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人教版八下期末真题必刷 05（压轴大题 60 题 12 个考点专练）
一．一次函数综合题（共14小题）
1．（2023春•栾城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ， 与 轴、 轴分别交于点
、 ，直线 ， 与 轴、 轴分别交于点 、 ，点 在直线 上．
（1）直线 过定点 吗？ 过 （填“过”或“不过” ．
（2）若点 、 关于点 对称，求此时直线 的解析式；
（3）若直线 将 的面积分为 两部分，请求出 的值；
（4）当 时，将点 向右平移2.5个单位得到点 ，当线段 沿直线 向下平移时，
请直接写出线段 扫过 内部（不包括边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）的坐标．
【分析】（1）根据直线 的解析式，即可判定；
（2）首先可求得点 的坐标，再根据求线段中点坐标公式，即可求解；
（3）首先求得点 、 、 的坐标，再分两种情况，根据三角形的面积公式，即可分别求得点 、 的
坐标，据此即可求解；
（4）首先可求得直线 的解析式为 ，及线段 的长，再由 内部（不包括边界）的整点有：
， ， ， ， ， ，即可一一判定．
【解答】解：（1） ，
当 时， ，直线 过定点 ，
故答案为：过；
（2）在 中，令 ，则 ，
，
点 、 关于点 对称，
，
将点 的坐标代入 ，得 ，
解得 ，
直线 的解析式： ；
（3）在 中，令 ，则 ，
， ，
，
，
，
直线 过定点 ，直线 过点 ，
两直线的交点为 ，点 到 轴的距离为1，到 轴的距离为4，
①当 时， ，
解得 ．
，
，
，
解得 ；②当 时， ，
解得 ，
，
，
，
，
解得 ，
综上， 的值为4或 ；
（4）当 时，直线 的解析式为 ，
将点 向右平移2.5个单位得到点 ，
，
内部（不包括边界）的整点有： ， ， ， ， ， ，
在 中，当 时， ，
， ， ，
当线段 沿直线 向下平移时，线段 不扫过 内部（不包括边界）的整点： ， ，
；
在 中，当 时， ，
， ，
当线段 沿直线 向下平移时，线段 扫过 内部（不包括边界）的整点 ，不扫过
，在 中，当 时， ，
，
当线段 沿直线 向下平移时，线段 扫过 内部（不包括边界）的整点 ，
综上，当线段 沿直线 向下平移时，线段 扫过 内部（不包括边界）的整点有 ，
．
【点评】本题考查了一次函数的综合，坐标与图形，中点坐标公式，三角形的面积公式，采用分类讨论的
思想是解决本题的关键．
2．（2023春•巴南区期末）如图，一次函数 的图象交 轴于点 ， ，与正比例函数
的图象交于点 ，点 的横坐标为 ．
（1）求一次函数 的解析式；
（2）若点 在 轴上，且满足 ，求点 的坐标；
（3）一次函数 有一点 ，点 的纵坐标为1，点 为坐标轴上一动点，在函数 上确定
一点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 的坐标，并
写出求解点 的坐标的其中一个情况的过程．
【分析】（1）先求得 ， ，再运用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）设 ，则 ，根据 ，建立方程求解即可得出答案；
（3）根据题意可得 ， ，设 ，当点 在 轴上时，设 ，分三种情况：若
、 为对角线，则 、 的中点重合，若 、 为对角线，则 、 的中点重合，若、 为对角线，则 、 的中点重合，当点 在 轴上时，设 ，分三种情况：若 、
为对角线，则 、 的中点重合，若 、 为对角线，则 、 的中点重合，若 、
为对角线，则 、 的中点重合，分别建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1） ，
，
直线 经过点 ，且点 的横坐标为 ，
，
把 ， 代入 ，得 ，
解得： ，
一次函数的解析式为 ；
（2）设 ，则 ，
，
，
即 ，
解得： ，
点 的坐标为 或 ；
（3）由（1）知 ，
一次函数 有一点 ，点 的纵坐标为1，
，点 在直线 上，
设 ，
当点 在 轴上时，设 ，
若 、 为对角线，则 、 的中点重合，
，
解得： ，
， ；
若 、 为对角线，则 、 的中点重合，
，
解得： ，
， ；
若 、 为对角线，则 、 的中点重合，
，
解得： ，
， ；
当点 在 轴上时，设 ，
若 、 为对角线，则 、 的中点重合，，
解得： ，
；
若 、 为对角线，则 、 的中点重合，
，
解得： ，
；
若 、 为对角线，则 、 的中点重合，
，
解得： ，
；
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 或 或 ．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积，平行四边形性质等，解题的关键是进
行正确的分类讨论．
3．（2023春•偃师市校级期末）如图，已知直线 经过 、 两点．（1）求直线 的解析式；
（2）若 是线段 上一点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，此时点 恰好落在直线 上．
①求点 和点 的坐标；
②若点 在 轴上， 在直线 上，是否存在以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
直接写出所有满足条件的点 坐标，否则说明理由．
【分析】（1）根据点 ， 的坐标，利用待定系数可求出直线 的表达式；
（2）①证明 ，利用全等三角形的性质可求出 、 的长，进而可得出点 、 的坐标；
②设点 的坐标为 ，分 为边和 为对角线两种情况考虑：当 为边时，由 ， 的坐
标及点 的横坐标可求出 值，进而可得出点 的坐标；当 为对角线时，由 ， 的坐标及点 的横
坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出 值，进而可得出点 的值．综上，此题得解．
【解答】解：（1）将 ， 代入 得：
，解得： ，
直线 的表达式为 ；
（2）① ，
， ，
．
在 和 中，
，
，
， ．设 ，则点 的坐标为 ，
点 在直线 上，
，
，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
②存在，设点 的坐标为 ．
分两种情况考虑，
当 为边时，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的横坐标为0，
或 ，
或 ，
点 的坐标为 或 ；
当 为对角线时，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的横坐标为0，
，，
点 的坐标为 ．
综上所述：存在以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为 或 或 ．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、
全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法
求出直线 的表达式；（2）利用全等三角形的判定和性质求解；（3）分 为边和 为对角线两种情
况，利用平行四边形的性质求出点 的坐标．
4．（2023春•武侯区期末）如图1，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与一次函数
的图象在第一象限相交于点 ，与 轴正半轴相交于点 ．
（1）若点 的坐标为 ，分别求 ， 的值；
（2）在（1）的条件下，是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，如图2，连接 ，过点 作 交直线 于点 ，试探究 的形状．
【分析】（1）将点 的坐标为 代入 可得 的值，将点 的坐标代入 可得
的值；
（2）分三种情况：①当 为对角线时，②当 为对角线时，③当 为对角线时，根据平行四边形的
性质分别求解即可；
（3）设点 ，根据勾股定理求出 的值，可得 ，即可得 的形状．【解答】解：（1）将点 的坐标为 代入 得，
，
点 的坐标为 ，代入 得，
，解得 ；
（2）存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
由（1）得直线 的解析式为 ，
，
分三种情况：
设点 ，
①当 为对角线时，
， ， ，
， ，
， ，
；
②当 为对角线时，
， ， ，
， ，
， ，
；
③当 为对角线时，
， ， ，
， ，
， ，
；综上，存在，点 的坐标为 或 或 ；
（3）设点 ，
，
，
，解得 ，
，
， ，
， ，
，
是等腰三角形．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，
根据平行四边形边的性质分类讨论是（2）小问的关键，利用勾股定理求出点 的坐标是（3）小问的关键．
5．（2023春•抚顺县期末）如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，直线 与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ，一次函数 的图象经过点 ，与 轴交于点 ，点 是直线 上一
点，点 是直线 上一点．
（1）求一次函数 的表达式；
（2）当点 在第二象限， 轴且 时，求点 的坐标；
（3）当以点 ， ， 为顶点的三角形是以 为直角的等腰直角三角形时，直接写出点 的坐标．【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设点 ，点 ，则 ，即可求解；
（3）证明 ，得到 且 ，即可求解．
【解答】解：（1） 直线 与 轴交于点 ，则点 ，
则 ，
将点 的坐标代入 得： ，
解得： ，
则一次函数 的表达式为： ；
（2）设点 ，点 ，
则 ，
解得： ，
则点 ， ；
（3）设 ，点 ，
分别过点 、 作 轴的垂线，垂足分别为点 、 ，以点 ， ， 为顶点的三角形是以 为直角的等腰直角三角形时，
则 ， ，
则 ， ，
，
， ，
，
则 且 ，
即 且 ，
解得： 或 ，
则点 ， 或 ， ．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质，证明三角形全等
是解题的关键．
6．（2023春•来凤县期末）在平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，直线
交 轴于点 ，交 轴于点 ．
（1）如图1，连接 ，求 的面积；
（2）如图2，在直线 上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，点 在直线 上，在平
面中存在一点 ，使得以 为一边， ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点 的坐标．
【分析】（1）对于直线 ，令 ，则 ，故点 ，同理可得点 、 ，
的面积 ，即可求解；
（2）证明 ，则 ， ，即可求解；
（3）分点 在点 的下方、点 在点 的上方两种情况，利用平移的性质分别求解即可．
【解答】解：（1）对于直线 ，令 ，则 ，故点 ；
对于 ，令 ，则 ，令 ，即 ，解得： ，故点 、 ，
则 ， ，
的面积 ；
（2）由题意， ，观察图象可知，点 只能直线在 的右侧，过点 作 的垂线交 于点
，过点 作 轴的平行线交过点 与 轴的平行线于点 ，交过点 与 轴的平行线于点 ，设点 ，点 ，
，故 ，
， ，
，
， ，
，
， ，
即 ， ，解得 ，
故点 ；
（3） 直线 的表达式为 ，
而 ，则设直线 的表达式为 ，
将点 的坐标代入上式并解得： ，
故直线 的表达式为 ，
设点 ，点 ，
点 向右平移2个单位向上平移 个单位得到 ，
同样点 向右平移2个单位向上平移 个单位得到 ，当点 在点 的下方时，
则 且 ①，
，即 ②，
联立①②并解得： 或 ，
故点 的坐标为 ， （不合题意的值已舍去）；
当点 在点 的上方时，
同理可得，点 的坐标为 ， 或 ， ．
综上，点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、三角形全等、面积的计
算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
7．（2023春•阳江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴、
轴分别交于点 和点 ，且与直线 交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）若点 为线段 上一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，且与直线 交于点 ，当 时，
求点 的坐标；
（3）若在平面上存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 的
坐标．【分析】（1）先求出点 的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用两条直线的解析式表示出 ， 两点的坐标，进而得出线段 的长，列出方程即可解答；
（3）分三种情形解答，先求得经过点 的解析式，再联立，解方程组即可求解．
【解答】解：（1） 当 时， ，
．
设直线 的解析式为 ，由题意得：
，
解得： ．
直线 的解析式为 ．
（2） 轴，
， 的横坐标相同．
设 ，则 ．
为线段 上一个动点，
， ，
， ．
．
解得： ．
．
（3）如图，当四边形 为平行四边形时，令 ，则 ，
．
，
直线 的解析式为： ．
令 ，则 ，
．
，
直线 的解析式为： ．
．
解得： ．
．
如图，当四边形 为平行四边形时，
，直线 的解析式为 ，
，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
．
当四边形 为平行四边形时，如图，
，
直线 的解析式为 ，
，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
．
综上，存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为： 或
或 ．
【点评】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四边形
的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答本题的关
键．
8．（2023春•洪洞县校级期末）如图一次函数 的图象经过点 ，并与直线 相交于点
，与 轴相交于点 ，其中点 的横坐标为3．（1）求一次函数 的表达式；
（2）点 为直线 上一动点，当点 运动到何位置时， 的面积等于 ？请求出点 的坐标；
（3）在 轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【分析】（1）先求出点 的坐标，再将点 、 的坐标代入 ，利用待定系数法求函数
解析式即可；
（2）设点 ，根据 的面积 ，求解即可；
（3）设点 ，分别表示出 ， ， ，分别讨论当 时，
当 时，当 时，建立方程，求解即可．
【解答】解：（1） 一次函数与 相交于点 ，其中点 的横坐标为3，
，
则点 ，
将点 、 的坐标代入一次函数表达式 中，得 ，
解得： ， ，
所以一次函数的表达式为 ；
（2）设点 ，则 的面积 ，
解得： 或1.5，故点 或 ；
（3）设点 ，而点 、 的坐标分别为： ， ，
则 ， ， ，
当 时， ，解得： 或 ；
当 时，同理可得： （舍去）或2；
当 时，同理可得： ；
综上点 的坐标为： 或 或 或 ．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的判定，待定系数法求函数解析式，勾股定理，一
次函数与反比例函数的交点，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．（2023春•通河县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，
直线 与 轴负半轴交于点 ，且 ．
（1）求线段 的长；
（2）动点 从点 出发沿射线 以每秒1个单位的速度运动，连接 ，设点 的运动时间为 （秒 ，
的面积为 ，求 与 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段 上是否存在点 ，连接 ，使得 是以 为直角边的等腰直角
三角形，若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别求出 、 点坐标，再由题意求出 ，可求 点坐标，进而求得 ；
（2）根据点的运动特点先求出 点坐标为 ，再求三角形面积即可；
（3）分两种情况讨论：当 时，过点 作 轴，过点 作 交于 点，过点 作交于 点，通过证明 ，可得 ，再将点 代入直线 的解析式：
，求 的值；当 时，过点 作 轴交于 点，同理可得 ，
求出 ，即可求 ．
【解答】解：（1）把 代入 ， ，
，
把 代入 ， ，
，
，
，
，
；
；
（2） ，动点 从点 出发沿射线 以每秒1个单位的速度运动，
，
，
，
， 且 ；
（3）存在点 ，使得 是以 为直角边的等腰直角三角形，理由如下：
如图1，当 时，过点 作 轴，过点 作 交于 点，过点 作 交于
点，，
，
，
，
，
，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
解得 ；
如图2，当 时，过点 作 轴交于 点，同理可得 ，， ，
，
，
解得 ；
综上所述： 的值为 或5．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，
等腰直角三角形的性质是解题的关键．
10．（2023春•青秀区校级期末）已知：在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于 、
两点，直线 经过点 ，与 轴交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图1，点 为直线 上的一个动点，若 的面积等于9时，请求出点 的坐标；
（3）如图2，将 沿着 轴平移，平移过程中的 记为△ 请问在平面内是否存在点 ，使
得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 的坐标．【分析】（1）设直线 的解析式 ，求出点 的坐标，把 、 的坐标代入解析式计算即可；
（2）设点 的横坐标为 ，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
（3）按 为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点 的坐标即可．
【解答】解：（1）设直线 的解析式 ，
直线 与 轴， 轴分别交于 、 两点，
， ，
直线 经过点 ，与 轴交于点 ，
，
，
直线 的解析式： ；
（2）由题意可知， ，
设点 的横坐标为 ，
，
或 ．
或 ；（3）设将 沿着 轴平移 个单位长度得到△ ，
，
， ，
设 点坐标为 ，
①当 为以 、 、 、 为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当 时，即 ，
此时 ，即点 在 轴上，
且 ，
点 与点 重合，即 ．
当 时，
， ，
，
解得 ，
此时 ，即点 在 轴上，
且 ，
．
②当 为以 、 、 、 为顶点的菱形对角线时， ，即点 在 的垂直平分线上，
且 ， 关于 对称，当 向左一移动， ， ， ，
，
解得 或 （舍 ，
当 向右移动时， ， ， ，
，
解得 （舍 或 （舍 ，
，
．
综上所述，存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，点 的坐标为 ， ，
．
【点评】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质
与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
11．（2023春•黄州区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴相交于 、
两点，点 在线段 上，将线段 绕着点 顺时针旋转 得到 ，此时点 恰好落在直线 上，
过点 作 轴于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，将 沿 轴正方向平移得△ ，当 经过点 时，求 平移的距离及点
的坐标；
（3）若点 在 轴上，点 在直线 上，是否存在以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出所有满足条件的 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用同角的余角相等可得出 ，由旋转的性质可得出 ，结合
即可证出 ；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 的坐标，设 ，则点 的坐标为 ，利
用一次函数图象上点的坐标特征可求出 值，进而可得出点 ， 的坐标，由点 ， 的坐标，利用待
定系数法可求出直线 的解析式，结合 及点 在直线 上可求出直线 的解析式，再利
用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 的坐标，结合点 的坐标即可得出 平移的距离；
（3）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，分 为边及 为对角线两种情况考虑，利用
平行四边形的对角线互相平分，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出点 的坐标．
【解答】（1）证明： ，
， ，
．
将线段 绕着点 顺时针旋转 得到 ，
．
在 和 中， ，
．
（2）解： 直线 与 轴、 轴相交于 、 两点，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
设 ，
，， ，
点 的坐标为 ．
点 在直线 上，
，解得： ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
直线 的解析式为 ．
设直线 的解析式为 ，
将 代入 ，得： ，解得： ，
直线 的解析式为 ，
点 的坐标为 ， ，
，
平移的距离为 ．
（3）解：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
分两种情况考虑，如图3所示：
①若 为边，当四边形 为平行四边形时， ， ， ， ，
，解得： ，
点 的坐标为 ；
当四边形 为平行四边形时， ， ， ， ，，解得： ，
点 的坐标为 ；
②若 为对角线， ， ， ， ，
，解得： ，
点 的坐标为 ．
综上所述：存在，点 的坐标为 或 ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法
求一次函数解析式、平行线的性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定
定理 证出 ；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点 ， 的坐标；（3）分为边及 为对角线两种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点 的坐标．
12．（2023春•武汉期末）如图，直线 与坐标轴分别交于点 ， ，过点 、 作直线
，以 为边在 轴的右侧作四边形 ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）如图，点 是 轴上一动点，点 在 的右侧， ， ；
①如图1，问点 是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由；
②如图2，点 是线段 的中点，另一动点 在直线 上，且 ，请直接写出点 的坐
标．
【分析】（1）分别将 ， 代入 求解，再根据 ，即可求解；
（2）①过点 作 轴，通过证明 ，得到 ，即可求解；
②连接 ，可得点 与点 重合，作点 关于直线 的对称点 ，可得 点坐标，求得直线 的解
析式，即可求解．
【解答】解：（1）分别将 ， 代入 ，
得 ， ，
即 ， ，
， ，
，
，
即 ， ．答： ， ．
（2）①点 是在定直线上．
过点 作 轴，如图，
由题意可得： ，
，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
由题意可得： ，
即 ，
点 在定直线 上．
②连接 ，由题意可得 为等腰直角三角形， ，
四边形 为正方形，
，
，此时点 与点 重合，
由①可得 ，
，设直线 为 ，将 、 代入，
得 ，
解得 ，
直线 为 ，
当 时， ，
，
作点 关于直线 的对称点 ，
，
此时 ，
点 为直线 与 的交点，
直线 为 ，
联立 ，
解得 ，
．综上，点 坐标为 或 ．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三
角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
13．（2023春•宜兴市期末）在平面直角坐标系中，已知矩形 ，点 ， ，现将矩形 绕
点 逆时针旋转 得到矩形 ，点 、 、 的对应点分别为点 、 、 ．
（1）如图1，当点 落在边 上时，求直线 的函数表达式；
（2）如图2，当 、 、 三点在一直线上时， 所在直线与 、 分别交于点 、 ，求线段
的长度．
（3）如图3，设点 为边 的中点，连接 ，在矩形 旋转过程中，点 到直线 的距离是否
存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由矩形 ，点 ，得 ， ， ，可得
，即知 ， ，设 的函数表达式为 ，
求出 ，代入可得 ，故 的函数表达式为 ；
（2）过点 作 于 ，连接 、 ，证明 ，可得 ，又， 有 ， 可 得 ， 设 ， 由 勾 股 定 理 有
；解得 ，即 ，从而可得 ；
（3）当 在 的左侧且 时， 到直线 的距离最大，设 于 的交点为 ，求出
，又面积法得 ，故点 到直线 的距离最大值是
．
【解答】解：（1） 矩形 ，点 ，
， ， ，
矩形 是由矩形 旋转得到，
， ，
在 中， ，
，
， ，
直线 表达式为 ，
设 的函数表达式为 ，
由 ， 得 ，
，
解得 ，
的函数表达式为 ；
（2）如图，过点 作 于 ，连接 、 ，矩形 是由矩形 旋转得到，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
设 ，
在 中， ，
；
解得 ，
，
，
，
；（3）在矩形 旋转过程中，点 到直线 的距离存在最大值，这个最大值是 ，理由如下：
当 在 的左侧且 时， 到直线 的距离最大，设 于 的交点为 ，如图：
为 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
点 到直线 的距离最大值是 ．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，旋转问题等，解题的
关键是掌握旋转的性质．
14．（2023春•辛集市期末）如图，在平面直角坐标系中，点 、点 分别在 轴与 轴上，直线 的解
析式为 ，以线段 、 为边作平行四边形 ．（1）如图1，若点 的坐标为 ，判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下， 为 边上的动点，点 关于直线 的对称点是 ，连接 ， ．
①当 3 0 时，点 位于线段 的垂直平分线上；
②连接 ， ，设 ，设 的延长线交 边于点 ，当 时，求证： ，并
求出此时 的值．
【分析】（1）过 作 轴于 ，在 中，可得 ， ，即有 ， ，
， 而 ， 故 ， ， 可 证 ， 得 ，
，从而可得 ，根据四边形 是平行四边形，且 ， ，
即知四边形 是正方形；
（2）①过 作 于 ，连接 ，由 在 的垂直平分线上，可得 ，而 关于直线
的 对 称 点 是 ， 有 ， 故 是 等 边 三 角 形 ， ， 即 可 得
；
②由 ， 关于直线 的对称点是 ，四边形 是正方形，可得 ，
，而 ，有 ，故 ，即得 ，从而可得
，设 ，在 中有 ，从而可解得 的值是 ．【解答】解：（1）四边形 是正方形，理由如下：
过 作 轴于 ，如图：
在 中，令 得 ，令 得 ，
， ，
， ， ，
，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，且 ， ，
四边形 是正方形；
（2）①过 作 于 ，连接 ，如图：在 的垂直平分线上，
直线 是正方形 的对称轴，
是 的垂直平分线，
，
关于直线 的对称点是 ，
，
，
是等边三角形，
，
关于直线 的对称点是 ，
，
故答案为：30；
②如图：，
， ，
关于直线 的对称点是 ，四边形 是正方形，
， ， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，设 ，则 ， ，
在 中， ，
，
解得 ，
的值是 ．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及正方形的判定，等边三角形的判定，勾股定理及应用等知识，
解题的关键是掌握对称的性质．
二．三角形中位线定理（共3小题）
15．（2023春•宝丰县期末）（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边
的一半； 要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据 “已知”除
外）
（2）如图2，在 中，对角线交点为 ， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
、 、 、 分别是 、 、 、 的中点， ，以此类推．
若 的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和 ；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜 可能是多少？
【分析】（1）作出图形，延长 至 ，使 ，然后根据“边角边”证明 和 全等，
根据全等三角形对应边相等可得 ，全等三角形对应角相等可得 ，再根据内错角相等，
两直线平行可得 ，然后证明四边形 是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行且相等可得 且 ，然后整理即可得证；
（2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出四边形 的周长等于 周
长的一半，然后依次表示出各四边形的周长，再相加即可得解；
（3）根据规律， 的算式等于大正方形的面积减去最后剩下的一小部分的面积，然后写出结果即可．
【解答】解：（1）已知：在 中， 、 分别是边 、 的中点，
求证： 且 ，
证明：如图，延长 至 ，使 ，
是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
（全等三角形对应边相等），
（全等三角形对应角相等），
，
点 是 的中点，
，
且 ，
四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
且 （平行四边形的对边平行且相等），
，
且 ；
（2） 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
， ， ， ，四边形 的周长 ，
同理可得，四边形 的周长 ，
四边形 的周长 ，
，
四边形的周长之和 ；
（3）由图可知， （无限接近于 ，
所以 （无限接近于 ．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的证明，利用面积法求等比数列
的和，平行四边形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形的和平行四边形是解题的关键，（3）
仔细观察图形得到部分与整体的关系是解题的关键．
16．（2023春•沭阳县期末）如图，在 中，已知点 、 、 分别是 、 、 的中点，
是高．
（1）若 ， ，则四边形 的面积为 2 0 ．
（2）求证： ．
【分析】（1）由三角形面积公式可知： 、 的面积都等于 面积的四分之一，进而可求出
四边形 的面积．
（2）首先证明四边形 是平行四边形，进而可得 ，再利用三角形的中位线定理证明四边形 是平行四边形，可得到 ，即可证出 ．
【解答】（1）解： ， ，
，
点 、 、 分别是 、 、 的中点，
、 的面积都等于 面积的 ，
四边形 的面积 ，
故答案为：20；
（2）证明：
、 、 分别是 各边中点，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
是 的高
、 是直角三角形，
点 、点 是斜边 、 中点，
， ，
， ，
，
即 ，
．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目
的关键是证明 与 ．
17．（2023春•达川区校级期末）如图1，在四边形 中， ， ， 分别是 ， 的中点，
连接 并延长，分别与 ， 的延长线交于点 ， ，则 （不需证明）．
小明的思路是：在图1中，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，根据三角形中位线定理和平行线
性质，可证得 ．
问题：如图2，在 中， ， 点在 上， ， ， 分别是 ， 的中点，连接
并延长，与 的延长线交于点 ，若 ，连接 ，判断 的形状并证明．【分析】连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，则 是 的中位线， 是 的中位线，
从而判断 ，从而得出 ，判断 为等边三角形，求出 后即可得
出结论．
【解答】解：判断 是直角三角形．
证明：如图连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，
是 的中点，
， ，
，
同理， ， ，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
即 是直角三角形．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．
三．平行四边形的性质（共3小题）
18．（2023春•渭南期末）问题提出
（1）如图， 为等边三角形，边长为 ，动点 从点 出发，沿着三角形的三条边顺时针方向以
的速度运动，动点 从点 出发，沿着三角形的三条边逆时针方向以 的速度运动．动点 、
同时出发，当点 在 上运动且 时，求点 运动的时间．
问题解决
（2）某小区有一个边长为4米的等边三角形花坛，六一将至，物业借助花坛 举办了一个有奖活动，
一家四口举着一根长绳在花坛三边任选位置站立（不能站在各边中点上），四人拉紧、拉直长绳后（长绳
可有剩余）可得到一个四边形，如工作人员量得这个四边形是平行四边形，则可领取奖品一份．笑笑和爸
爸、妈妈、奶奶一起参加活动，四人的方案是奶奶在 点站立不动，妈妈在 边上某点 处站立不动，
爸爸从点 出发，沿着花坛顺时针方向以2米 秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点 ，同时笑笑从
点 出发，沿着花坛逆时针方向以1米 秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点 ．若笑笑出发不到6
秒，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置 距点 多少米？
【分析】（1）设经过 秒钟 垂直于 ，解直角三角形即可得到结论；
（2）根据题意设笑笑出发 秒，一家人就得奖了，则笑笑走了 米，笑笑的爸爸走了 米，即 米，
米 ， 可 得 米 ， 米 ， 然 后 证 明 是 等 边 三 角 形 ， 可 得
米，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）设点 运动 秒 ，点 在 上运动且 ，如图，
为等边三角形，边长为 ，， ，
，
由题意可知： ， ，
，
，
解得： ，
点 运动的时间为2秒；
（2） 是边长为4米的等边三角形，
， ．
设笑笑出发 秒，一家人就得奖了，
则笑笑走了 米，笑笑的爸爸走了 米，
米， 米，
米， 米，
四边形 为平行四边形，
米， ，
， ，
，
是等边三角形，
米，
，
解得 ，
米．笑笑出发不到6秒，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置 距点 米．
【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形
的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．
19．（2023春•滑县校级期末）如图，在 中， 为对角线， 垂直平分 分别交 、 的
于点 、 ，交 于点 ．
（1）试说明： ；
（2）试说明： ；
（3）如果在 中， ， ，有两动点 、 分别从 、 两点同时出发，沿 和
各边运动一周，即点 自 停止，点 自 停止，点 运动的路
程是 ，点 运动的路程是 ，当四边形 是平行四边形时，求 与 满足的数量关系．（画出
示意图）
【分析】（1）根据 证 即可；
（2）推出 ，根据平行四边形性质求出 ，推出 ，根据 证 即
可；
（3）分为三种情况，求出 的周长，每种情况 都等于 的周长．
【解答】解：（1） 四边形 是平行四边形，
，
，
垂直平分 ，
，
在 和 中，
，，
；
（2） 四边新 是平行四边形，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
（3）解： 垂直平分 ，
，
，
， ，
的周长是 ，
的周长也是15，
①当 在 上， 在 上，
，
，
， ，
，
，②当 在 上， 在 上，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
；
③当 在 上， 在 上，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
， ，
，，
．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运
用．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
20．（2023春•万源市校级期末）在平行四边形 中， 是 上一点， ，过点 作直线
，在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
（1）如图①，当 与 相交时，若 ，求证： ；
（2）如图②，当 与 相交时，且 ，请你写出线段 、 、 之间的数量关系，并
证明你的结论．
【分析】（1）首先作 交 于点 ，易证得 ，又由 ，可证得
是等边三角形，继而证得结论；
（2）首先作 交 于点 ，易证得 ，继而可得 是等腰直角三角形，则可求得答案．
【解答】（1）证明：如图①，作 交 于点 ．
．
， ，
．
在 和 中，
，
．
， ．
，
是等边三角形．
．
；
（2） ．
如图②，作 交 于点 ．
．
，
．
．
又 ，
．
， ．
，
是等腰直角三角形．
．
．【点评】此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性
质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，
注意掌握数形结合思想的应用．
四．平行四边形的判定（共2小题）
21．（2023 春•渠县校级期末）如图，在 中， ， ， ，过点 作
，且点 在点 的右侧．点 从点 出发沿射线 方向以每秒1个单位的速度运动，同时点
从点 出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度运动，在线段 上取点 ，使得 ，连接 ，设
点 的运动时间为 秒．
（1）若 ，求 的长；
（2）请问是否存在 的值，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．
【分析】（1）作 于 ，由已知条件得出 ，由等腰三角形的性质得出 ，由直
角三角形斜边上的中线性质得出 ，证出 和 是等腰直角三角形，得出
， ，由 得出方程，解方程即可；
（2）由平行四边形的判定得出 ，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）作 于 ，设 交 于 ．如图所示：， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
和 是等腰直角三角形，
， ，
，
，
解得： ，所以 ；
（2）存在， 或12；理由如下：
若以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，
则 ，
或
解得： 或12
存在 的值，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形， 或12．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；根据
题意得出 的方程是解决问题的突破口．
22．（2023春•阿荣旗期末）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，点 从点 出发，以 的速度向点 运动；点 从点 同时出发，以 的速度向点 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始．使 和
，分别需经过多少时间？为什么？
【分析】（1）由当 时，四边形 为平行四边形，可得方程 ，解此方程即可求得答
案；
（2）根据 ，一种情况是：四边形 为平行四边形，可得方程 ，一种情况是：四边
形 为等腰梯形，可求得当 ，即 时，四边形
为等腰梯形，解此方程即可求得答案．
【解答】解：根据题意得： ， ，则 ．
（1） ，
即 ，
当 时，四边形 为平行四边形，
即 ，
解得： ，
即当 时， ；
（2）若 ，分两种情况：
① ，由（1）可知， ，
②如图，过 作 于 ，过 作 于 ， ，则四边形 是等腰梯形，则有，
可得方程： ，
解得： ．
【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．
此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
五．平行四边形的判定与性质（共2小题）
23．（2023春•乾安县期末）如图，在 中， ，过 上一点 作 交 于点 ，
以 为顶点， 为一边，作 ，另一边 交 于点 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）延长图①中的 到点 ，使 ，连接 ， ， ，得到图②，若 ，判断四边
形 的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，根据题意得到 ，根据平行线的判定定
理得到 ，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到 ，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
，
又 ，
四边形 为平行四边形；（2）解：四边形 是矩形，理由如下：
由（1）得，四边形 为平行四边形，
， ，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
四边形 是矩形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
24．（2023春•通川区校级期末）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫
中点四边形．
（1）如图1，四边形 中，点 ， ， ， 分别为边 ， ， ， 的中点．求证：中点
四边形 是平行四边形；
（2）如图2，点 是四边形 内一点，且满足 ， ， ，点 ， ，
， 分别为边 ， ， ， 的中点，猜想中点四边形 的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使 ，其他条件不变，直接写出中点四边形 的形状．
（不必证明）
【分析】（1）如图1中，连接 ，根据三角形中位线定理只要证明 ， 即可．
（2）四边形 是菱形．先证明 ，得到 ，再证明 即可．
（3）四边形 是正方形，只要证明 ，利用 ，得 ，即可证
明 ，再根据平行线的性质即可证明．
【解答】（1）证明：如图1中，连接 ．
点 ， 分别为边 ， 的中点，
， ，
点 ， 分别为边 ， 的中点，， ，
， ，
中点四边形 是平行四边形．
（2）四边形 是菱形．
证明：如图2中，连接 ， ．
，
即 ，
在 和 中，
，
，
点 ， ， 分别为边 ， ， 的中点，
， ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形．
（3）四边形 是正方形．
证明：如图2中，设 与 交于点 ． 与 交于点 ， 与 交于点 ．
，
，
，
，
， ，
，
四边形 是菱形，
四边形 是正方形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判
定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
六．菱形的性质（共3小题）
25．（2023春•泉港区期末）如图，在平行四边形 中， ，点 是 上动点，连结 ．
（1）若平行四边形 是菱形， ，试求出 的度数；
（2）若 ， ， ，求 的长；
（3）过点 作 交线段 于点 ．过 点作 于 ，交 的高 于点 ．若
， ，求证： ．
【分析】（1）由菱形的性质可求解 的度数，进而可求解；
（2）作 于 ，利用勾股定理可求解 、 的长，再利用勾股定理可求解 的长；
（3）连接 ，证明 ， ，可得 ， ， ，进
而可证明结论．
【解答】（1）解： 四边形 为菱形， ，． ， ，
；
（2）解：作 于 ，
由勾股定理可得 ，
，
， ，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
解得 ，
， ，
；
（3）证明：连接 ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，，
在 和 中，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，灵活利用
勾股定理是解题的关键．
26．（2023春•西乡塘区校级期末）【问题原型】如图1，在四边形 中， ， ．
点 、 分别为 、 的中点，连接 ， ．试说明： ．
【探究】如图2，在问题原型的条件下，当 平分 ， 时，求 的大小．
【应用】如图3，在问题原型的条件下，当 ，且四边形 是菱形时，直接写出四边形 的
面积．
【分析】【问题原型】利用直角三角形斜边的中线性质和三角形的中位线性质可得结论；【探究】先证明 ， ，根据 列方程得 的度数；
【应用】由四边形 是菱形，说明 是等边三角形，再根据等底同高说明 与 间关系，
根据相似说明 与 间关系，由 ，得 ，得等边△ 的面积，利用三角形的面积间
关系得结论．
【解答】解：【问题原型】证明：
在 中，点 ， 分别为 ， 的中点
，且
在 中，点 为 的中点 ，
【探究】解： 平分 ， ，
，
，
【应用】四边形 的面积为：
四边形 是菱形， ，
与 都是等边三角形，
，
，
， ，．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边的中线的性质、菱形的性质及等边三角形的面
积等知识．题目难度中等，由题目原型到探究再到结论，步步深入，符合认知规律．
27．（2023春•大安市期末）【感知】如图①，四边形 、 均为正方形．可知 ．
【拓展】如图②，四边形 、 均为菱形，且 ．求证： ．
【应用】如图③，四边形 、 均为菱形，点 在边 上，点 在 延长线上．若 ，
， 的面积为8，则菱形 的面积为 ．
【分析】拓展：由四边形 、四边形 均为菱形，利用 易证得 ，则可得
；
应用：由 ， ，可得 ，又由 ，可求得 的
面积，继而求得答案．
【解答】解：拓展： 四边形 、四边形 均为菱形，
， ， ， ．
，
．
，
即 ．
在 和 中，
，
，．（6分）
应用： 四边形 为菱形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．（9分）
【点评】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的
应用．
七．菱形的判定（共2小题）
28．（2023春•桂林期末）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，动点 从点 出发，以 的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以 的
速度沿折线 向终点 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时
间为 秒．
（1）用含 的式子表示 ．
（2）当 为何值时，直线 把四边形 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（3）只改变点 的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形 为菱形，则点 的运动速度应为多少？
【分析】（1）根据 点的速度以及时间结合 的长表示即可；（2）根据勾股定理先求 ，只有 点在 上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形
是平行四边形；②四边形 是平行四边形，进行解答即可；
（3）设 的速度为 ， 在 边上，此时四边形 可为菱形，满足 ，建立方程
解决即可．
【解答】解：（1）由于 从 点以 向 点运动，
时， ，
，
；
（2）过 点作 于 点， ， ，
四边形 是矩形，
， ，
， ，
中，根据勾股定理可得：
，
则 在 上运动时间为 ，
，
运动时间最长为 ，
时， 在 边上，
此时，直线 把四边形 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形 是平行四边形，如图所示：即 ，
只需 即可，由（1）知： ，
以 沿沿折线 向终点 运动，
运动时间为 时， ，
，
解得： ；
②四边形 是平行四边形，如图所示：
同理 ，
只需 ，四边形 是平行四边形，
由（1）知： ，
点 ，
，
解得： ，
综上所述：当 或12 时，
直线 把四边形 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
（3）设 的速度为 ，由（2）可知： 在 边上，此时四边形 可为菱形，， 只需满足 即可，
由（1）知： ，
由（2）知： ， ，
， ，
解得： ， ，
当 点的速度为5.2 时，四边形 为菱形．
【点评】本题考查了四边形的综合题考察了菱形的性质，平行四边形的性质于判定，勾股定理，矩形的判
定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
29．（2023春•石景山区校级期末）如图，已知 ，按如下步骤作图：
①分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于 ， 两点；
②作直线 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ；
③过 作 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证：四边形 是菱形．
【分析】（1）由作图知： 为线段 的垂直平分线，从而得到 ， ，然后根据
得到 ， ，利用 证得两三角形全等即可；
（2）根据全等得到 ，然后根据 为线段 的垂直平分线，得到 ， ，从而得
到 ，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形 为菱形．【解答】解：（1）由作图知： 为线段 的垂直平分线，
， ，
， ，
在 与 中，
，
；
（2） ，
，
为线段 的垂直平分线，
， ，
，
四边形 为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图能得到直线
的垂直平分线．
八．菱形的判定与性质（共3小题）
30．（2023春•益阳期末）如图1， 是线段 上的一点，在 的同侧作 和 ，使 ，
， ，连接 ，点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，顺次
连接 、 、 、 ．
（1）猜想四边形 的形状，直接回答，不必说明理由；
（2）当点 在线段 的上方时，如图2，在 的外部作 和 ，其他条件不变，（1）中的
结论还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中， ，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形 的形状，并
说明理由．
【分析】（1）连接 、 ，利用 可判定 ，从而得到 ，因为 、 、、 分别是 、 、 、 的中位线，则可以得到 ，根据
四边都相等的四边形是菱形，可推出四边形 是菱形；
（2）成立，可以根据四边都相等的四边形是菱形判定；
（3）先将图形补充完整，再通过角之间的关系得到 ，已证四边形 是菱形，则四边形
是正方形．
【解答】解：
（1）四边形 是菱形．（2分）
（2）成立．（3分）
理由：连接 ， ．（4分）
，
．
即 ．
又 ， ，
．（6分）
、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
、 、 、 分别是 、 、 、 的中位线．
， ， ， ．
．
四边形 是菱形．（7分）
（3）补全图形，如答图．（8分）
判断四边形 是正方形．（9分）
理由：连接 ， ．
（2）中已证 ．
．
，
．
又 ．
．
．（11分）（2）中已证 ， 分别是 ， 的中位线，
， ．
．
又 （2）中已证四边形 是菱形，
菱形 是正方形．（12分）
【点评】此题主要考查了菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定等知识点的综合运用及推理论证
能力．
31．（2023春•潮南区期末）如图，已知 ，直线 垂直平分 ，与边 交于点 ，连接 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）求证：四边形 是菱形．
（3）若 ， ，则菱形 的面积是多少？【分析】（1）由 为线段 的垂直平分线得到 ， ，然后根据 得到
， ，利用 证得两三角形全等即可；
（2）根据全等得到 ，然后根据 为线段 的垂直平分线，得到 ， ，从而得
到 ，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形 为菱形；
（3）由菱形的性质和勾股定理求出 ，得出 的长，由菱形的面积公式即可得出结果．
【解答】（1）证明： 为线段 的垂直平分线，
， ， ，
，
， ，
在 与 中，
；
（2）证明： ，
，
为线段 的垂直平分线，
， ，
，
四边形 为菱形；
（3）解： 四边形 是菱形，
，
， ，
， ．
，
菱形 的面积 ．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等的判定与性质、盖棺定论、基本作图、线段垂直平分线的性
质，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线．
32．（2023春•铁东区期末）如图，在 中， ， ． ，点 从点 出发沿 方向以每秒2个单位长的速度向点 匀速运动，同时点 从点 出发沿 方向以每秒1个单位长的
速度向点 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 、 运动的时间是
秒 ．过点 作 于点 ，连接 、 ．
（1）四边形 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 值；
（2）当 为何值时， 为直角三角形？请直接写出相应的 值为： 或 4 ．
【分析】（1）由 ， ，证出 ；
（2）先证明四边形 为平行四边形．得出 ， ，若 为等边三角形，
则？ 为菱形，得出 ， ，求出 ；
（3）分三种情况讨论：① 时；② 时；③ 时，此种情况不存在；分别
求出 的值即可．
【解答】解：（1）（2）能；理由如下：
， ，
．
又 ，
四边形 为平行四边形．
， ，
， ，
，
若使 能够成为等边三角形，
则平行四边形 为菱形，则 ，
，
；
即当 时， 为等边三角形；（2）当 或4时， 为直角三角形．理由如下：
① 时，四边形 为矩形．
在 中， ，
．即 ，
；
② 时，由（2）知 ，
．
，
．
即 ，
；
③ 时，
，
点 运动到点 处，用了 秒中，
同时点 也运动5秒钟，点 就和点 重合，
点 也就和点 重合，
点 ， ， 不能构成三角形．
此种情况不存在；
综上所述，当 或4时， 为直角三角形．
故答案为： 或4．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知
识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力；特别注意（3）中分类讨论三种情况，分别求出 的值，
避免漏解
九．矩形的性质（共3小题）33．（2023春•邻水县期末）已知，矩形 中， ， ， 的垂直平分线 分别交
、 于点 、 ，垂足为 ．
（1）如图1，连接 、 ．求证四边形 为菱形，并求 的长；
（2）如图2，动点 、 分别从 、 两点同时出发，沿 和 各边匀速运动一周．即点 自
停止，点 自 停止．在运动过程中，
①已知点 的速度为每秒 ，点 的速度为每秒 ，运动时间为 秒，当 、 、 、 四点为顶点
的四边形是平行四边形时，求 的值．
②若点 、 的运动路程分别为 、 （单位： ， ，已知 、 、 、 四点为顶点的四边形
是平行四边形，求 与 满足的数量关系式．
【分析】（1）先证明四边形 为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判
定；根据勾股定理即可求得 的长；
（2）①分情况讨论可知，当 点在 上、 点在 上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性
质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知 与 满足的数量关系式．
【解答】解：（1）① 四边形 是矩形，
，
， ，
垂直平分 ，垂足为 ，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
又 ，
四边形 为菱形，②设菱形的边长 ，则 ，
在 中， ，
由勾股定理得 ，
解得 ，
．
（2）①显然当 点在 上时， 点在 上，此时 、 、 、 四点不可能构成平行四边形；
同理 点在 上时， 点在 或 上或 在 ， 在 时不构成平行四边形，也不能构成平行四
边形．
因此只有当 点在 上、 点在 上时，才能构成平行四边形，
以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时， ，
点 的速度为每秒 ，点 的速度为每秒 ，运动时间为 秒，
， ，即 ，
，
解得 ，
以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时， 秒．
②由题意得，四边形 是平行四边形时，点 、 在互相平行的对应边上．
分三种情况：
如图1，当 点在 上、 点在 上时， ，即 ，得 ；
如图2，当 点在 上、 点在 上时， ，即 ，得 ；
如图3，当 点在 上、 点在 上时， ，即 ，得 ．综上所述， 与 满足的数量关系式是 ．
【点评】本题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，
注意分类思想的应用．
34．（2023 春•凤阳县期末）如图，矩形 的对角线 与 相交于点 ， ，
，交 于点 ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ， ，已知 ① （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形
的形状，并证明你的结论．
条件①： ；
条件②：三角形 是等边三角形．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
【分析】（1）由全等三角形的判定与性质，矩形的性质，及等腰三角形的性质，可以证明；
（2）由矩形的性质，直角三角形的性质，两线平行的性质，可以推出四边形 是菱形．
【解答】（1）证明： ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）选择①，四边形 是菱形，
证明： ， ，
，
， ，
，
四边形 是矩形 ，
， ，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是菱形．
【点评】本题考查矩形的性质，菱形的判定，三角形的性质和判定，关键是灵活应用以上知识点．
35．（2023 春•乾安县期末）感知：如图①， 的对角线 ， 相交于点 ， ，
，则四边形 是平行四边形（不需要证明）．
拓展：如图②，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，则四边形 是什
么样的特殊四边形，请说明理由．
应用：如图③，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ， 交 的延
长线于点 ， ．求四边形 的周长．【分析】拓展：结合矩形的性质，再利用邻边相等的平行四边形是菱形，进而得出答案；
应用：利用平行四边形的判定方法得出四边形 是平行四边形，再利用等边三角形的判定方法得出
，即可得出答案．
【解答】解：拓展：四边形 是菱形，
证明： ， ，
四边形 是平行四边形．
四边形 是矩形，
，
平行四边形 是菱形．
故答案为：菱；
应用： ， ，
四边形 是平行四边形，
菱形 ， ， ，
， ，
是等边三角形，
，
四边形 的周长为： ．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及菱形的性质和平行四边形的判定、矩形的判定等知识，正确掌握
相关性质是解题关键．
一十．正方形的性质（共17小题）
36．（2023春•太康县校级期末）数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 是正方形，点
是边 的中点． ，且 交正方形外角 的平分线 于点 ，求证： ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 的中点 ，连接 ，则 ，易证
，所以 ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点 是边 的中点”改为“点 是边 上（除 ， 外）的任意一
点”，其它条件不变，那么结论“ ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证
明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图 3，点 是 的延长线上（除 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“
”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
【分析】（1）在 上取一点 ，使 ，连接 ，根据已知条件利用 判定 ，
因为全等三角形的对应边相等，所以 ．
（2）在 的延长线上取一点 ，使 ，连接 ，根据已知利用 判定 ，因为
全等三角形的对应边相等，所以 ．
【解答】解：（1）正确．
证明：在 上取一点 ，使 ，连接 ．
，
，
，
是外角平分线，
，
，
，
， ，
，
，
．
（2）正确．
证明：在 的延长线上取一点 ．
使 ，连接 ．
，
，
平分 ，，
，
四边形 是正方形，
，
，
即 ，
，
，
．
【点评】此题主要考查学生对正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．
37．（2023春•阳新县期末）问题情境：四边形 中，点 是对角线 的中点，点 是直线 上
的一个动点（点 与点 、 、 都不重合）过点 ， 分别作直线 的垂线，垂足分别为 、 ，连
接 ， ．
（1）初步探究：已知四边形 是正方形，且点 在线段 上，求证 ；
（2）探究图中 与 的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质证明 即可得出结论；
（2）延长 交 于 ，证明 ，得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ，理由如下：
如图，延长 交 于 ，
， ，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
在 中， ．
．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解决本题的关键是得
到 ．
38．（2022秋•龙凤区校级期末）如图①，四边形 是正方形， 是等边三角形， 为对角线
（不含 点）上任意一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 、 、 ．
（1）连接 ， 是等边三角形吗？为什么？
（2）求证： ；
（3）①当 点在何处时， 的值最小；
②如图②，当 点在何处时， 的值最小，请你画出图形，并说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质可得 ， ，再根据有一个角是 的等腰三角形是等边
三角形证明即可；
（2）根据等边三角形的性质可得 ， ， ，再求出 ，
然后利用“边角边”证明 和 全等即可；
（3）①根据两点之间线段最短可知 、 、 三点共线时， 的值最小，再根据正方形的性质
解答；
②根据全等三角形对应边相等可得 ，然后求出 ，再根据两点之
间线段最短证明．
【解答】（1）解： 是等边三角形．
理由如下：如图①， 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
是等边三角形；
（2）证明： 和 都是等边三角形，
， ， ，
，
即 ，
在 和 中，，
；
（3）①由两点之间线段最短可知 、 、 三点共线时， 的值最小，
四边形 是正方形，
点 为 的中点；
②当点 在 与 的交点时， 的值最小，
理由如下：如图②， ，
，
是等边三角形，
，
，
由两点之间线段最短可知，点 、 、 、 在同一直线上时， ，
故，点 在 与 的交点时， 的值最小．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段
最短，（3）从两点之间线段最短考虑求解是解题的关键．
39．（2023春•西乡塘区校级期末）如图，已知正方形 中， 为 延长线上一点，且 ，
、 分别为 、 的中点，连 交 于 ， 交， 于 点．
（1）求证： ；（2）求证： ；
（3）过 作 于 点，连 ，则 的值．
【分析】（1）根据正方形的性质得到 ， ，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）延长 至 ，且使 ，则 ，由 证明 ，得出 ，证
出 为 的中位线，得出 ，得出 ，即可得出 ；
（3）过点 作 交 于 ，由 证明 ，得出 ， ，证出
是等腰直角三角形，由勾股定理得出 ，即可得出答案；
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
，
，
；
（2）证明：延长 至 ，且使 ，连接 ，如图1所示：
则 ，
四边形 是矩形，
， ， ，
在 和 中， ，
，
，， ，
为 的中点，
为 的中位线，
，
；
（3）解：过点 作 交 于 ，如图2所示：
则 ，
，
，
，
，
， ，
由角的互余关系得： ，
，
在 和 中， ，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与
性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
40．（2023春•遂平县期末）在边长为5的正方形 中，点 在边 所在直线上，连接 ，以
为边，在 的下方作正方形 ，并连接 ．
（1）如图1，当点 与点 重合时， ；
（2）如图2，当点 在线段 上时， ，求 的长；
（3）若 ，请直接写出此时 的长．
【分析】（1）如图1，连接 ，证明 ，可得 ， ， 三点共线，利用勾股定理可
得 的长；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明 ，可得 和 的长，利用勾股定理计算
的长；
（3）分三种情况：①当点 在边 的延长线上时，如图 3，同（2）知 ，，根据勾股定理可得 的长，即可 的长，此种情况不成立；
②当点 在边 上；③当点 在 的延长线上时，同理可得结论．
【解答】解：（1）如图1，连接 ，
四边形 和四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
， ，
， ， 三点共线，
；
故答案为： ；
（2）如图2，过点 作 ，交 的延长线于 ，
， ，
，， ，
，
， ，
，
， ，
，
由勾股定理得： ；
（3）分三种情况：
①当点 在 的延长线上时，如图3，同理知 ，
，
，
由勾股定理得： ，
，此种情况不成立；
②当点 在边 上时，如图4，同理得： ；
③当点 在 的延长线上时，如图5，
同理得 ，
，
综上， 的长是 或 ．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本
题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
41．（2023春•新会区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 、 分别在 轴正
半轴、 轴正半轴上，过点 作 轴交 轴于点 ，交对角线 于点 ．
（1）求证： ；
（2）判断 、 的数量关系，并说明理由；（3）若点 ， 坐标分别为 、 ，则 的周长为 2 4 ．
【分析】（1）证明 ，即可得证；
（2）设 ， 交于点 ，根据三角形内角和定理得出 ，根据 得出
，进而得出 ，等量代换即可求解；
（3）过点 作 轴于点 ，证明 ，得出 ， ． ，
，进而即可求解．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
在 与 中，
，
；
（2）解： ，理由如下：
如图所示，设 ， 交于点 ，
轴，
，
又 ，
，，
又 ，
，即 ，
；
（3）解：如图所示，过点 作 轴于点 ，
则四边形 是矩形，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
， ，
点 ， 坐标分别为 、 ，
， ，
， ，
，
的周长为 ．
故答案为：24．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌
握正方形的性质是解题的关键．
42．（2023春•滨州期末）已知 是一个正方形花园．
（1）如图1， 、 是它的两个门，且 ，要修建两条路 和 ，问这两条路等长吗？为什么？
（2）如图2，在正方形四边各开一个门 、 、 、 ，并修建两条路 和 ，使得 ，问
这两条路等长吗？为什么？【分析】（1）根据正方形的性质证明 ，即可解决问题；
（2）作 于点 ，交 于点 ，作 于点 ，交 于点 ，根据正方形的性质证明
，即可解决问题．
【解答】解：（1）这两条路等长，理由如下：
四边形 是正方形，
， ，
，
，
即 ，
，
，
故这两条路等长；
（2）这两条路等长，理由如下：
如图2，作 于点 ，交 于点 ，作 于点 ，交 于点 ，
， ，
，
四边形 是正方形，
， ，
”， ，
四边形 、四边形 都是矩形，
， ， ，
”， ，，
，
，
，
， ，
，
，
故这两条路等长．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等
是解题的关键．
43．（2023春•喀什地区期末）如图，正方形 中，点 是 边上的一点（不与点 、 重合），
连接 ， 平分 ，交 边于点 ．过点 作 ，与 的延长线交于点 ．
（1）根据题意，请把原图画完整；
（2）证明： ；
（3）试判断线段 、 和 之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）画图即可；
（2）证明 ，可得结论；
（3）由（2）得： ，得 ，根据 ，得 ，根据线段的和可得结论： ．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（3） ，
理由是：由（2）得： ，
，
平分 ，
，
，
，
即 ，
，
，
，
，
即 ．【点评】此题主要考查了正方形的性质，垂直的意义，全等三角形的判定和性质，角平分线的意义，解本
题的关键是构造全等三角形，是一道中考常考题．
44．（2023春•青县期末）已知边长为2的正方形 中， 是对角线 上的一个动点（与点 ，
不重合），过点 作 ， 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．
（1）求证： ；
（2）在点 的运动过程中， 的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．
【分析】（1）过点 作 于 ，过点 作 于 ，如图1．要证 ，只需证到
即可；
（2）连接 ，如图2．易证 ，则有 ，只需求出 的长即可；
【解答】（1）证明：过点 作 于 ，过点 作 于 ，如图1．
四边形 是正方形， ， ，
．
， ．
，即 ，
．
在 和 中，
，
，．
（2）解： 的长度不变．
连接 ，如图2．
四边形 是正方形，
，
，即 ，
，
，即 ，
，
在 和 中，
，
，
．
四边形 是正方形，
， ，
．
，
，
．
点 在运动过程中， 的长度不变，值为 ．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．
45．（2023春•贵州期末）如图，正方形 中， 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经
过点 ，直角顶点 在射线 上移动，另一边交 于 ．
（1）如图1，当点 在 边上时，探究 与 所满足的数量关系；
小明同学探究此问题的方法是：
过 点作 于 点， 于 点，
根据正方形的性质和角平分线的性质，得出 ，
再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ；
（2）如图2，当点 落在 的延长线上时，猜想并写出 与 满足的数量关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）过 作 ， ，证明 即可；
（2）证明思路同（1），只要证明 即可；
【解答】解：（1）结论： ，
理由：过 作 ， ，
， 为正方形对角线 上的点，
平分 ， ，
，
四边形 为正方形，
， ，
，在 和 中，
，
，
；
故答案为 ．
（2） ，
证明：过 作 ， ，
， 为正方形对角线 上的点，
平分 ， ，
，
四边形 为正方形，
， ，
，
，
．【点评】此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是正确寻
找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
46．（2023春•金寨县期末）如图，在正方形 中， ， 为正方形 内一点， ，
，连结 ， ，过点 作 ，垂足为点 ，交 的延长线于点 ，连
结 ．
（1）当 时，求 的度数；
（2）判断 的形状，并说明理由；
（3）当 时，求 的长．
【分析】（1）由正方形的性质，求出 ，再根据三角形内角和定理求解即可即可求解．
（2）由等腰三角形的性质可得 是 的垂直平分线，可得 ，由四边形内角和定理，可求
，即可求解．
（3）由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可求 ， 的长，在 中，利用勾股定理可求解．
【解答】解：（1） 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，．
（2）结论： 是等腰直角三角形．
理由： ， ，
是 的垂直平分线，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形．
（3）如图，连接 ，
四边形 是正方形，
，
为等腰直角三角形， ，
，
，
，，
（负根已经舍弃）．
【点评】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三
角形是解题的关键．
47．（2023春•无棣县期末）如图，正方形 中， 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终
经过点 ，直角顶点 在射线 上移动，另一边交 于 ．
（1）如图①，当点 在 边上时，猜想并写出 与 所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点 落在 的延长线上时，猜想并写出 与 满足的数量关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）结论： ，如图①中，过 作 ， ，垂足分别为 ， ．只要证明
即可．
（2）结论不变，证明方法类似．
【解答】解：（1）结论： ，
理由：如图①中，过 作 ， ，垂足分别为 ， ．
为正方形对角线 上的点，
平分 ， ，，
四边形 为正方形．
， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）结论： ．
理由：如图②，过 作 ， ，垂足分别为 ， ，
为正方形对角线 上的点，
平分 ， ，
，
四边形 为正方形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
．解法二：连接 ，先证明以角平分线为对称轴的两个三角形全等，再将角 和角 用未知数表
示，通过角的代换等角对等边证明 ，
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，属于中考常考题型．
48．（2023春•香河县期末）如图，在正方形 中， 是边 上的一点（不与 ， 重合），点
关于直线 的对点是点 ，连接 ， ，直线 ， 交于点 ，连接 ．
（1）在图1中补全图形， （填“ ”“ ”或“ ” ；
（2）猜想 和 的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意补全图形，由对称得 ， ，等边对等角可得 ，根
据同角的余角相等可得 ，等量代换即可得出结论；
（2）根据正方形的性质得 ，则 ，等边对等角可得 ，根据三角形的外角性
质及角的和差可得 ，由（1）知 ，则 ，由
得 ．
【解答】解：（1）补全图形如图1，由对称得 ， ，
， ，
四边形 是正方形，
，
，
，
故答案为： ；
（2） ．
证明： 四边形 是正方形，
，
，
，
，
， ，
，
由（1）知 ，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰
三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质，证明
三角形全等是解题的关键．
49．（2023春•通许县期末）如图1，正方形 中，点 是对角线 的中点，点 是线段 上（不
与 、 重合）的一个动点，过点 作 且交边 于点 ．
（1）求证： ；
（2）过点 作 于点 ，如图2，若正方形 的边长为2，则在点 运动的过程中， 的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）作辅助线，构建全等三角形，根据 证明 可得结论；
（2）如图2，连接 ，通过证明 ，得 ，则 为定值是 ．
【解答】解：（1）证明：
如图1，过 作 ，交 于 ，交 于 ，
，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
中， ，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形 是矩形，
，，
，
；
（2）在 点运动的过程中， 的长度不发生变化，理由是：
如图2，连接 ，
点 是正方形 对角线 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）得： ，
，
，
， 是等腰直角三角形，
，
为定值是 ．
【点评】本题是一个动态几何题，考查用正方形性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件和性质
进行有条理的思考和表达能力．利用条件构造三角形全等是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性很
强，难度适中．
50．（2023春•南岗区期末）定义：在平面直角坐标系中，如果点 ， 为某个菱形相邻的两个顶点．且该菱形的两条对角线分别与 轴， 轴平行，另外两个顶点中有一个点的纵坐标小于 ， 两点的纵坐标，
那么称该菱形为点 ， 的“相关菱形”．如图1所示，为点 ， 的“相关菱形”的示意图．已知点
的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（1）如果 ，在图2中画出点 ， 的“相关菱形”，并求出该菱形的面积；
（2）如果点 ， 的“相关菱形”为正方形，在图3中画出相应图形，请直接写出 的值．
【分析】（1）首先确定 为菱形的一边， 轴为对角线，过点 作 轴于点 ，在 的延长线
上截取 ，得到菱形的一个顶点 ，在 的延长线上截取 ，得到菱形的另一个顶点 ，
据此可作出菱形；然后根据 ， ，由菱形的面积公式可求出菱形的面积；
（2）首先确定 为正方形的一边， 轴为对角线，过点 作 轴于点 ，在 的延长线上截取
，得到正方形的一个顶点 ，然后分两种情况进行讨论：①当点 在 轴的正半轴上时，根据正
方形的性质可得到菱形的另两个顶点 ， ，由点 ， 的坐标可得 的值；②当点 在 轴的负半轴上
时，①的点 即为点 ，点 即为点 ，由此可得 的值．
【解答】解：（1）
点 的坐标为 ，
根据“相关菱形”的定义得：线段 只能是点 ， “相关菱形”的一边， 轴为对角线，
过点 作 轴于点 ，在 的延长线上截取 ，
则点 为点 ， “相关菱形”的一个顶点，
在 的延长线上截取 ，
则点 为点 ， 的“相关菱形”的另一个顶点，过点 ， ， ， 作四边形为所求，
则四边形 为点 ， 的“相关菱形”．
理由如下：
， ，
四边形 为平行四边形，
又 ，
四边形 为菱形．
点 ，点 ，
， ，
点 的坐标为 ， ，
， ，
， ，
．
（2） 点 在 轴上，点 ，
根据“相关菱形”的定义得：线段 只能是点 ， “相关菱形”的一边， 轴为对角线，过点 作
轴于点 ，在 的延长线上截取 ，
则点 为点 ， 的“相关菱形”的一个顶点，另两个顶点分别在 轴上，
点 ，
， ，
点 的坐标为 ，
分两种情况进行讨论：①当点 在 轴的正半轴上时，
又 点 ， 的“相关菱形”为正方形，
，
，
在 的延长线上截取 ，
，
点 的坐标为 ，点 的为坐标为 ，
过点 ， ， ， 作四边形为所求，此时 ．
②当点 在 轴的负半轴上时，
同理可得：点 ，点 ，此时 ，
综上所述：点 ， 的“相关菱形”为正方形， 的值为5或 ．
【点评】此题主要考查了点的坐标，菱形和正方形的判定和性质，解答此题的关键是理解题目中“相关菱
形”的定义，熟练掌握菱形及正方形的性质．
51．（2023春•大观区校级期末）如图①，已知正方形 中， ， 分别是边 ， 上的点（点， 不与端点重合），且 ， ， 交于点 ，过点 作 交 于点 ．
（1）写出 与 的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）若 ， ，试求线段 的长．
（3）如图②，连接 并延长交 于点 ，若点 是 的中点，试求 的值．
【分析】（1）证明 ，得出 ，得出 ，可得出结论；
（2）根据三角形 的面积可求出 ，证明 ，由全等三角形的性质得出
，则 ，可求出答案；
（3）证得 ， ，可得出 ，在四边形 中，设 ，
，则 ， ， ，由 可得出 ， 的关系式，则可求
出答案．
【解答】解：（1） ， ，
理由：在正方形 中， ， ，
又 ，
，
， ，
又 ，
，
，
，
故答案为： ， ；（2）在正方形 中， ， ， ，
，
，
，
在 中， ，
，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
（3）在正方形 中， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
在 中， ，
，
在四边形 中，设 ， ，
则 ， ， ，，
，
，
即 ，
．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行
线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想解决问题，学会用方程
的思想方法解决问题．
52．（2023春•鼓楼区校级期末）问题引入：如图①， ， ， ， 是线段
的中点．连结 并延长交 于点 ，连结 ．则 与 之间的数量关系是 ．
问题延伸：如图②，在正方形 和正方形 中，点 、 、 在同一条直线上，点 在 上，
是线段 的中点，连结 、 ．
（1）判断 与 之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结 ，若 ， ，则 的长为 ．
【分析】问题引入：利用 证明 ，可得 ，进而可以解决问题；
问题延伸（1）延长 交 于点 ，根据正方形的性质证明 ，可得 ，
，根据 为 斜边上的中线，进而可以解决问题；
（2）根据正方形的性质设 ，可得 ，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：问题引入： ，理由如下：
，
，是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
为 斜边上的中线，
，
；
故答案为： ；
问题延伸：（1） ，理由如下：
如图，延长 交 于点 ，
四边形 ， 为正方形，
， ，
，
为 的中点，
，
在 和 中，
，
，， ，
为 斜边上的中线，
，
；
（2） 四边形 、 为正方形，
， ， ，
设 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定
理，解答时证明三角形全等是解答本题的关键．
一十一．正方形的判定与性质（共7小题）
53．（2023春•秦淮区期末）如图，已知四边形 为正方形， ，点 为对角线 上一动点，
连接 ，过点 作 ，交 于点 ，以 、 为邻边作矩形 ，连接 ．
（1）求证：矩形 是正方形；
（2）探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）作出辅助线，得到 ，然后判断 ，得到 ，则有即可；
（2）同（1）的方法判断出 得到 ，即： ．
【解答】解：（1）如图，作 于 ， 于 ，
，
点 是正方形 对角线上的点，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是矩形，
矩形 是正方形；
（2） 的值是定值，定值为6，理由如下：
正方形 和正方形 ，
， ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
是定值．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性
质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
54．（2023春•柘城县期末）四边形 为正方形，点 为线段 上一点，连接 ，过点 作
，交射线 于点 ，以 、 为邻边作矩形 ，连接 ．
（1）如图1，求证：矩形 是正方形；
（2）若 ， ，求 的长度；
（3）当线段 与正方形 的某条边的夹角是 时，直接写出 的度数．
【分析】（1）作 于 ， 于 ，证明 ，得到 ，根据正方形
的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现 是 中点，点 与 重合， 是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形考虑问题即可；
【解答】（1）证明：作 于 ， 于 ，
，
，
， ，
，
在 和 中，，
，
，
矩形 是正方形；
（2）如图2中，在 中． ，
，
，
点 与 重合，此时 是等腰直角三角形，易知 ．
（3）①当 与 的夹角为 时，点 在 边上， ，
则 ，
在四边形 中，由四边形内角和定理得： ，
②当 与 的夹角为 时，点 在 的延长线上， ，如图3所示：
， ，，
综上所述， 或 ．
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
55．（2023春•来凤县期末）如图，已知四边形 为正方形， ，点 为对角线 上一动点，
连接 ，过点 作 ．交射线 于点 ，以 、 为邻边作矩形 ，连接 ．
①求证：矩形 是正方形；
②探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）作出辅助线，得到 ，然后判断 ，得到 ，则有
即可；
（2）同（1）的方法证出 得到 ，得出 即可．
【解答】①证明：过 作 于 点，过 作 于 点，如图所示：
正方形 ，
， ，
，
且 ，
四边形 为正方形，
四边形 是矩形，
， ，
，
又 ，在 和 中， ，
，
，
矩形 为正方形；
②解： 的值为定值，理由如下：
矩形 为正方形，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
在 和 中， ，
，
，
，
是定值．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性
质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
56．（2023春•淮阳区期末）（1）将矩形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在 上的点 处，
得到折痕 ，如图1．求证：四边形 是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片 沿过点 的直线折叠，点 恰好落在 上的点 处，点 落在点 处，
得到折痕 ， 交 于点 ，如图2．线段 与 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．
【分析】（1）由折叠性质得 ， ， ，再根据平行线的性质和等腰三角形
的判定得到四边形 是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形 为正方形；
（2）连接 ，证明 △ △ ，得 ，便可得结论．
【解答】（1）证明： 是矩形，
，
将矩形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在 上的点 处，得到折痕 ，
， ， ，
，
，
，
，
四边形 是菱形，
，
四边形 是正方形；
（2）解： ．
证明：如图1，连接 ，由（1）知， ，
四边形 是矩形，
， ，由折叠知， ， ，
， ，
又 ，
在 △ 和 △ 中，
，
△ △ ，
，
．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，
解决本题关键证明利用勾股定理构建方程．
57．（2023春•福田区校级期末）如图1，四边形 为正方形， 为对角线 上一点，连接 ，
．
（1）求证： ；
（2）如图2，过点 作 ，交边 于点 ，以 ， 为邻边作矩形 ，连接 ．
①求证：矩形 是正方形；
②若正方形 的边长为9， ，求正方形 的边长．
【分析】（1）根据正方形的性质证明 ，即可解决问题；
（2）①作 于 ， 于 ，得到 ，然后证得 ，得到
，则有 ，根据正方形的判定即可证得矩形 是正方形；
②证明 ，可得 ， ，证明 ，连接 ，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明： 四边形 为正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
；
（2）①证明：如图，作 于 ， 于 ，
得矩形 ，
，
点 是正方形 对角线上的点，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是矩形，矩形 是正方形；
②解： 正方形 和正方形 ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
．
，
，
连接 ，
，
．正方形 的边长为 ．
【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解
本题的关键是正确作出辅助线，证得 ．
58．（2023春•太康县期末）（1）如图矩形 的对角线 、 交于点 ，过点 作 ，且
，连接 ，判断四边形 的形状并说明理由．
（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质得出 ，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四
边形 是平行四边形，根据菱形的判定推出即可；
（2）根据菱形的性质得出 ，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形
是平行四边形，根据矩形的判定推出即可；
（3）根据正方形的性质得出 ， ，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
得出四边形 是平行四边形，根据正方形的判定推出即可；
【解答】解：（1）四边形 的形状是菱形，
理由是： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是菱形；
（2）四边形 的形状是矩形，
理由是： 四边形 是菱形，，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是矩形；
（3）四边形 的形状是正方形，
理由是： 四边形 是正方形，
， ， ， ，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的性质和判定，主要考查学生的猜想能力和
推理能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
59．（2023春•曲阳县期末）问题解决：如图 1，在矩形 中，点 ， 分别在 ， 边上，
， 于点 ．
（1）求证：四边形 是正方形；
（2）延长 到点 ，使得 ，判断 的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形 中，点 ， 分别在 ， 边上， 与 相交于点 ， ，
， ， ，求 的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得 ，由等角的余角相等可得 ，利用 可得 ，由全等三角形的性质得 ，即可得四边形 是正方形；
（2）利用 可得 ，由全等三角形的性质得 ，由已知 可得
，根据线段垂直平分线的性质可得即可得 ， 是等腰三角形；
类比迁移：延长 到点 ，使 ，连接 ，利用 可得 ，由全等三
角形的性质得 ， ，由已知 可得 ，可得 是等边三角
形，则 ，等量代换可得 ．
【解答】（1）证明：如图1中，
四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是矩形，
四边形 是正方形；
（2）解：结论： 是等腰三角形，
理由： 四边形 是正方形，
，，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
类比迁移：解：延长 到点 ，使 ，连接 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等
三角形解决问题，属于中考压轴题．
一十二．四边形综合题（共1小题）
60．（2023春•湖北期末）（1）尝试探究：
如图1， 是正方形 的边 上的一点，过点 作 ，交 的延长线于 ．
①求证： ；
②过点 作 的平分线交 于 ，连接 ，请探究 与 的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2， 是正方形 的边 上的一点，过点 作 ，交 的延长线于 ，连接 交
于 ，连接 并延长 交 于 ，已知 ， ，求 的长．
【分析】（1）先判断出 ，再证明 即可解决问题．
（2）证明 即可解决问题．
（3）如图 2 中，作 交 于 ，连接 ．证明 ，由 ，
，推出 垂直平分线段 ，推出 ，设 ，则 ， ，利用
勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，在正方形 中， ， ，
，
，
，
，
．（2）结论： ．
理由：如图1中， ，
，
， ，
，
．
（3）如图2中，作 交 于 ，连接 ．
四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
垂直平分线段 ，
，设 ，则 ， ，
在 中，则有 ，
，
．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
