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期末真题必刷压轴 60 题（18 个考点专练）
一．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
1．（2022秋•梁子湖区期末）阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘 记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记
为log 8（即log 8＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为
2 2
log b（即log b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 81（即log 81＝4）．
a a 3 3
（1）计算以下各对数的值：
log 4＝ ，log 16＝ ，log 64＝ ．
2 2 2
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 4、log 16、log 64之间又满足怎样的关
2 2 2
系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
log M+log N＝ ；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
a a
（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明上述结论．
二．多项式乘多项式（共1小题）
2．（2023春•安徽期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项
式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得
到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）求正确的a、b的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
三．完全平方公式的几何背景（共1小题）
3．（2022秋•西岗区校级期末）【探究】若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；
【应用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
【拓展】
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD
的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝ ，DF＝ ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
四．整式的除法（共1小题）
4．（2022秋•海淀区校级期末）已知a，b，c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+3x﹣4整除，
（1）求4a+c的值；
（2）求2a﹣2b﹣c的值；
（3）若a，b，c为整数，且c≥a＞1，试确定a，b，c的值．
五．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
5．（2023春•渠县校级期末）阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式
x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配
方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．
（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．
六．因式分解的应用（共3小题）
6．（2022秋•平城区校级期末）综合与实践
如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长
方形，设图1中阴影部分面积为S ，图2中阴影部分面积为S ．
1 2
（1）请直接用含a和b的代数式表示S ＝ ，S ＝ ；写出利用图形的面
1 2
积关系所得到的公式： （用式子表达）．
（2）依据这个公式，康康展示了“计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）”的解题过程．解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣
1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：2（3+1）
（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．
（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
7．（2022秋•江北区校级期末）如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百
位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自
然数4312，其中3＞1，4＝3+1，2＝3﹣1，所以4312是亲密数；
（1）最小的亲密数是 ，最大的亲密数是 ；
（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意
一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；
（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的 7倍之差能被13整除，请求出这
个亲密数．8．（2022秋•沙坪坝区校级期末）若一个整数能表示成 a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为
“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为2＝12+12，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x+y，y是
正整数），所以M也是“丰利数”．
（1）请你写一个最小的三位“丰利数”是 ，并判断20 “丰利数”．（填是或不
是）；
（2）已知S＝x2+y2+2x﹣6y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“丰利数”，试求出符合条件的一
个k值（10≤k＜200），并说明理由．
七．分式的加减法（共1小题）
9．（2022秋•固始县期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，
称这样的分式为真分式．例如，分式 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称
这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的
和．例如， ．（1）将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
（2）若分式 的值为整数，求x的整数值．
八．分式的化简求值（共2小题）
10．（2022秋•铁岭县期末）先化简，再对a取一个适当的数，代入求值． ﹣ ÷ ．
11．（2022秋•平城区校级期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形
式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ＝ ＝ + ＝1+ ， ＝ ＝
+ ＝2+ ，则 和 都是“和谐分式”．
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；① ；② ；③ ；④
（2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝
+ ；
（3）应用：先化简 ﹣ ÷ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
九．分式方程的应用（共11小题）
12．（2022秋•东昌府区校级期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管
道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数
是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居
民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
13．（2022秋•沙洋县校级期末）甲、乙两车站相距450km，一列货车从甲车站开出3h后，因特殊情况在
中途站多停了一会，耽误了30min，后来把货车的速度提高为原来的1.2倍，结果准时到达乙站，求这
列货车原来的速度．14．（2022秋•湖里区校级期末）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知
A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米．
（1）若甲车比乙车的速度快12千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度．
（2）设乙车的速度x千米/时，甲车的速度（x+a）千米/时，若x＝10a，则哪一辆车先到达C城，并说
明理由．
15．（2022秋•新化县期末）某工厂对零件进行检测，引进了检测机器．已知一台检测机的工作效率相当
于一名检测员的20倍．若用这台检测机检测900个零件要比15名检测员检测这些零件少3小时．
（1）求一台零件检测机每小时检测零件多少个？
（2）现有一项零件检测任务，要求不超过7小时检测完成3450个零件．该厂调配了2台检测机和30名
检测员，工作3小时后又调配了一些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务？
16．（2022秋•代县期末）为缓解忻州至太原段的交通压力，促进两市经济发展．山西省委决定修建“太
忻大道”，现“太忻大道”正在建设中．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工 30
天完成该项工程的 ，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？17．（2022秋•长沙期末）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完
成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 天（用含a的代数式表
示）可完成此项工程；
（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少
要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
18．（2022秋•青云谱区期末）一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司单独完成此
项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍．
（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若已知甲乙合做完成此项工程共需费用102000元，并且乙公司每天费用比甲公司每天费用少1500
元，分别计算甲、乙单独完成此项工程各需多少费用并选择合理的施工方案．
19．（2023春•新吴区期末）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下
降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售
额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，
B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15
辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还
顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？20．（2023春•开江县校级期末）某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、
乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用 20天，
而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的 ，公司需付甲工厂加工费用每天80元，需付乙工
厂加工费用每天120元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过
程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天 10元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种
既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
21．（2022秋•扶沟县校级期末）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：
甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内
完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成
该工程省钱？
22．（2022秋•安顺期末）周末某班组织登山活动，同学们分甲，乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山
顶进发，设甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比2：3．
（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比；（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1.2千米，试问山脚离山顶
的路程有多远？
（3）在题（2）所述内容（除最后的问句处）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息
片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇，请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予
解答．
（要求：①问题的提出不需再增添其它条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有书面条
件．）
一十．三角形内角和定理（共11小题）
23．（2022秋•枣阳市期末）如图，在△ABC中∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，
DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．
24．（2022秋•榆次区校级期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我
们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，直接写出∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系： ；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边 XY、XZ恰好经过点B、C，
∠A＝42°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝140°，则∠DCE＝ °；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G 、G …、G ，若∠BDC＝142°，∠BG C＝70°，则
1 2 9 1
∠A＝ °．
25．（2022秋•城关区校级期末）如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC边上两点．
研究（1）：如果沿直线 DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系是
；
研究（1）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是 ；
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由．26．（2022秋•和平区校级期末）【数学模型】
如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下
关系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．
【提出问题】
分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存
在某种数量关系呢？
【解决问题】
为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于
点E．
（1）如图（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝ ．
（2）如图（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？
易证∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，请你完成接下来的推理过程：
∴∠D+∠1+∠B+∠4＝ ，
∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴2∠E＝ ，
又∵∠D＝30°，∠B＝50°，
∴∠E＝ 度．
（3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E 与∠D、∠B 之间的数量关系是：．
【类比应用】
如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E．
已知：∠D＝ 、∠B＝ ，（ ＜ ）则∠E＝ （用 、 表示）．
α β α β α β
27．（2022秋•大竹县校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，
PE⊥AD交直线BC于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求∠E的度数．
28．（2022秋•天山区校级期末）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＝75°，∠C＝
45°，求∠DAE与∠AEC的度数．
29．（2022秋•平桥区校级期末）如图，AD为△ABC的高，BE为△ABC的角平分线，若∠EBA＝32°，∠AEB＝70°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若点F为线段BC上任意一点，当△EFC为直角三角形时，则∠BEF的度数为 ．
30．（2022秋•盐湖区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不
妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边 XY、XZ恰好经过点B、C，
∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G 、G …、G ，若∠BDC＝133°，∠BG C＝70°，求
1 2 9 1
∠A的度数．
31．（2022秋•高新区校级期末）叙述并证明“三角形的内角和定理”．（要求根据下图写出已知、求证
并证明）32．（2022秋•开江县校级期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足
为F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B＝34°，且∠ACD＝47°，求∠3的度数．
33．（2022秋•渠县校级期末）图（1）是我们常见的“箭头图”，其中隐藏着哪些数学知识呢？下面请你
解决以下问题：
（1）观察如图（1）“箭头图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间大小的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：
①如图（2），把一块三角板XYZ放置在△ABC上，使其两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C．若∠A
＝50°，则∠ABX+∠ACX＝ ；
②如图（3），∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G 、G 、G 、G ，若∠BDC＝135°，∠BG C
1 2 3 4 1
＝67°，求∠A的度数．
一十一．三角形的外角性质（共3小题）
34．（2022秋•万全区期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E
在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD．
（1）求∠BAF的度数．
（2）求∠F的度数．
35．（2022秋•建平县期末）如图，已知：点P是△ABC内一点．
（1）求证：∠BPC＞∠A；
（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A＝40°，求∠P的度数．36．（2022秋•黄石港区期末）已知如图∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠BAD＝40°，求∠EDC度数．
一十二．全等三角形的判定与性质（共13小题）
37．（2022秋•青秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，3），C（3，0），D
（0，2）．
（1）求证：AB＝CD且AB⊥CD；
（2）以A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABE，过点E作EF⊥x轴于点F，求点F的坐标；
（3）若点P为y轴正半轴上一动点，以AP为直角边作等腰直角三角形APQ，∠APQ＝90°，QR⊥x轴
于点R，当点P运动时，OP﹣QR的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
38．（2022秋•广水市期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A
（m，0）、B（0，n），且 ，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO
匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求OA、OB的长；
（2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；
（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这
样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．39．（2022秋•苍梧县期末）如图1，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，E在
线段AC上，连接AD，BE的延长线交AD于F．
（1）猜想线段BE，AD的数量关系和位置关系： （不必证明）；
（2）当点E为△ABC内部一点时，使点D和点E分别在AC的两侧，其它条件不变．
①请你在图2中补全图形；
②（1）中结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．40．（2022秋•兴隆县期末）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，
得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件
和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．41．（2022秋•宜春期末）【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，m），B（n，0），且（m
﹣n）2+n2﹣4n+4＝0，连接 AB，点 P、点 Q 是 x 轴上的动点，且 OP＝BQ．连接 AQ，过 O 点作
OD⊥AQ于点E，交直线AB于点D，连接DP，试问在运动过程中，∠BPD与∠AQO是否存在某种特
定的数量关系．
（1）直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段OB上，且P点在Q点的左侧时．
①求证：∠DOB＝∠QAO；
②试猜想∠BPD与∠AQO的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若∠AQO＝ ，用 表示∠BPD＝
．（不需证明） α α
42．（2022秋•沈河区期末）△ABC，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝ ．
（1）如图1，当 ＝70°时，∠ABE＝15°时，α求∠BAE的大小；
（2）当 ＝90°，αAB＝AC＝8时，
①如图2α．延长BF，当BF＝BA，求CF的长；
②若AD＝5 ，直接写出CF的长．
43．（2022秋•长寿区期末）已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．
（1）如图 1，若点 O在边 BC 上，过点 O分别作 OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足．求证：
△OEB≌△OFC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示．
44．（2022秋•东西湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（b，0），点C（﹣
3，0），且a、b满足a2﹣6a+9+|a﹣b|＝0．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）求证：AB＝AC；
（3）若∠CAB＝90°，过点A作射线l（射线l与边BC有交点），过点B作BD⊥l于点D，过点C作
CE⊥l于点E，过点E作EF⊥DC于点F交y轴于点G．
①求证：AE＝BD；
②求点G的坐标．
45．（2022秋•东西湖区校级期末）如图，已知△ABC中，AC＝CB＝20cm，AB＝16cm，点D为AC的中
点．
（1）如果点P在线段AB以6cm/s的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段BC上由点B向C点运
动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△APD与△BQP是否全等？说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△APD与△BQP
全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点 A同时出发，都逆时针沿
△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
46．（2022秋•金湾区期末）如图1，已知点A（a，0），点B（0，b），且a、b满足 +|4﹣b|＝0．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点C是第一象限内一点，且∠OCB＝45°，过点A作AD⊥OC于点F，求证：FA＝FC；
（3）如图2，若点D的坐标为（0，1），过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交x轴于点G，求
G点的坐标．47．（2022秋•盐山县校级期末）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB＝
OC．求证：∠1＝∠2．
48．（2022秋•广水市期末）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在
BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠EDC的度数．49．（2022秋•灵宝市校级期末）（1）在图1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC
＝90°，则能得如下两个结论：①DC＝BC；②AD+AB＝AC．请你证明结论②；
（2）在图2中，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC+∠ADC＝180°，其他条件不变，
则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
一十三．等腰三角形的性质（共1小题）
50．（2022秋•金华期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；
（1）若AB＝BD，则∠A的度数为 °（直接写出结果）；
（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC．
（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC．一十四．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
51．（2022秋•明水县校级期末）（1）如图①，在△ABC中，BF，CF分别平分∠ABC，∠ACB，过点F
作直线平行于BC，分别交AB，AC于点D，E，求证：DE＝BD+CE；
（2）如图②，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段
DE，DB，EC之间有何数量关系？证明你的猜想．
一十五．等边三角形的性质（共2小题）
52．（2022秋•荣昌区期末）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P
从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不
变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线 AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则
∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
53．（2022秋•上杭县校级期末）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE
交直线a于点E，且∠ADE＝60°．
（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE＝CA；（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．
一十六．多边形（共1小题）
54．（2022秋•西城区期末）在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，
我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为 S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格
点数为L．
（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
多边形 面积S 内部格点数N 边上格点数L
N+
Ⅰ
Ⅱ 7 4 8 8
Ⅲ
Ⅳ 9 5 10 10
Ⅴ 15.5 11 11 16.5（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S 与 N+ 的数量关系可用等式表示为
；
（3）已知格点长方形ABCD，设其边长AB＝m，BC＝n，其中m，n为正整数．请以格点长方形ABCD
为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．
一十七．多边形内角与外角（共1小题）
55．（2022秋•东港区校级期末）已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN．
（1）若多边形为四边形ABCD．
①如图1，∠A＝50°，∠C＝100°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数；
②如图2，猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时，BM∥DN，并证明你的猜想．
（2）如图3，若多边形是五边形ABCDG，已知∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，BM与DN交
于点P，求∠BPD的度数．一十八．作图-轴对称变换（共5小题）
56．（2022秋•花都区期末）如图所示，
（1）写出顶点C的坐标；
（2）作△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出B 的坐标；
1 1 1 1
（3）若点A （a，b）与点A关于x轴对称，求a﹣b的值．
257．（2022秋•通川区校级期末）如图，△ABC是正方形网格上的格点三角形（顶点A、B、C在正方形网
格的格点上）
（1）画出△ABC关于直线l的对称图形；
（2）画出以P为顶点且与△ABC全等的格点三角形．（规定：点P与点B对应）
58．（2022秋•荆门期末）如图，在直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1）、B（3，﹣
1）、C（4，2），
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出点A 、B 、C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
（2）若△A B C 与△A B D全等（D点与C 不重合），直接写出点D的坐标．
1 1 1 1 1 159．（2022秋•滨城区校级期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶
点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系．
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
（3）求△ABC的面积．
60．（2022秋•固始县期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A B C ；
1 1 1
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A B C 三个顶点A 、B 、C 的坐标；
2 2 2 2 2 2
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
