文档内容
2018-2019学年湖北省鄂州市梁子湖区九年级（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．方程x2＝4x的根是（ ）
A．x＝4 B．x＝0 C．x ＝0，x ＝4 D．x ＝0，x ＝﹣4
1 2 1 2
2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价
的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
4．某班女生与男生的人数比为3：2，从该班学生中随机选取一名学生是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB'C′（点B、C的对应点分别为点B′、
C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．90°
6．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接
AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作 O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝3 ，则
⊙
下列结论： F是CD的中点； O的半径是2； AE＝ CE； S ＝ ．其中正确的个数
阴影
① ②⊙ ③ ④
为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，过y轴上一个动点M作x轴的平行线，交双曲线 于点A，交双曲线 于点B，点C、
点D在x轴上运动，且始终保持DC＝AB，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．7 B．10 C．14 D．28
8．如图，点A在 O上，BC为 O的直径，AB＝4，AC＝3，D是 的中点，CD与AB相交于点P，则
⊙ ⊙
CP的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和
（3，0）之间，对称轴是x＝1．对于下列说法： ab＜0； 2a+b＝0； 3a+c＞0； a+b≥m
（am+b）（m为实数）； 当﹣1＜x＜3时，y＞①0，其中正②确的是（ ③） ④
⑤A． B． C． D．
①②④ ①②⑤ ②③④ ③④⑤
10．如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝ 的图象相交于A（﹣2，y ）、B（1，y ）两点，则不等
1 2
式ax+b＜ 的解集为（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2
C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝ ．
12．有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是
．
13．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 ．
14．函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为 ．
15．如图，点A、B、C分别是 O上三个点，且CA⊥AB，若CA＝2，AB＝4，则OA的长为 ．
⊙16．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记
为C ，将C 向右平移得到C ，C 与x轴交于点B、D，C 的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图
1 1 2 2 2
形的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解方程：
（1）2x2﹣2 x﹣5＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
18．（8分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，点E在BD上；
（1）求证：FD＝AB；
（2）连接AF，求证：∠DAF＝∠EFA．
19．（8分）向阳中学为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，调查者随机抽取若干名学生，调查他
们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表（图）．根据图表信息，解
答下列问题：
频率分布表
阅读时间 频数 频率
（小时） （人）
1≤x＜2 9 0.15
2≤x＜3 a m
3≤x＜4 18 0.3
4≤x＜5 12 n5≤x＜6 6 0.1
合计 b 1
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）阅读时间不低于5小时的6人中，有2名男生、4名女生．现从这6名学生中选取两名同学进行读
书宣讲，求选取的两名学生恰好是两名女生的概率．
20．（8分）方程x2﹣kx+k﹣2＝0有两个实数根x ，x ，且0＜x ＜1，2＜x ＜3，求k的取值范围．
1 2 1 2
21．（8分）如图，已知A（﹣4，n），B（3，4）是一次函数y ＝kx+b的图象与反比例函数 的图象的
1
两个交点，过点D（t，0）（0＜t＜3）作x轴的垂线，分别交双曲线 和直线y ＝kx+b于P、Q两
1
点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当t为何值时， ；
（3）以PQ为边在直线PQ的右侧作正方形PQMN，试说明：边QM与双曲线 （x＞0）始终有交
点．22．（10分）如图，AD是 O的弦，AC是 O直径， O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，
∠DAC＝30°． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：△ADB是等腰三角形；
（2）若BC＝ ，则AD的长为 ．
23．（10分）某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，为了调查这种新产品的销路，
该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量（t 件）与每件的销售价x（元/件）之间有如下关系：
t＝﹣20x+800（20≤x≤40）
（1）请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y（元）与x之间的函数关系式，并求出超市能获取的
最大利润是多少元．
（2）若超市想获取1500元的利润．求每件的销售价．
（3）若超市想获取的利润不低于1500元，请求出每件的销售价X的范围？
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是
（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴
的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．
（1）求点A的坐标．
（2）求抛物线的表达式．
（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．2018-2019 学年湖北省鄂州市梁子湖区九年级（上）期末数学
模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．方程x2＝4x的根是（ ）
A．x＝4 B．x＝0 C．x ＝0，x ＝4 D．x ＝0，x ＝﹣4
1 2 1 2
【分析】原式利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x ＝0，x ＝4，
1 2
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价
的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次
降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1﹣x）2＝108．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格
问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
4．某班女生与男生的人数比为3：2，从该班学生中随机选取一名学生是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出男生与女生的份数，让女生份数除以学生的总份数解答即可．
【解答】解：因为女生与男生的人数比为3：2，所以总数是3+2＝5份，
所以该班学生中随机选取一名学生是女生的概率为 ．
故选：A．
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；注意先求得学生的总份数．
5．如图，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB'C′（点B、C的对应点分别为点B′、
C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．90°
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，根据等腰三角形的性质易得
∠AB′B＝30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，然后利用
∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算．
【解答】解：∵以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB'C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝ （180°﹣120°）＝30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，
∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝120°﹣30°＝90°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的
性质．
6．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接
AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作 O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝3 ，则
⊙
下列结论： F是CD的中点； O的半径是2； AE＝ CE； S ＝ ．其中正确的个数
阴影
① ②⊙ ③ ④
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】 根据勾股定理易求得DF长度，即可判定；
连接O①P，易证OP∥CD，根据平行线分线段成比例定理即可判定；
②易证AE＝2EF，EF＝2EC即可判定；
③连接OG，作OH⊥FG，易证△OFG为等边△，即可求得S
阴影
即可解题；
④【解答】解： ∵AF是AB翻折而来，
∴AF＝AB＝6，①
∵四边形ABCD是矩形，
AD＝BC＝3 ，
∴DF＝ ＝ ＝3，
∴F是CD中点；
∴ 正确；
①连接OP，
②∵ O与AD相切于点P，
∴⊙OP⊥AD，
∵AD⊥DC，
∴OP∥CD，
∴ ，
设OP＝OF＝x，则 ，解得：x＝2，
∴ 正确；
②∵Rt△ADF中，AF＝6，DF＝3，
③∴∠DAF＝30°，∠AFD＝60°，
∴∠EAF＝∠EAB＝30°，
∴AE＝2EF；
∵∠AFE＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣∠AFD＝30°，
∴EF＝2EC，
∴AE＝4CE，
∴ 错误；
③连接OG，作OH⊥FG，
④
∵∠AFD＝60°，OF＝OG，∴△OFG为等边三角形；同理△OPG为等边三角形；
∴∠POG＝∠FOG＝60°，OH＝ ，S ＝S ，
扇形OPG 扇形OGF
∴S ＝（S ﹣S ﹣S ）+（S ﹣S ）
阴影 矩形OPDH 扇形OPG △OGH 扇形OGF △OFG
＝S ﹣ S ＝2× ﹣ × × ＝ ．
矩形OPDH △OFG
∴ 正确；
其④中正确的结论有： ，3个；
故选：C． ①②④
【点评】本题考查了矩形面积的计算，正三角形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理的运用，
本题中熟练运用上述考点是解题的关键．
7．如图，过y轴上一个动点M作x轴的平行线，交双曲线 于点A，交双曲线 于点B，点C、
点D在x轴上运动，且始终保持DC＝AB，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．7 B．10 C．14 D．28
【分析】设出M点的坐标，可得出过M与x轴平行的直线方程为y＝m，将y＝m代入反比例函数y＝﹣
中，求出对应的x的值，即为A的横坐标，将y＝m代入反比例函数y＝ 中，求出对应的x的值，
即为B的横坐标，用B的横坐标减去A的横坐标求出AB的长，根据DC＝AB，且DC与AB平行，
得到四边形ABCD为平行四边形，过B作BN垂直于x轴，平行四边形的底边为DC，DC边上的高
为BN，由B的纵坐标为m，得到BN＝m，再由求出的AB的长，得到DC的长，利用平行四边形的
面积等于底乘以高可得出平行四边形ABCD的面积．
【解答】解：设M的坐标为（0，m）（m＞0），则直线AB的方程为：y＝m，
将y＝m代入y＝﹣ 中得：x＝﹣ ，∴A（﹣ ，m），
将y＝m代入y＝ 中得：x＝ ，∴B（ ，m），∴DC＝AB＝ ﹣（﹣ ）＝ ，
过B作BN⊥x轴，则有BN＝m，
则平行四边形ABCD的面积S＝DC•BN＝ •m＝14．
故选：C．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：平面直角坐标系与坐标，反比例函数的性质，平
行四边形的面积求法，以及一次函数与反比例函数的交点，利用了数形结合的思想，其中设出M
的坐标，表示出过M与x轴平行的直线方程是本题的突破点．
8．如图，点A在 O上，BC为 O的直径，AB＝4，AC＝3，D是 的中点，CD与AB相交于点P，则
⊙ ⊙
CP的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图作PH⊥BC于H．首先证明AP＝PH，设PA＝PH＝x，根据勾股定理构建方程即可解决问
题；
【解答】解：如图作PH⊥BC于H．
∵ ＝ ，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，
∴PA⊥AC，∵PH⊥BC，
∴PA＝PH，设PA＝PH＝x，
∵PC＝PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCH，
∴AC＝CH＝3，
∵BC＝ ＝5，
∴BH＝2，
在Rt△PBH中，∵PB2＝PH2+BH2，
∴（4﹣x）2＝x2+22，
解得x＝ ，
∴PC＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、角平分线的性质定理等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和
（3，0）之间，对称轴是x＝1．对于下列说法： ab＜0； 2a+b＝0； 3a+c＞0； a+b≥m
（am+b ）（m为实数）； 当﹣1＜x＜3时，y①＞0，其中正②确的是（ ③ ） ④
⑤
A． B． C． D．
【分析】①由②抛物④线的开口方向判①断②a⑤与0的关系，由抛②物③线与④y轴的交点判断③c④与⑤0的关系，然后根据
对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，
y＞0．
【解答】解： ∵对称轴在y轴右侧，
①∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
∵对称轴x＝﹣ ＝1，
②
∴2a+b＝0；故正确；
∵2a+b＝0，
③∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；
根据图示知，当m＝1时，有最大值；
④当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
⑤故错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握 二次项系数a决定抛物线的
开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口①； 一次项系数b和二次项系
数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y②轴左； 当a与b异号时（即
ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异） 常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交
于（0，c）． ③
10．如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝ 的图象相交于A（﹣2，y ）、B（1，y ）两点，则不等
1 2
式ax+b＜ 的解集为（ ）A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2
C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式ax+b＜ 的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关
系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结
合交点坐标得出不等式的解集是关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝ 201 8 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程，整理即可求出a+b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程有：
a+b﹣2018＝0，
即a+b＝2018．
故答案是：2018．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出代数式的值．
12．有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是
．
【分析】根据题意，使用列举法可得从4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形
的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5，3种；
故其概率为： ．
【点评】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识
点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 8 ．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2． π
【解答】解：底面半径是2，则底面周长＝4 ，圆锥的侧面积＝ ×4 ×4＝8 ．
π π π
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
14．函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为 ﹣ 5 ．
【分析】将二次函数配方，即可直接求出二次函数的最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x﹣1）2﹣5，
∴可得二次函数的最小值为﹣5．
故答案是：﹣5．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．
15．如图，点A、B、C分别是 O上三个点，且CA⊥AB，若CA＝2，AB＝4，则OA的长为 ．
⊙
【分析】连接BC．利用圆周角定理证明BC是 O的直径，利用勾股定理即可解决问题；
【解答】解：连接BC． ⊙
∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∴BC是直径，∴OA＝OB＝OC，
∵BC＝ ＝ ＝2 ．
∴OA的长为 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记
为C ，将C 向右平移得到C ，C 与x轴交于点B、D，C 的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图
1 1 2 2 2
形的面积为 4 ．
【分析】由S ＝S ＝BD×OE，即可求解．
阴影部分图形 四边形BDFE
【解答】解：令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，
则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S ＝S ＝BD×OE＝2×2＝4．
阴影部分图形 四边形BDFE
故：答案为4．
【点评】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S ＝S 是本题的关键．
阴影部分图形 四边形BDFE
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解方程：
（1）2x2﹣2 x﹣5＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【分析】（1）利用公式法解方程；
（2）移项，通过提取公因式（x﹣3）对等式的左边进行因式分解；
【解答】解：（1）2x2﹣2 x﹣5＝0，
∵a＝2，b＝﹣2 ，c＝﹣5，∴b2﹣4ac＝（﹣2 ）2﹣4×2×（﹣5）＝48，
∴x＝ ＝ ，
解得，x ＝ ，x ＝ ；
1 2
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9，
2（x﹣3）2﹣（x﹣3）（x+3）＝0，
（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）＝0，
x﹣3或x﹣9＝0，
解得，x ＝3，x ＝9．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程．解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，因式分解法以
及换元法等，解方程时，需要根据方程的特点选择解方程的方法．
18．（8分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，点E在BD上；
（1）求证：FD＝AB；
（2）连接AF，求证：∠DAF＝∠EFA．
【分析】（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF＝AE，再根据AE＝AB＝CD，即可得出AB＝
DF；
（2）设EF与AD交点为点H，由△AED≌△FDE，可得∠EDA＝∠DEF，EF＝AD，可证HF＝HA，即可
得∠DAF＝∠EFA．
【解答】解：（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，又∵AE＝AB＝CD，
∴AB＝DF；
（2）如图：设EF与AD交点为点H
∵△AED≌△FDE
∴∠EDA＝∠DEF，EF＝AD
∴HE＝HD
又∵EF＝AD
∴EF﹣HE＝AD﹣HD
即HF＝HA
∴∠DAF＝∠EFA
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用这些性质进行推理
是本题的关键．
19．（8分）向阳中学为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，调查者随机抽取若干名学生，调查他
们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表（图）．根据图表信息，解
答下列问题：
频率分布表
阅读时间 频数 频率
（小时） （人）
1≤x＜2 9 0.15
2≤x＜3 a m
3≤x＜4 18 0.3
4≤x＜5 12 n
5≤x＜6 6 0.1
合计 b 1
（1）填空：a＝ 1 5 ，b＝ 6 0 ，m＝ 0.2 5 ，n＝ 0. 2 ；
（2）将频数分布直方图补充完整；（3）阅读时间不低于5小时的6人中，有2名男生、4名女生．现从这6名学生中选取两名同学进行读
书宣讲，求选取的两名学生恰好是两名女生的概率．
【分析】（1）根据阅读时间为1≤x＜2的人数及所占百分比可得，求出总人数b＝60，再根据频率、频数、
总人数的关系即可求出m、n、a；
（2）根据数据将频数分布直方图补充完整即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到两名女生的情况，再
利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵本次调查的总人数b＝9÷0.15＝60，
∴a＝60﹣（9+18+12+6）＝15，
则m＝ ＝0.25、n＝ ＝0.2，
故答案为：15、60、0.25、0.2；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）用X、Y表示男生、A、B、C、D表示女生，
画树状图如下：由树状图知共有30种等可能结果，其中选取的两名学生恰好是两名女生的结果数为12，
所以选取的两名学生恰好是两名女生的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查读频数（率）分布表的能力和利用图表获取信息的能力．利用统计图表获取信息时，
必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：各小组频
数之和等于数据总数；各小组频率之和等于1；频率＝频数÷数据总数；概率＝所求情况数与总情
况数之比．
20．（8分）方程x2﹣kx+k﹣2＝0有两个实数根x ，x ，且0＜x ＜1，2＜x ＜3，求k的取值范围．
1 2 1 2
【分析】由于方程x2﹣kx+k﹣2＝0有两个实数根x ，x ，且0＜x ＜1，2＜x ＜3，根据一元二次方程与二
1 2 1 2
次函数的关系可画出二次函数y＝x2﹣kx+k﹣2的图象，根据图象得到当x＝0，y＝k﹣2＞0；当x＝
1，y＝1﹣k+k﹣2＜0；当x＝2，y＝4﹣2k+k﹣2＜0；当x＝3，y＝9﹣3k+k﹣2＞0，求出几个不等式解
的公共部分即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵方程x2﹣kx+k﹣2＝0有两个实数根x ，x ，且0＜x ＜1，2＜x ＜3，
1 2 1 2
∴二次函数y＝x2﹣kx+k﹣2如图所示，
∴x＝0，y＝k﹣2＞0；x＝1，y＝1﹣k+k﹣2＜0；x＝2，y＝4﹣2k+k﹣2＜0；x＝3，y＝9﹣3k+k﹣2＞0，
而△＝k2﹣4（k﹣2）＝（k﹣2）2+4＞0，
∴2＜k＜3.5，
即k的取值范围为2＜k＜3.5．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两
个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一
元二次方程与二次函数的关系．
21．（8分）如图，已知A（﹣4，n），B（3，4）是一次函数y ＝kx+b的图象与反比例函数 的图象的
1
两个交点，过点D（t，0）（0＜t＜3）作x轴的垂线，分别交双曲线 和直线y ＝kx+b于P、Q两
1
点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当t为何值时， ；
（3）以PQ为边在直线PQ的右侧作正方形PQMN，试说明：边QM与双曲线 （x＞0）始终有交
点．
【分析】（1）根据点B的坐标求得反比例函数解析式，再根据反比例函数求得点A的坐标，最后根据待
定系数法求得一次函数解析式即可；（2）△APQ与△BPQ有一条公共边，根据同底的三角形的面积之比等于高之比，列出关于t的方程进
行求解；
（3）设直线QM与双曲线交于C点，根据点P、Q、C三点的坐标，用t的代数式表示出QM﹣QC，再根
据t的取值范围判断代数式的值的符号即可．
【解答】解：（1）将B（3，4）代入 ，得m＝3×4＝12，
∴反比例函数解析式为 ，
将A（﹣4，n）代入反比例函数，得n＝﹣3，
∴A（﹣4，﹣3）
∵直线y ＝kx+b过点A和点B，
1
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）如图1，∵PQ⊥x轴，
∴以PQ为底边时，△APQ与△BPQ的面积之比等于PQ边上的高之比，
又∵ ，
∴ ，
∵点D（t，0），A（﹣4，﹣3），B（3，4），
∴ ，即 ，
解得 ；
（3）如图2，设直线QM与双曲线交于C点．
依题意可知：P（t， ），Q（t，t+1），C（ ，t+1），
∴QM＝PQ＝ ，QC＝ ，∴QM﹣QC＝ ＝ ，
∵0＜t＜3，
∴0＜t（t+1）＜12，
∴ ＞1，
即QM﹣QC＞0，
∴QM＞QC，
即边QM与双曲线 始终有交点．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用定系数法求得函数解析式是解决问
题的关键．解此类试题时注意：同底的三角形的面积之比等于高之比；等高的三角形的面积之比等
于底边之比．
22．（10分）如图，AD是 O的弦，AC是 O直径， O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，
∠DAC＝30°． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：△ADB是等腰三角形；
（2）若BC＝ ，则AD的长为 3 ．
【分析】（1）根据切线的性质和等腰三角形的判定证明即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠DAC＝30°，
∴∠ADO＝∠DAC＝30°，∠DOC＝60°，
∵BD是 O的切线，
∴OD⊥B⊙D，即∠ODB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠DAC＝∠B，
∴DA＝DB，
即△ADB是等腰三角形．
（2）解：连接DC，
∵∠DAC＝∠B＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OC，
∴△DOC是等边三角形，
∵， O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，
⊙
∴BC＝DC＝OC＝ ，
∴AD＝ ，
故答案为：3
【点评】本题考查切线的判定和性质，解题的关键是根据切线的性质和等腰三角形的判定．
23．（10分）某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，为了调查这种新产品的销路，
该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量（t 件）与每件的销售价x（元/件）之间有如下关系：
t＝﹣20x+800（20≤x≤40）
（1）请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y（元）与x之间的函数关系式，并求出超市能获取的
最大利润是多少元．
（2）若超市想获取1500元的利润．求每件的销售价．
（3）若超市想获取的利润不低于1500元，请求出每件的销售价X的范围？【分析】（1）根据利润＝单件利润×销售量列出y与x的函数关系式，利用对称轴求函数最大值；
（2）令y＝1500构造一元二次方程；
（3）由（2）结合二次函数图象观察图象可解．
【解答】解：（1）由已知y＝（x﹣20）t＝（x﹣20）（﹣20x+800）＝﹣20x2+1200x﹣16000
当x＝﹣ 时，y ＝（30﹣20）（﹣20×30+800）＝2000
最大
（2）当1500＝﹣20x2+1200x﹣16000
解得x ＝35，x ＝25
1 2
所以每件的销售价为35元和25元．
（3）由（2）结合函数图象可知超市想获取的利润不低于1500元，x的取值范围为：
25＜x＜35
【点评】本题是二次函数实际应用问题，考查了二次函数的性质和一元二次方程，解答（3）时注意结合
函数图象解决问题．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是
（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴
的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．
（1）求点A的坐标．
（2）求抛物线的表达式．
（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
【分析】（1）令y＝﹣ x+2＝0，解得：x＝4，即可求解；
（2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（3）以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，利用|MQ|＝BD即可求解．【解答】解：（1）令y＝﹣ x+2＝0，解得：x＝4，y＝0，则x＝2，
即：点A坐标为：（4，0），
B点坐标为：（0，2）；
（2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，
解得：b＝﹣ ，c＝﹣2，
故：二次函数表达式为：y＝ x2﹣ x﹣2；
（3）设点M（m，﹣ m+2），则Q（m， m2﹣ m﹣2），
以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，
则：|MQ|＝±（ m2﹣ m﹣2）＝BD＝4，
解得：m＝2，m＝0（舍去）；
∴m＝1 ，
故：m＝2或1 或1﹣ ．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间
的关系．
