文档内容
2018-2019学年湖北省黄石市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中恰有一项
是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
3．如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+3
4．若方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根
C．a﹣5是19的算术平方根 D．b+5是19的平方根
5．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经
过第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
6．下面对于二次三项式﹣x2+4x﹣5的值的判断正确的是（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0
7．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（ ）
A． B．C． D．
8．如图，△ABD是等边三角形，以AD为边向外作△ADE，使∠AED＝30°，且AE＝3，DE
＝2，连接BE，则BE的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
9．抛物线y＝x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
10．如图1，在△ABC中，AB＝BC，AC＝m，D，E分别是AB，BC边的中点，点P为AC边
上的一个动点，连接PD，PB，PE．设AP＝x，图1中某条线段长为y，若表示y与x的函
数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（ ）
A．PD B．PB C．PE D．PC
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，不需写出解答过程，请把答案直接填
写在答题卡相应位置上）
11．函数y＝2（x+1）2+1，当x 时，y随x的增大而减小．
12．已知关于x的方程x2+3x+k2＝0的一个根是﹣1，则k＝ ．
13．如图， O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为 ．
⊙14．一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方
程 ．
15．如图，含有30°的直角三角板△ABC，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕着点A逆
时针旋转，得到△AMN，使得点B落在BC边上的点M处，过点N的直线l∥BC，则
∠1＝ ．
16．已知四边形ABCD，∠ABC＝45°，∠C＝∠D＝90°，含30°角（∠P＝30°）的直角三角
板PMN（如图）在图中平移，直角边MN⊥BC，顶点M、N分别在边AD、BC上，延长
NM到点Q，使QM＝PB．若BC＝10，CD＝3，则当点M从点A平移到点D的过程中，
点Q的运动路径长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列一元二次方程
（1）x2﹣8x+1＝0；
（2）2x2+1＝3x．
18．（7分）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交
换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？19．（7分）已知抛物线的顶点为（4，﹣8），并且经过点（6，﹣4），试确定此抛物线的解析
式．并写出对称轴方程．
20．（7分）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，求线段
OE的长．
⊙
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x ，x ，且（x ﹣x ）2+m2＝21，求m的值．
1 2 1 2
22．（8分）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A
与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度 度；
（2）连接CD，试判断△CBD的形状； ．
（3）求∠BDC的度数． 度．
23．（8分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为
每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月
的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？
24．（9分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的
线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段 ．
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作
图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF
的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请
说明理由．若此时AB＝3，BD＝ ，求BC的长．
25．（10分）如图，抛物线y＝ x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣
1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．2018-2019 学年湖北省黄石市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中恰有一项
是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出
结论．
【解答】解：A是中心对称图形；B既是轴对称图形又是中心对称图形；C是轴对称图形；D
既不是轴对称图形又不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点是
解题的关键．
2．要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，a≠3．故选B．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意
a≠0的条件．当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b＝0或c＝0时，上
面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．
3．如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+3
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2﹣1，即y＝x2+1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．
4．若方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根
C．a﹣5是19的算术平方根 D．b+5是19的平方根
【分析】结合平方根和算术平方根的定义可做选择．
【解答】解：∵方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，
∴a﹣5和b﹣5是19的两个平方根，且互为相反数，
∵a＞b，
∴a﹣5是19的算术平方根，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解答此题的关键．一般
地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记
为根号a．
5．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经
过第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2+4m＜0，解得m＜﹣1，然后根据一次函数的
性质可得到一次函数y＝（m+1）x+m﹣1图象经过的象限．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，
∴△＜0，
∴△＝4﹣4（﹣m）＝4+4m＜0，
∴m＜﹣1，
∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，
m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，
∴一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第一象限，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没
有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．
6．下面对于二次三项式﹣x2+4x﹣5的值的判断正确的是（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0
【分析】根据式子中含有x2和4x还有一个常数，因此我们易想到凑成完全平方公式，因此
我们先提一个负号，凑成﹣[（x﹣2）2+1]，这时候我们就容易观察到中括号里面恒大于
零，因此总体上就恒小于零．
【解答】解：∵﹣x2+4x﹣5＝﹣（x2﹣4x+5）＝﹣[（x﹣2）2+1]＜0，
∴原式恒小于0．
故选：B．
【点评】这道题比较灵活，需要分解常数来凑完全平方公式再去判断大小，同时我们需要
在分解常数时候需要注意到前面的负号．
7．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可知．
【解答】解：∵a＞0，∴抛物线开口向上；
∵b＜0，∴对称轴为x＝ ＞0，∴抛物线的对称轴位于y轴右侧；
∵c＞0，∴与y轴的交点为在y轴的正半轴上．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系．
8．如图，△ABD是等边三角形，以AD为边向外作△ADE，使∠AED＝30°，且AE＝3，DE
＝2，连接BE，则BE的长为（ ）A．4 B． C．5 D．
【分析】如图， ，作EF⊥AE，且EF＝DE，连接AF、DF；然
后根据三角形全等的判定方法，判断出△ADF≌△BDE，所以BE＝AF；最后在直角三
角形AEF中，根据勾股定理，求出AF的长度，即可求出BE的长为多少．
【解答】解：如图，
，
作EF⊥AE，且EF＝DE，连接AF、DF，
因为∠AEF＝90°，
所以∠DEF＝90﹣30＝60°，DE＝EF，
所以△DEF是等边三角形，
所以∠EDF＝60°，∠ADF＝∠BDE，
因为AD＝BD，DE＝EF，∠ADF＝∠BDE，
所以△BDE≌△ADF，
所以BE＝AF＝ ．故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判断方法和性质，以及等边三角形的特征、勾股定
理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：△BDE≌△ADF，进而判断出BE
的长等于AF的长．
9．抛物线y＝x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【分析】把原点坐标代入抛物线y＝x2﹣mx﹣m2+1，即可求出．
【解答】解：根据题意得：﹣m2+1＝0，
所以m＝±1．
故选：D．
【点评】此题考查了点与函数的关系，点在图象上，将点代入函数解析式即可求得．
10．如图1，在△ABC中，AB＝BC，AC＝m，D，E分别是AB，BC边的中点，点P为AC边
上的一个动点，连接PD，PB，PE．设AP＝x，图1中某条线段长为y，若表示y与x的函
数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（ ）
A．PD B．PB C．PE D．PC
【分析】观察图2，确定x为何值取得最小值即可一一判断．
【解答】解：A错误，观察图2可知PD在x＝ 取得最小值．
B、错误．观察图2可知PB在x＝ 取得最小值．
C、正确．观察图2可知PE在x＝ 取得最小值．
D、错误．观察图2可知PC在x＝m取得最小值为0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，灵活应用所学知识是解题的关键，学会利
用函数的最值解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，不需写出解答过程，请把答案直接填
写在答题卡相应位置上）
11．函数y＝2（x+1）2+1，当x ≤﹣ 1 时，y随x的增大而减小．
【分析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对
称轴的左侧，y随x的增大而减小．
【解答】解：∵函数的对称轴为x＝﹣1，
又∵二次函数开口向上，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∵x≤﹣1时，y随x的增大而减小，
故答案为：x≤﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，能根据解析式推知函数图象是解题的关键，另外要
能准确判断出函数的对称轴．
12．已知关于x的方程x2+3x+k2＝0的一个根是﹣1，则k＝ ± ．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知
数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把x＝﹣1代入原方程即可得k的
值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+k2＝0可得1﹣3+k2＝0，解得k2＝2，∴k＝± ．
故本题答案为k＝± ．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．此题要注意，k2＝2，k＝±
，漏掉一个k的值是易错点．
13．如图， O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为 45 ° ．
⊙
【分析】先根据OA＝OC，∠ACO＝45°可得出∠OAC＝45°，故可得出∠AOC的度数，再
由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接OA，如图，
∵∠ACO＝45°，OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠B＝45°．
故答案为：45°
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
14．一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方
程 2 5 （ 1 ﹣ x ） 2 ＝ 1 6 ．
【分析】由两次降价的百分率都为x结合原价及两次降价后的价格，即可得出关于x的一
元二次方程，此题得解．
【解答】解：设两次降价的百分率都为x，根据题意，得
25（1﹣x）2＝16．
故答案为：25（1﹣x）2＝16．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
15．如图，含有30°的直角三角板△ABC，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕着点A逆
时针旋转，得到△AMN，使得点B落在BC边上的点M处，过点N的直线l∥BC，则
∠1＝ 30 ° ．
【分析】首先根据直角的性质求出∠B＝60°，利用旋转的性质求出△ABM是等边三角形，进而求出∠NMC＝60°，再利用平行线的性质得到∠1+∠ANM＝∠NMC，结合∠ANM
＝∠C＝30°，即可求出∠1的度数．
【解答】解：∵△BAC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AMN，
∴AB＝AM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠AMB＝60°，
∵∠AMN＝60°，
∴∠CMN＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵l∥BC，
∴∠1+∠ANM＝∠NMC，
∵∠ANM＝∠C＝30°，
∴∠1+30°＝60°，
∴∠1＝30°．
故答案为：30°
【点评】本题主要考查了旋转的性质的知识，解答本题的关键是求出∠NMC＝60°，利用
平行线的性质即可解题，此题难度不大．
16．已知四边形ABCD，∠ABC＝45°，∠C＝∠D＝90°，含30°角（∠P＝30°）的直角三角
板PMN（如图）在图中平移，直角边MN⊥BC，顶点M、N分别在边AD、BC上，延长
NM到点Q，使QM＝PB．若BC＝10，CD＝3，则当点M从点A平移到点D的过程中，
点Q的运动路径长为 7 ．
【分析】当点P与B重合时，AM＝AQ′＝3 ﹣3，DM＝DQ″＝10﹣3 ，易知点Q的
运动路径是Q′→M→Q″，△AMQ′，△MDQ″都是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
【解答】解：当点P与B重合时，AM＝AQ′＝3 ﹣3，DM＝DQ″＝10﹣3 ，
易知点Q的运动路径是Q′→M→Q″，△AMQ′，△MDQ″都是等腰直角三角形，
∵Q′M+MQ″＝ （3 ﹣3）+ （10﹣3 ）＝7
∴点Q的运动路径长＝点P的运动路径长7 ，
故答案为7 ．
【点评】本题考查平移变换、运动轨迹、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学
会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共9小题，共72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列一元二次方程
（1）x2﹣8x+1＝0；
（2）2x2+1＝3x．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣4）2＝15，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣8x＝﹣1，
x2﹣8x+16＝15，
（x﹣4）2＝15，
x﹣4＝± ，
所以x ＝4+ ，x ＝4﹣ ；
1 2
（2）2x2﹣3x+1＝0，（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
所以x ＝ ，x ＝1．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左
边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为
0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次
方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（7分）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交
换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？
【分析】设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，根据全班交换小礼
物共1560件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，
根据题意得：x（x﹣1）＝1560，
解得：x ＝40，x ＝﹣39（不合题意，舍去）．
1 2
答：九（2）班有40个同学．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
19．（7分）已知抛物线的顶点为（4，﹣8），并且经过点（6，﹣4），试确定此抛物线的解析
式．并写出对称轴方程．
【分析】根据题意可以设出该抛物线的顶点式，然后根据该抛物线过点（6，﹣4），即可求
得a的值，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线的顶点为（4，﹣8），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2﹣8，
将点（6，﹣4）代入，得：4a﹣8＝﹣4，
解得：a＝1，
则此抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2﹣8＝x2﹣8x+8，
其对称轴方程为x＝4．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，设出相应
的函数解析式．
20．（7分）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，求线段
⊙OE的长．
【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的
长求出DE的长，又由直径的长求出半径OD的长，在直角三角形ODE中，由DE及
OD的长，利用勾股定理即可求出OE的长．
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，又CD＝16，
∴CE＝DE＝ CD＝8，又OD＝ AB＝10，
∵CD⊥AB，∴∠OED＝90°，
在Rt△ODE中，DE＝8，OD＝10，
根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，
∴OE＝ ＝6，
则OE的长度为6．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，
进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x ，x ，且（x ﹣x ）2+m2＝21，求m的值．
1 2 1 2
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x +x ＝﹣（2m+1），x x ＝m2﹣2，再利用（x ﹣x ）2+m2＝21
1 2 1 2 1 2
得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确
定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣ ，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x +x ＝﹣（2m+1），x x ＝m2﹣2，
1 2 1 2
∵（x ﹣x ）2+m2＝21，
1 2
∴（x +x ）2﹣4x x +m2＝21，
1 2 1 2
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理得m2+4m﹣12＝0，解得m ＝2，m ＝﹣6，
1 2
∵m≥﹣ ，
∴m的值为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根
1 2
时，x +x ＝﹣ ，x x ＝ ．也考查了根的判别式．
1 2 1 2
22．（8分）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A
与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度 15 0 度；
（2）连接CD，试判断△CBD的形状； 等腰三角形 ．
（3）求∠BDC的度数． 1 5 度．
【分析】根据等腰三角形的定义判断．根据30°的直角三角形的性质及∠CBE＝180°，通过
角的和差关系进行计算．
【解答】解：（1）∵三角尺旋转的度数即为一条边旋转后与原边组成的角，∴三角尺的斜边AB旋转到EB后AB与BE所组成的角∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣
30°＝150°．
（2）∵图形旋转前后两图形全等，
∴CB＝DB，故△CBD为等腰三角形．
（3）∵三角形CBD中∠DBE为∠CBA旋转以后的角，
∴∠DBE＝∠CBA＝30°，
故∠DBC＝180°﹣∠DBE＝180°﹣30°＝150°，
又∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝ ＝15°．
【点评】此题根据等腰三角形的性质，即图形旋转后与原图形全等解答．
23．（8分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为
每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月
的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据
此可以列出函数关系式；
（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得：y＝60+10x，
由36﹣x≥24得x≤12，
∴1≤x≤12，且x为整数；
（2）设所获利润为W，
则W＝（36﹣x﹣24）（10x+60）
＝﹣10x2+60x+720
＝﹣10（x﹣3）2+810，
∵a＜0
∴函数开口向下，有最大值，∴当x＝3时，W取得最大值，最大值为810，
答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式
求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．
24．（9分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的
线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段 AC ．
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩
形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作
图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF
的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请
说明理由．若此时AB＝3，BD＝ ，求BC的长．
【分析】（1）根据题中给出的定义，由于∠DAB和∠DCB不是直角，因此AC就是损矩形
的直径．
（2）根据直角三角形斜边上中线的特点可知：此点应是AC的中点，那么可作AC的垂直
平分线与AC的交点就是四边形外接圆的圆心．
（3）本题可用面积法来求解，具体思路是用四边形ABCD面积的不同表示方法来求解，
四边形ABCD的面积＝三角形ABD的面积+三角形BCD的面积＝三角形ABC的面积
+三角形ADC的面积；三角形ABD的面积已知了AB的长，那么可过D作AB边的高，
那么这个高就应该是BD•sin45°，以此可得出三角形ABD的面积；三角形BDC的面积
也可用同样的方法求解，只不过AB的长，换成了BC；再看三角形ABC的面积，已知了AB的长，可用含BC的式子表示出ABC的面积；而三角形ACD的面积，可用正方
形面积的四分之一来表示；而正方形的边长可在直角三角形ABC中，用勾股定理求出．
因此可得出关于BC的方程，求解即可得出BC的值．
【解答】解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的
线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；
（2）作图如图：
∵点P为AC中点，
∴PA＝PC＝ AC．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BP＝DP＝ AC，
∴PA＝PB＝PC＝PD，
∴点A、B、C、D在以P为圆心， AC为半径的同一个圆上；
（3）∵菱形ACEF，
∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，CF＝2CD，
∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴ ，
∴AD＝CD，∴四边形ACEF为正方形．
∵BD平分∠ABC，BD＝ ，
∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴S ＝ AB×h＝2AB＝6，
△ABD
S ＝ AB×BC＝ BC，
△ABC
S ＝ BC×h＝2BC，S ＝ S ＝ AC2＝ （BC2+9），
△BDC △ACD 正方形ACEF
∵S ＝S +S ＝S +S
四边形ABCD △ABC △ADC △ABD △BCD
∴ BC+ （BC2+9）＝6+2BC
∴BC＝5或BC＝﹣3（舍去），
∴BC＝5．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，圆的内接四边形等知识点．（3）中如
果无法直接求出线段的长，可通过特殊的三角形用面积法来求解．
25．（10分）如图，抛物线y＝ x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣
1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．【分析】（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b的值，即可得出抛物线的解析式，根据
顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；
（2）根据直角三角形的性质，推出AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，即AC2+BC2
＝25＝AB2，即可确定△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'＝2．连接C'D交x轴于点M，根
据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据
三角形相似的有关性质定理，求m的值
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝ x2+bx﹣2上，
∴ ×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2＝0，解得b＝
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x﹣2．
y＝ x2﹣ x﹣2
＝ （ x2﹣3x﹣4 ）
＝ （x﹣ ）2﹣ ，
∴顶点D的坐标为 （ ，﹣ ）．
（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．
当y＝0时， x2﹣ x﹣2＝0，∴x ＝﹣1，x ＝4，∴B （4，0）
1 2
∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′＝2，
连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴
∴ ，
∴m＝ ．
解法二：设直线C′D的解析式为y＝kx+n，
则 ，
解得： ．
∴ ．
∴当y＝0时， ， ．
∴ ．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对
称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相似三
角形．
