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广东省惠州市惠东县 2019-2020 学年九年级上册数学期末复习试题
范围：九年级上册
一、单选题（共10题；共30分）
1. ( 3分) 方程 x2−25=0 的解是（ ）
A. x=5 B. x=−5 C. x =5 ， x =−5
1 2
D. x =x =5
1 2
2. ( 3分 ) 在学习图案与设计这一节课时，老师要求同学们利用图形变化设计图案，下列设计的图案中是
中心对称图形但是不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. ( 3分) 抛物线y＝2(x+1)2－5的顶点坐标是( )
A. (1，－5) B. (－1，－5) C. (－1，－4) D. (－2，－7)
4. ( 3分) 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根,则k的取值范围是( )
A. k>-1或k≠0 B. k≥-1 C. k≤-1或k≠0 D. k≥-1且k≠0
5. ( 3分) 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共20个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次
摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有( )
A. 3个 B. 5
个 C. 15
个 D. 17个
6. ( 3分) 已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A. 1cm B. 2cm C. 4cm D. 8cm
7. ( 3分) 如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB=60°，则圆周角∠ACB的度数是( )
A. 50° B. 25° C. 100° D. 30°
8. ( 3分) 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB
的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A. 25m B. 24m C. 30m D. 60m
9. ( 3分) 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水
平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在
如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 此抛物线的解析式是y=﹣ x2+3.5 B. 篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C. 此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D. 篮球出手时离
地面的高度是2m
10. ( 3分) 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，3），与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）
之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2-4ac＞0；②c﹣a=3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c=m
（m≥2）一定有实数根，其中正确的结论为（ ）
A. ②③ B. ①③ C. ①②③ D. ①②④
二、填空题（共7题；共28分）
11. ( 4分) 若点M(4，-2)关于原点对称的点N的坐标是________；
12. ( 4分) 一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，面积随之增加y平方厘米，则y关于x的
函数表达式是________．
13. ( 4分) 抛物线y=-x2+2x-3的对称轴是________；
14. ( 4分) 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1到6的点数，将这枚骰子掷两次，其点数之和
是7的概率为________．
15. ( 4分) 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为________.16. ( 4分) 已知 x ， x 是方程 x2+3x+1=0 的两实数根，则 x ❑ 3+8x +20 =________
1 2 1 2
17. ( 4分) 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝8，OM：CM＝3：8，则⊙O的周长为
________．
三、解答题（共8题；共62分）
18. ( 6分) 解下列方程。
（1）x2-5x+6=0 （2）(2x＋1)(x－4)＝5.
19. ( 6分) 小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段
有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用 A 、 B 、 C 表示），第二阶段
有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用 D 、 E 表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一
个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中 B 、
D 两个项目的概率．
20. ( 6分) 已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求m的值；
（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．21. ( 8分) 已知关于x的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2−1=0 有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x ， x 是方程的两根且 x2+x2+x x −17=0 ，求m的值．
1 2 1 2 1 2
22. ( 8分) 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点
E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD=BF，AE=3，求DF的长．
23. ( 8分) 某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场
调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多
少元？
（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？
24. ( 10分) 如图，⊙O的直径AB=12，AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，交BN于C，设
AD=x，BC=y.（1）求y与x的函数关系式；
（2）若x，y是2t2-30t+m=0的两实根，求x，y的值；
（3）求△OCD的面积.
25. ( 10分) 如图，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(2，0)，(0，3)，抛物线M ：y=-x2+bx+c经过B，C
1
两点．抛物线的顶点为D。
（1）求抛物线M 的表达式和点D的坐标
1
（2）点P是抛物线M 对称轴上一动点，当△CPA为等腰三角形时，求所有符合条件的点P的坐标；
1
（3）如图，现将抛物线M 进行平移，保持顶点在直线CD上，若平移后的抛物线与射线BD只有一个公
1
共点．设平移后抛物线的顶点横坐标为m，求m的值或取值范围．。参考答案及解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解： x2−25=0 ，x2=25 ，x=±5，
故答案为：C.
【分析】利用直接开平方法求解即可.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图
形;把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一
一判断得出答案.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解： y＝2(x+1)2－5的顶点坐标是（-1，-5）.
故答案为：B.
【分析】根据形如“y=a(x-h)2+k”的函数的顶点坐标是（h,k）即可直接得出答案.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根，
∴△=(−2)2 +4k=4+4k⩾0，
且k≠0，
解得：k⩾−1，且k≠0，
故答案为：D.
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根可知：其二次项的系数不为0，且其根的判别式
的值为非负数，从而列出不等式组，求解即可.
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：由题意得:口袋中红色球的数量=20×15%=3.
故答案为：A.
【分析】因为多次摸球，频率可以视作概率，把已知数字代入概率公式即可求出口袋中红色球的数量.
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵点P在 ⊙O 上，
∴OP是 ⊙O 的半径，
∵ ⊙O 的半径为4cm，
∴OP =4cm，
故答案为：C.
【分析】根据圆上各点到圆心的距离等于该圆的半径就可得出答案.7.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵∠AOB和∠ACB所对的弧都为AB弧，
1 1
∴∠ACB= ∠AOB= ×60°=30°.
2 2
故答案为：D.
1
【分析】因为同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半，现知 ∠AOB=60°， 则∠ACB= ∠AOB==30°.
2
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接OD
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，O、D、C在同一条直线上，
1
∴AD= AB=20
2
设圆O的半径为r，则OD=r-10
在Rt△AOD中，
AO2=OD2+AD2
∴r2=202+（r-10）2
解之：r=25
故答案为：A
【分析】利用垂径定理证明OC⊥AB，由点C是弧AB的中点，可知O、D、C在同一条直线上，可求出AD
的长，设圆的半径为r，表示出OD的长，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程
求出r的值。
9.【答案】 A
【解析】【解答】解: A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
1
∴a=﹣ ，
5
1
∴y=﹣ x2+3.5．
5
符合题意；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
不符合题意；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），不符合题意；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
∴当x=﹣2.5时，
h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
不符合题意．
故答案为：A．
【分析】由题意知抛物线的顶点坐标为（0，3.5），所以可设为顶点式：y=ax2+3.5；又因为篮圈中心
（1.5，3.05）在抛物线上，所以把点（1.5，3.05）代入顶点式即可求解析式；根据所求解析式即可判断
正确的选项。
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，3），
∴a﹣b+c=3，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣1，
2a
∴b=2a，
∴a﹣2a+c=3，即c﹣a=3，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以③正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，3），
∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为3，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，
∵m≥2，
∴方程ax2+bx+c=m（m＞3）没有实数根，所以④错误.
故答案为：C.
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2−4ac＞0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝
−1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1
时，y＜0，则a＋b＋c＜0；由抛物线的顶点为D（−1，3）得a−b＋c＝3，由抛物线的对称轴为直线x＝−
b
＝−1得b＝2a，所以c−a＝2；根据二次函数的最大值问题，当x＝−1时，二次函数有最大值为3，即
2a
ax2＋bx＋c＝3，有两个相等的实数根，而当m＞3时，方程ax2＋bx＋c＝m没有实数根,综上所述即可得
出答案.
二、填空题11.【答案】 （-4，2）
【解析】【解答】解：点M(4，-2)关于原点对称的点N的坐标是（-4,2）。
【分析】关于原点对称的两点的坐标的关系是横坐标、纵坐标都互为相反数，据此规律写出即可。
12.【答案】 y＝x2＋6x
【解析】【解答】 y=(x+3) 2−9=x2+6x .
【分析】先求出原正方形的面积，再根据题意表示出正方形边长增加x厘米后的面积即可.
13.【答案】 直线x=1
b 2
【解析】【解答】解：x=
- =- =1
2a 2×(-1)
∴抛物线y=-x2+2x-3的对称轴是x=1.
b
【分析】利用抛物线的对称轴公式x=- 求解即可。
2a
1
14.【答案】
6
【解析】【解答】列表：
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8 9 10
4 5 6 7 8 9 10 11
5 6 7 8 9 10 11 12
6 7 8 9 10 11 12 13
7 8 9 10 11 12 13 14
因为共有36种等可能的结果，且朝上一面点数之和为7的有6种．
6 1 1
所以其点数之和为7的概率为： = ．故答案为 ．
36 6 6
【分析】通过列表或树状图计算即可。
2π
15.【答案】
3
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
60·π×22 2π
∴ 扇形 AOB 的面积 = = ，
360 3
2π
故答案为： .
3【分析】根据正六边形的性质及等边三角形的判定方法得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性
质及扇形面积计算公式即可算出扇形AOB的面积.
16.【答案】 －1
【解析】【解答】∵ x ， x 是方程 x2+3x+1=0 的两实数根，∴ x ❑ 2=−3x −1 ，
1 2 1 1
x +x =−3 ；
1 2
∴ x ❑ 3+8x +20 = (−3x −1)x +8x +20 = −3x ❑ 2−x +8x +20 =
1 2 1 1 2 1 1 2
−3(−3x −1)−x +8x +20
1 1 2
= 8x +8x +23 = 8(x +x )+23 = 8×(−3)+23=−1 ．故答案为： −1 ．
1 2 1 2
【分析】根据一元二次方程的系数和根的关系以及一元二次方程根的定义，可知： x 2=−3x −1 ，
1 1
x +x =−3 ；把 x 2=−3x −1 代入 x 3+8x +20 ， 适当变形后，即可求解.
1 2 1 1 1 2
17.【答案】 10π
【解析】【解答】解：如图，连接AO，
设比的每份为k, 则OM=3k, CM=8k,
则OC=CM-OM=8k-3k=5k,
∴OA=OC=5k,
∵AB⊥CD，
∴AM=BM=4,
在Rt△AOM中，
AM2+OM2=OA2 ， 即9k2+16=25k2,
解得k=1, k=-1(舍)，
∴r=OA=5k=5，
⊙O的周长=2 πr=10 π.
【分析】连接AO，设比的每份为k, 把OM和OA都用含k的代数式表示，统一量，由垂径定理得出AM
的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理列式求出k值，则可求得半径，从而求出圆的周长.
三、解答题
18.【答案】 （1）解：x2-5x+6=0
（x－2）(x-3)=0
x-2=0或x-3=0x =2 x =3
1 2
（2）解：(2x＋1)(x－4)＝5.
2x2-7x-9=0
a=2 b=-7 c=-9
△= (-7)2－4×2×(-9)=121＞0.
所以方程有两个不相等的实根
7±❑√121 7±11
X= =
2×2 4
9
X = ，x =－1
1 2 2
【解析】【分析】（1）利用因式分解法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因
式至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）首先将方程整理成一般形式，然后算出其根的判别式的值，根据判别式的值大于0可知该方程有
两个不相等的实数根，进而利用求根公式即可算出方程的根.
19.【答案】 解：画树状图如下
由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中 B 、 D 两个项目的只有1种情况，
1
所以小明恰好抽中 B 、 D 两个项目的概率为
6
【解析】【分析】根据题意列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及小明恰好抽中B、D两
个项目的情况数，然后利用概率公式可求解。
20.【答案】 （1）将A点坐标（﹣4，0）代入y=x2+3x+m得：16﹣12+m=0，解得：m=﹣4；
（2）当x=0时，则：y=﹣4，∴函数图象与y轴的交点为（0，﹣4）．
令y=0，则x2+3x﹣4=0，解得：x =1，x =﹣4，∴函数图象与x轴的另一个交点为（1，0）．
1 2
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入 二次函数y=x2+3x+m 即可算出m的值从而得出抛物线的解析
式；
（2）根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0，将y=0代入即可算出对应的自变量的值，从而求出其与x轴
交点的坐标；根据抛物线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入即可算出对应的函数值，从而求出其与y
轴交点的坐标。
21.【答案】 解：①根据题意得：
Δ=(2m+1) 2−4(m2−1)>0 ，
5
解得： m>− ，
4
②根据题意得：
x +x =−(2m+1) ， x x =m2−1 ，
1 2 1 2x2+x2+x x −17
1 2 1 2
=(x +x ) 2−x x −17
1 2 1 2
=(2m+1) 2−(m2−1)−17
=0 ，
5
解得： m = ， m =−3 （不合题意，舍去），
1 3 2
5
∴m的值为 ．
3
【解析】【分析】（1）、根据题意结合判别式公式，得到关于m的关系式，解出答案即可
（2）、仔细审题结合一元二次方程根与系数的关系列出关于m的一元二次方程，解出m再结合（1）
的结果可得出答案
22.【答案】 （1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠ADO，
∴∠1=∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF=∠AED=90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过0，
∴DE与⊙O相切.
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠1=∠2，CD=BD，
∵CD=BF，∴BF=BD，
∴∠3=∠F，
∴∠4=∠3+∠F=2∠3，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠4=2∠3，
∵∠ODF=90°，
∴∠3=∠F=30°，∠4=∠ODB=60°，
∵∠ADB=90°，
∴∠2=∠1=30°，
∴∠2=∠F，
∴DF=AD，
∵∠1=30°，∠AED=90°，
∴AD=2ED，
∵AE2+DE2=AD2 ， AE=3，
∴AD=2 ❑√3 ，
∴DF=2 ❑√3 ．
【解析】【分析】（1）连接OD，利用OD=AO，得到 ∠1=∠ADO， 进而得到OD平行AC，结合垂直关
系和切线的判定，即可得出答案。
（2）根据等腰三角形的三线重合可知CD=BD，结合条件又知BD=BF，从而有∠3=∠F=30° ，进而得到
∠2=∠1=30°，故DF=AD，AD=2ED，在Rt△AED中利用30°的性质计算边长AD，即可得出答案。
23.【答案】 （1）解：设要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价x元，
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得，x ＝10，x ＝20
1 2
∵当x＝20时，卖出的多，库存比x＝10时少，
∴要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价20元；
（2）解：设每件童装降价x元，利润为y元，
y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y取得最大值，此时y＝1250，
即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．
【解析】【分析】（1）根据题意，列出销售利润的等式，得到x的解，选择顾客实惠多的即可。
（2）根据题意，列出利润y与x价格之间的函数关系式，根据二次函数的性质，求出其最大值即可。
24.【答案】 （1）解：如图1，作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，∴AB⊥AM，AB⊥BN.
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=12，
∵BC=y，
∴FC=BC-BF=y-x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
则DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2=（y-x）2+122 ，
36
整理为：y= ，
x
36
∴y与x的函数关系式是y=
x
（2）解：由（1）知xy=36，
x，y是方程2x2-30x+m=0的两个根，
a
∴根据韦达定理知，xy= ，即a=72；
2
∴原方程为x2-15x+36=0，解得，
x＝3 x＝12
{ 或 { ，
y＝12 y＝3
∵x＜y，
x＝3
∴ {
y＝12
（3）解：如图2，连接OD，OE，OC，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，AD=DE，BC=CE，
∴S =S ，
△AOD △ODES =S ，
△OBC △COE
1 1
∴S = × ×（3+12）×12=45
△COD 2 2
【解析】【分析】（1）过点D作DF⊥BN于点F，易证四边形ABFD是矩形，利用矩形的性质，可得到
BF=x，DF=AB=12，由此可以用含x、y的代数式表示出FC，再利用切线长定理可证得DE=x，BC=y，从而可
得到DC=x+y，再利用勾股定理，就可得到y与x的关系式。
（2）利用一元二次方程根与系数和反比例函数解析式可得到xy的值，由此可求出m的值，再将m的值
代入原方程，解方程求出方程的解。
（3）如图2，连接OD，OE，OC， 利用切线的性质及切线长定理，易证 OE⊥CD，AD=DE，BC=CE， 就
可推出△AOD和△ODE的面积相等，△OBC和△COE的面积相等，由此可以得到△COD的面积等于梯形
ABCD的面积的一半，即可求解。
25.【答案】 （1）解：把点B（2，3）、C（0，3）分别代入y＝-x2+bx+c，得
−4+2b+c=3
{
c=3
b=2
解得 { ，
c=3
则该抛物线的解析式为：y＝-x2+2x+3；
顶点D(1,4）
（2）解：设P（1，t），
AC2=9+4=13 , AP2=1+t2 , CP2=1+(t−3) 2
①当AC=AP时， 13=1+t2 , t=±2❑√3 ,∴P(1, 2❑√3 )或P(1,- 2❑√3 )
②当AC=CP时， 13=1+(t−3) 2 , t=3±2❑√3 ,∴P(1,3+ 2❑√3 )或P(1,3- 2❑√3 )
③当AP=CP时， 1+t2=1+(t−3) 2 , t=1.5 ,∴P(1,1.5)
（3）解：∵C（0，3）、D（1，4），
∴易得直线CD的解析式为：y＝x+3，移动中抛物线的顶点为（m，m+3），则抛物线为y＝-（x﹣m）
2+m+3，
又B（2，3），D（1，4），
将B（2，3）代入，m2-5m+4＝0，
解得m＝1，m＝4，
∴1
