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新余一中 2019-2020 学年上学期初三第二次段考数学试卷
一、选择题（每小题 3分，共18分）
1.下列汽车标志是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.抛物线 y=ax2+4ax-5的对称轴为（ ）
A. x=-2a B. x=4 C. x=2a D. x=-2
3.已知关于 x的方程（a-1）x2-2x+1=0有实数根，则 a的取值范围是（ ）
A. a≤2 B. a＞2 C. a≤2且a≠1 D. a＜-2
4. 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，
直线 l： 与 x轴、 y轴分别交于 A、 B，∠ OAB=30°，
点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的
点P个数是（ ）
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
5. 如图，已知菱形OABC 的两个顶点O（0，0），B（2，2），若将菱形绕点 O
以每秒45°的速度逆时针旋转，则第 2018秒时，菱形两对角线交点D的纵坐标为（ ）
A. B. ﹣ C. 1 D. ﹣1
6. 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=1,与x轴的一个交点坐标
为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac0 ;
1 2
④当y>0 时，x的取值范围是−1 x<3; ⑤当 x<0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
二、填空题（每小题 3分，共18分）
7．将抛物线 沿 x轴向右平移3个长度单位，再沿 y轴向下平移2 个长度
单位，所得抛物线的解析式为______．
8．已知 ， 是方程 的两个根，则 ______ ．9．在平面直角坐标系内，以点 P（﹣1，0）为圆心、 为半径作圆，则该圆
与y轴的交点坐标是_____．
10．如图 边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶
点A顺时针旋转 ，则这两个正方形重叠部分的面积是______ ．
11．当 时，二次函数 有最大值4，则实数m的值为
______．
12．如图,直角梯形 ABCD中,∠BAD=∠CDA=90°,AB= ,CD=2 ,过A,B,D 三点
的☉O分别交 BC,CD 于点E,M,且CE=2,下列结论:①DM=CM;②弧AB=弧EM;③☉O
的直径为2 ;④AE= .其中正确的结论是___________。
三、解答题（每题6 分，共30分）
13. 解方程：
（1）x2-x=0； （2）x2+4x-3=0．
14. 求证：关于x的方程x2+（2k+1）x+k-1=0，无论k取任何值，都有两个不相等的实数
根．
15. 如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，
3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
16. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为 O，直径AB是河底线，弦 CD是
水位线，CD∥AB，且 AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得 OE：CD=5：24
（1）求 CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时 4m的速度上升，则经过
多长时间桥洞会刚刚被灌满？
17. 已知△ABC的两边AB、AC的长分别是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）
x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）当k为何值时，△ABC是直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．
四、解答题（每题8 分，共24分）
18，如图,P是正三角形ABC内的一点,且 , , ,将 绕点B逆时针旋
转一定角度后,可得到 ．求点P与点Q之间的距离；
求 的度数．
19.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，
射线AO 交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线 AO上，且∠PCB=2∠BAF．
（1）求证：直线 PC 是⊙O的切线；
（2）若 AB= ，AD=2，求⊙O的半径。
20. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50元，为了合理定价，投放市场
进行试销．据市场调查，销售单价是 100元时，每天的销售量是 50件，而销售
单价每降低1元，每天就可多售出 5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
五、解答题（每题9 分，共18分）
21. 如图1，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE
的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）将图 1中的△BCE 绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图
2），判断△ACN的形状并说明理由；（2）将图 1中△BCE 绕点B旋转到图3位置时（A，B，M三点在同一直线
上），（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理
由．
22. ①已知：如图1所示, 是 的内接正三角形,点P为 上一动点,求证：
．
②如图2所示,四边形ABCD是 的内接正方形,点P为 上一动点,求证：
．
③如图3所示,六边形ABCDEF是 的内接正六边形,点P为 上一动点,请探究
PA,PB,PC三者之间有何数量关系,不需要证明．六、解答题（12分）
23. 如图，已知开口向下的抛物线 过点 ，与y轴交于点C，顶点为
B，将抛物线 绕点C旋转 后得到抛物线 ，点A，B的对应点分别为点D，E．
直接写出点A，C，D的坐标；
当四边形ABDE是矩形时，求a的值及抛物线 的解析式；
在 的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的
速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线 轴，将矩形ABDE沿直线
l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t
的函数关系．
