车距离 0 0.1 0.3 0.6 1 1.6 2.1
（米）
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，
描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；
（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据
的函数表达式；
（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知
这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生
时，汽车是否超速行驶．【分析】（1）通过描点、连线就可以得出函数的大致图象；
（2）由函数图象，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，由待定系数法求出其解即可；
（3）将x＝100代入（2）的解析式求出其值，再与130作比较即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数，
∵图象经过原点，
∴设二次函数的表达式为：y＝ax2+bx（x≥0），
选取（20，1）和（10，0.3）代入表达式，得： ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为：y＝ x2+ x（x≥0），
（3）∵当x＝100时，y＝21＜40，
∴汽车已超速行驶．
25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝40°，点D是线段BC上的动点，将线段AD
绕点A顺时针旋转50°至AD'，连接BD'．已知AB＝2cm，设BD为x cm，BD'为y cm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面
是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 0.5 0.7 1.0 1.5 2.0 2.3
y/cm 1.7 1.3 1.1 0. 9 0.7 0.9 1.1
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数
的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
线段BD'的长度的最小值约为 0. 7 cm；
若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是 0 ≤ x ≤ 0. 9 ．
【分析】（1）先构造出全等三角形，判断出DE＝BD'＝y，再利用三角函数求出BC，
AC，进而得出CE，进而利用三角函数求出EF，CF，进而得出DF，最后用勾股定理即
可得出结论；
（2）利用画函数图象的方法即可得出结论；
（3）方法1、利用图象和表格即可得出结论；
方法2、利用（1）的方法得出的y＝ ，即可得出y的最小值，再
令y＝x求出x的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
在AC上取一点E使AE＝AB＝2，
由旋转知，AD＝AD'，∠DAD'＝50°＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠D'AB，
在△DAE和△D'AB中， ，
∴△DAE≌△D'AB（SAS），
∴DE＝BD'＝y，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝40°，
∴∠BAC＝50°，AC＝ ＝ ≈ ＝3.13，BC＝ ＝ ≈
≈2.40
∴CE＝AC﹣AE＝3.13﹣2＝1.13，
过点E作EF⊥BC于F，
在 Rt△ CEF 中 ， EF ＝ CE• sinC ＝ 1.13×sin40°≈ 0.72 ， CF ＝ CE• cosC ＝
1.13×cos40°≈1.13×0.78≈0.88，
当x＝1时，BD＝1，
∴DF＝BC﹣BD﹣CF＝2.40﹣1﹣0.88＝0.52，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得，y＝DE＝ ≈0.9，
故答案为：0.9．
（2）函数图象如图2所示．
（3）方法1、由图象和表格知，线段BD'的长度的最小值约为0.7cm，
∵BD'≥BD，
∴y≥x，
由图象知，0≤x≤0.9，
故答案为：0.7，0≤x≤0.9．
（3）方法2、
由（1）知，BC＝2.4，CF＝0.88，EF＝0.72，DF＝BC﹣BD﹣CF＝2.40﹣x﹣0.88＝1.52﹣x，
根据勾股定理得，y＝ ＝ ，
∵0≤x≤2.40，
∴x＝1.52时，y最小 ＝0.72≈0.7，
当BD'＝BD时，DE＝y＝x
在Rt△DEF中，根据勾股定理得，DE2＝DF2+EF2，
∴x2＝（1.52﹣x）2+（0，72）2，
∴x≈0.9
∴BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是0≤x≤0.9．
故答案为：0.7，0≤x≤0.9．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+n（m≠0）与x轴交于点A，B，点A
的坐标为（﹣2，0）．
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）直线y＝ x﹣4m﹣n过点B，且与抛物线的另一个交点为C．
分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；
①点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l
1
：y＝x+a和l
2
：y＝﹣x+b组成图
②形G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．
【分析】（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称
轴；
（2） 根据抛物线的对称性可得出点B的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征
及一次①函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值，此问得解；联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点 C的坐标，利用
②一次函数图象上点的坐标特征求出直线l 过点B、C时b的值，进而可得出点P的坐标，
2
再结合函数图象即可找出当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线所对应的函数表达式为y＝mx2﹣2mx+n，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1．
（2） ∵抛物线是轴对称图形，
∴点A①、B关于直线x＝1对称．
∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴点B的坐标为（4，0）．
∵抛物线y＝mx2﹣2mx+n过点B，直线y＝ x﹣4m﹣n过点B，
∴ ，
解得： ，
∴直线所对应的函数表达式为 y＝ x﹣2，抛物线所对应的函数表达式为 y＝﹣
x2+x+4．
联立两函数表达式成方程组， ，
②
解得： ， ．
∵点B的坐标为（4，0），
∴点C的坐标为（﹣3，﹣ ）．
当直线l ：y＝﹣x+b 过点B时，0＝﹣4+b ，
2 1 1
解得：b ＝4，
1
∴此时直线l 所对应的函数表达式为y＝﹣x+4，
2
当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，∴点P 的坐标为（1，3）；
1
当直线l ：y＝﹣x+b 过点C时，﹣ ＝3+b ，
2 2 2
解得：b ＝﹣ ，
2
∴此时直线l 所对应的函数表达式为y＝﹣x﹣ ，
2
当x＝1时，y＝﹣x﹣ ＝﹣ ，
∴点P 的坐标为（1，﹣ ）．
2
∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为﹣ ≤t≤3．
27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以
AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于
点G．
（1）若点D在线段BC上，如图1．
依题意补全图1；
①判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；
②（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB＝ ，则GE的长
为 ，并简述求GE长的思路．【分析】（1） 依题意补全图形，如图1所示， 判断出△BAD≌△CAF即可；
（2）先判断出①△BAD≌△CAF，得到BD＝CF，B②G⊥CF，得到直角三角形，利用勾股
定理计算即可．
【解答】（1）证明： 依题意补全图形，如图1所示，
①
BC⊥CG，BC＝CG；
②∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∠DAF＝∠CAF+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝45°，
∴∠ACF+∠ACB＝90°，
∴BC⊥CG；
∵点G是BA延长线上的点，
BC＝CG（2）如图2，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝90°，
∠DAF＝∠CAF﹣∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝45°，BD＝CF，
∴∠ACF+∠ACB＝90°，
∴BC⊥CF；
∵AB＝ ，BC＝CD＝CG＝GF＝2，
∴在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝ ，
∴在Rt△CDG中，根据勾股定理的，DG＝2 ，
∵AD＝ ，
∴AH＝ ，HG＝ ，
∴GI＝AD﹣HG＝ ，
∴GE＝ ＝故答案为 ．
28．在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+ ，0），对于线段AB和x轴上方的点
P给出如下定义：当∠APB＝60°时，称点P为AB的“等角点”．
（1）若t＝﹣ ，在点C（0， ），D（ ，1），E（﹣ ， ）中，线段AB的
“等角点”是 C 、 D ；
（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN＝30°．
线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP＝90°，求点P的坐标；
①在 的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；
② ①
若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是 1 ﹣ ＜ t ＜ 4 ﹣
③
．
【分析】（1）根据给定的t值找出A、B点的坐标，再利用解三角形的方法讨论C、
D、E点是否满足“等角点”的条件即可得出结论；
（2） 画出点N在y轴正半轴时图形，通过角的计算得出∠PAB＝∠OMN，从而得出
“PA＝①PM，AB＝BM”，再通过解直角三角形即可得出P点的坐标，同理可得出点N
在y轴负半轴时的P点的坐标； 通过角的计算找出∠BMQ＝∠MQB＝30°，再结合外
角的性质得出BQ＝BM＝AB即得②出△ABQ是等边三角形，从而得出结论，同理点N在y
轴负半轴时，结论相同；
（3）通过构建与y轴以及与线段MN相切的圆，找出点A与点B的临界点，求出此时
的t值，从而得出线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围．
【解答】解：（1）当t＝﹣ 时，点A（﹣ ，0），点B（ ，0），
∵点C（0， ），OC＝ ＝ AB，且点O为线段AB的中点，
∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，点C是线段AB的“等角点”；
∵点D（ ，1），B、D横坐标相等，
∴BD⊥x轴于点B．
∵AB＝ ﹣（﹣ ）＝ ，BD＝1﹣0＝1，tan∠ADB＝ ＝ ，
∴∠ADB＝60°，点D是线段AB的“等角点”；
∵点E（﹣ ， ），A、E横坐标相等，
∴AE⊥x轴于点A．
∵AB＝ ﹣（﹣ ）＝ ，AE＝ ﹣0＝ ，tan∠AEB＝ ＝ ，
∴∠AEB≠60°，点E不是线段AB的“等角点”．
综上可知：点C、D是线段AB的“等角点”．
故答案为：C、D．
（2） 当点N在y轴正半轴时，如图1，
①
∵∠APB＝60°，∠ABP＝90°，
∴∠PAB＝30°，
又∵∠OMN＝30°，
∴PA＝PM，AB＝BM．
∵AB＝ ，
∴BM＝ ，
∴PB＝1．
∴P（6﹣ ，1）．
当点N在y轴负半轴时，同理可得点P（6+ ，1）．
当点N在y轴正半轴时，如图2，
②∵BQ⊥AP，且∠APB＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴∠ABQ＝60°，
∴∠BMQ＝∠MQB＝30°，
∴BQ＝BM＝AB，
∴△ABQ是等边三角形．
∴∠AQB＝60°．
当点N在y轴负半轴时，同理可得∠AQB＝90°．
以AB＝ 做底，AO′＝BO′为腰，∠AO′B＝120°作三角形，如图3所示．
③
∵AO′＝BO′，AB＝ ，∠AO′B＝120°，
∴AO′＝1，O′O″＝ ．
（i）以直线y＝ 上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与y轴相切，且O′在y
轴右侧时，如图4所示，此时O′的坐标为（1， ），此时A点的横坐标为1﹣ AB＝1﹣ ，
即t＝1﹣ ；
（ii）以直线y＝ 上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与线段MN相切，且
O′在MN下方时，如图5所示．
∵M′F＝ ，∠OMN＝30°，
∴MF＝ ＝ ．
∵O′D＝1，∠O′M′D＝∠OMN＝30°，
∴O′M′＝ ＝2．
此时点B的横坐标为OM﹣MF﹣O′M′+ AB＝4，
∴t+ ＝4，t＝4﹣ ．
综上可知：若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是1﹣ ＜
t＜4﹣ ．
故答案为：1﹣ ＜t＜4﹣ ．
