文档内容
第 28 讲 动量守恒定律的应用
学习目标
明 确目标 确定方向
1. 动量守恒定律的条件判断
2. 单方向动量守恒
3. 动量守恒定律多过程中应用
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
第一部分：基础知识梳理
一、动量守恒定律
1.内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不
变。
2.表达式：
守恒式：m v ＋m v ＝m v ′＋m v ′，
1 1 2 2 1 1 2 2
转移式：Δp ＝－Δp ，相互作用的两个物体动量的增量等大反向。
1 2
3.动量守恒的条件
(1)理想守恒：系统不受外力或所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。
(2)近似守恒：系统受到的外力矢量和不为零，但当内力远大于外力时，系统的动量可近似看
成守恒。
(3)某一方向上守恒：系统在某个方向上所受外力矢量和为零时，系统在该方向上动量守恒。
第二部分重难点辨析
1.应用动量守恒定律解题时应该首先判断动量是否守恒
2应用动量守恒定律的步骤
1.明确研究系统和过程
2.受力分析：判断系统机械能是否守恒
3.规定正方向，确定初末状态的动量
4列方程求解
【 典例分析 】 精 选例题 提高素养
【例1】如图，水平弹簧右端固定在竖直墙壁上，左端固连在物块上，水平面光滑。开始时物块静止，弹
簧处于原长。一颗子弹以水平速度v 射入物块，并留在物块中。若子弹和物块作用时间极短，下列有关说
0
法中正确的是（ ）
A．子弹开始打物块到与物块共速，子弹、物块组成的系统动量守恒
B．子弹开始打物块到弹簧压缩至最短，子弹、物块、弹簧组成的系统机械能守恒
C．子弹开始打物块到弹簧压缩至最短，子弹、物块、弹簧组成的系统动量守恒
D．子弹物块以相同速度压弹簧的过程中，物块、子弹、弹簧组成的系统动量守恒
【答案】A
【详解】A．由于子弹和物块作用时间极短，则在打击过程中，内力远远大于外力，可知子弹开始打物块
到与物块共速，子弹、物块组成的系统动量守恒，A正确；
B．根据上述，子弹开始打物块到与物块共速过程类似完全非弹性碰撞，该过程有一部分动能转化为内
能，则子弹开始打物块到弹簧压缩至最短，子弹、物块、弹簧组成的系统机械能减小，不守恒，B错误；
C．打击过程子弹与物块动量守恒，打击完成后，子弹与木块向右压缩弹簧，系统所受外力的合力不为 0，
该过程动量不守恒，可知子弹开始打物块到弹簧压缩至最短，子弹、物块、弹簧组成的系统动量不守恒，
C错误；
D．根据上述可知，子弹物块以相同速度压弹簧的过程中，物块、子弹、弹簧组成的系统动量不守恒，D错
误。
故选A。
【例2】．如图所示，大气球质量为25kg，载有质量为50kg的人，静止在空气中距地面20m高的地方，
气球下方悬一根质量可忽略不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为了安全到达地面，则绳
长至少为（不计人的身高，可以把人看作质点）（ ）
A．60m B．40m C．30m D．10m
【答案】A【详解】人与气球组成的系统动量守恒，设人的速度 v1，气球的速度v2，设运动时间为t，以人与气球组
成的系统为研究对象，以向下为正方向，由动量守恒得
则
解得
则绳子长度
即绳子至少长60m长。
故选A。
【例3】．如图所示，光滑水平面的左侧是倾角为 的粗糙斜面，右侧是半径为 的竖直半圆形光滑
轨道。可看作质点的物块A、B放在水平面上，两者用细线相连，A、B间有一压缩弹簧。某时刻烧断细
线，A、B被弹簧弹开，物块A向左运动滑上斜面，沿斜面上升的最大高度是 。物块B向右运动进入
半圆轨道，离开半圆轨道最高点后又落在水平面上。已知物块A质量为物块B质量的2倍，物块A与斜面
间的动摩擦因数为0.25，重力加速度g取 ， 。求：
（1）物块A被弹簧弹开时获得的初速度大小；
（2）物块B经过半圆轨道最高点时所受弹力与其重力之比；
（3）物块B经过半圆轨道后落到水平面上的落点与半圆轨道最高点的水平距离。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）设物块B的质量为m，物块A的质量为M，物块A沿斜面上滑过程，加速度的大小为物块A沿斜面上滑的距离
物块A获得的初速度
（2）A、B分离过程动量守恒
分离后物块B的速度
设物块B在最高点的速度为 ，沿着半圆轨道上升到最高点机械能守恒
代入数据解得
设在最高点对轨道压力为F
代入数据解得
（3）物块B离开最高点后做平抛运动
在竖直方向有
落点与最高点的水平距离
代入数据解得【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
1．如图，边长均为a的立方体木块和空心铁块，用长度也为a的细绳连接，悬浮在平静的池中，木块上表
面和水面的距离为 ．当细绳断裂后，木块与铁块竖直向上、向下运动，当木块刚浮出水面时，铁块恰好
到达池底．已知木块的质量为m，铁块的质量M，不计水的阻力，则池深为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】铁块下降的高度为H，对于木块和铁块整体由平均动量守恒有
池深
故选C。
2．如图所示，设车厢长为l，质量为M，静止在光滑水平面上，车厢内有一质量为m的物体，以速度v 向
0
右运动，与车厢壁来回碰撞n次后，静止于车厢中，这时车厢的速度为（ ）
A．v，水平向右
0
B．0
C． ，水平向右D． ，水平向右
【答案】C
【详解】物块再车辆内和车发生碰撞满足动量守恒，最后物块和车共速，由动量守恒得
解得 ，方向水平向右
A. v0，水平向右不符合题意
B. 0不符合题意
C. ，水平向右符合题意
D. ，水平向右不符合题意
3．如图所示，在平静的水面上有A、B两艘小船，A船的左侧是岸，在B船上站着一个人，人与B船的总
质量是A船的10倍。两船开始时都处于静止状态，当人把A船以相对于地面的速度v向左推出，A船到达
岸边时岸上的人马上以两倍原速率将A船推回，B船上的人接到A船后，再次把它以速度v向左推出……
直到B船上的人不能再接到A船，忽略水的阻力，则B船上的人最多可以推船的次数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
【答案】A
【详解】取向右为正方向，B船上的人第一次推出A船时，由动量守恒定律得
解得
当A船向右返回后，B船上的人第二次将A推出，由动量守恒定律得
解得
当A船再向右返回后，B船上的人第三次将A推出，由动量守恒定律得解得
则B船上的人第n次将A推出，由动量守恒定律得
得
整理得
B船上的人不能再接到A船，须有
联立解得
则取
故A正确，BCD错误。
故选A。
4．冰壶运动是2022年北京冬季奥运会比赛项目之一．比赛时，在冰壶前进的时候，运动员不断的用刷子
来回的刷动冰面，以减小摩擦力。如图所示，冰壶A以初速度 向前运动 后，与冰壶B发生完全非弹性
碰撞，此后运动员通过刷动冰面，使得冰壶A、B整体所受摩擦力为碰前冰壶A所受摩擦力的 ，冰壶AB
整体运动 后停下来．已知冰壶A、B的质量均为m，可看成质点，重力加速度为g。则运动员刷动冰面
前，冰壶与冰面的动摩擦因数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设刷动冰面前冰壶与冰面的动摩擦因数为 ，冰壶A向前做匀减速直线运动，由动能定理可知
冰壶A与冰壶B发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可知
此后冰壶A、B整体向前做匀减速直线运动，由动能定理可得
联立解得
故D正确，ABC错误。
故选D。
5．如图所示，三辆相同的平板小车a、b、c成一直线排列，静止在光滑水平地面上，c车上一人跳到b车
上，接着又立即从b车跳到a车上，人跳离c车和b车时对地的水平速度相同，他跳到a车上没有走动便
相对a车保持静止，此后（ ）
A．a、c两车的运动速率相等 B．a、c两车的运动方向一定相反
C．a、b两车的运动速率相等 D．三辆车的运动速率关系为v>v>v
【答案】B
【详解】若人跳离b、c车时速度为v，由动量守恒定律，人跳离c车的过程，有
0=-M车v+m人v
人跳上和跳离b车的过程，有
m人v=-M车v+m人v
人跳上a车过程，有
m人v=（M车+m人）v所以
v=-
v=0
v=
即
v>v>v
并且v与v方向相反。
故选B。
6．如图所示，甲、乙两同学均站在滑板车上，甲同学和滑板车的总质量为M，乙同学和滑板车的总质量
也为M，乙同学静止，甲同学手持质量为m的篮球以v 的速度向乙滑去，为防止与乙同学相撞，甲同学将
0
篮球以大小为v（未知）的水平速度向乙抛去，乙同学将篮球接住后，也以大小为v的水平速度向甲抛
去，甲同学接球后，甲、乙两同学恰好不发生碰撞，不计地面的摩擦和空气阻力，则v的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设最后的共同速度为 ，根据动量守恒有
对球和乙研究，有
解得故选A。
7．如图所示，光滑水平面上静止着一质量为M的小车，小车上有一光滑的、半径为R的 圆弧轨道，右
侧有一固定竖直挡板。现有一质量为m的光滑小球从轨道的上端由静止开始释放，下列说法中正确的是（
）
A．小球下滑过程中，小车和小球组成的系统动量守恒
B．小球下滑过程中，小车和小球组成的系统在水平方向上动量守恒
C．撤去挡板，小球下滑过程中，小车和小球组成的系统动量守恒
D．撤去挡板，小球下滑过程中，小车和小球组成的系统水平方向上动量守恒
【答案】D
【详解】A．当小球沿光滑曲面下滑时，小球和小车组成的系统合力不为零，动量不守恒。A错误；
B．小球下滑过程中，小车静止且受到墙壁的弹力，即小球和小车组成的系统水平方向所受合外力不为
零，小车和小球组成的系统在水平方向上动量不守恒。B错误；
C．撤去挡板，小球下滑过程中，小车和小球组成的系统合力不为零，动量不守恒，C错误；
D．撤去挡板，小球下滑过程中，小车和小球组成的系统水平方向上合力为零，水平方向上动量守恒。D正
确。
故选D。
8．如图所示，在光滑水平面上有A、B两辆小车，水平面的左侧有一竖直墙，在小车B上坐着一个小孩，
小孩与B车的总质量是A车质量的4040倍。两车开始都处于静止状态，小孩把A车以相对于地面为v的速
度推出，A车与墙壁碰后仍以原速率返回，小孩接到A车后，又把它以相对于地面为v的速度推出。往后
小孩每次推出A车，A车相对于地面的速度都是v，方向向左，则小孩把A车推出几次后，A车返回时小孩
不能再接到A车（ ）A．2020 B．2021
C．2022 D．2023
【答案】B
【详解】取水平向右为正方向，小孩第一次推出A车后，小孩和B车获得速度为 ，由动量守恒定律
解得
小孩第n-1次推出A车后小孩和B车获得速度为 ，第n次推出A车后，小孩和B车获得速度为 。第n
次推出A车前后，由动量守恒定律
得
由等差数列公式得
当vn≥v时，再也接不到小车，即
得
n≥2020.5
取
n=2021
故选B。
多选9．以下有关知识描述正确的是（ ）
A．物体处于平衡状态，机械能一定守恒
B．物体所受合力做功为正，动能一定增加
C．系统内只要有一个物体具有加速度，系统动量就不守恒
D．若物体只受到重力作用，物体的机械能一定守恒【答案】BD
【详解】A．物体处于平衡状态，机械能不一定守恒，例如物体在竖直拉力作用下向上做匀速直线运动过
程中，拉力对物体做正功，物体机械能增大，A错误；
B．根据动能定理可知，物体所受合力做功为正，动能一定增加，B正确；
C．系统所受外力的合力为0时，系统的动量守恒，可知若系统内有一个物体具有加速度，但系统所受外力
的合力仍然为0，系统动量就仍然守恒，C错误；
D．若物体只受到重力作用，即只有重力做功，则物体的机械能一定守恒，D正确。
故选BD。
多选10．如图所示，倾角为 的光滑斜面体A静止地放在光滑水平面上，将一滑块B从斜面顶端由静止释
放，一段时间后滑块到达斜面底端，下列说法正确的是（ ）
A．B下滑过程中，A对B的支持力小于B对A的压力
B．B下滑过程中，B对A做正功
C．B下滑过程中，A、B组成的系统水平方向上动量守恒
D．B下滑过程中，A、B组成的系统动量守恒
【答案】BC
【详解】A．A对B的支持力与B对A的压力是一对相互作用力，大小总是相等，故A错误；
B．B下滑过程中，A水平向左运动，B对A的作用力对A做正功，故B正确；
C．B下滑过程中，A、B组成的系统在水平方向受到的合外力为零，系统水平方向上动量守恒，故 C正
确；
D．B下滑过程中，B竖直方向有加速度，A竖直方向没有加速度，可知A、B组成的系统竖直方向动量不守
恒，则A、B组成的系统动量不守恒，故D错误。
故选BC。
多选11．如图所示，质量为M的小车在光滑的水平面上以 向右匀速运动，一个质量为m的小球从高h
处自由下落，与小车碰撞后，又反弹上升的最大高度仍为h，设 ，发生碰撞时弹力 ，球与
车之间的动摩擦因数为 ，则小球弹起的水平速度可能是（ ）A． B．0 C． D．
【答案】AC
【详解】该题需要分以下两种情况进行分析：
小球离开小车之前已经与小车达到共同速度v，则水平方向上动量守恒，有
由于
所以
v＝v0
若小球离开小车之前始终未与小车达到共同速度，则对小球应用动量定理，设水平方向上摩擦力为 ，有
小球反弹后上升的高度为h，则反弹的速度v与落在小车上时的速度大小相等，以向上为正方向，竖直方
向上有
Nt＝mv﹣m（﹣v）＝2m
又
解得
v′＝2μ
故选项AC正确，BD错误。
故选AC。
多选12．如图所示，质量 的物块（可视为质点）放在质量 的木板左端，木板静止在光滑水平面上，物块与木板间的动摩擦因数 ，质量 的子弹以速度 沿水平方向射入
物块并留在其中（时间极短），物块最后恰好没有滑离木板，取 ，则在整个过程中（ ）
A．物块的最大速度为 B．木板的最大速度为
C．物块相对于木板滑行的时间为 D．木板的长度为
【答案】AC
【详解】A．子弹射入物块，由动量守恒可得：子弹刚射入物块时，两者的共同速度
之后，物块受到摩擦力做减速运动，木板受到摩擦力做加速运动，直到物块到达木板右端时，两者达到共
同速度；故物块的最大速度为6m/s，A正确；
B．物块和子弹在木板上滑行时，整体的合外力为零，故动量守恒，那么共同速度
所以由A的运动分析可得：木板的最大速度为2m/s，B错误；
物块在木板上滑行时合外力等于摩擦力，故物块做匀减速运动，加速度大小为
a＝μg＝4m/s2
所以，物块相对于木板滑行的时间
C正确；
D．物块在木板上滑行时，物块做加速度a＝4m/s2的匀减速运动，木板的加速度大小为
所以木板的长度
D错误。
故选AC。多选13．如图所示，一质量M=8.0kg的长方形木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量m=2.0kg
的小木块 A。给A和B以大小均为5.0m/s，方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，A
始终没有滑离B板，A、B之间的动摩擦因数是0.5。则在整个过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小木块A的速度减为零时，长木板 B 的速度大小为3.75m/s
B．小木块A的速度方向一直向左，不可能为零
C．小木块A与长木板B共速时速度大小为3m/s
D．长木板的长度可能为10m
【答案】ACD
【详解】AB．木块与木板组成的系统动量守恒，由于初速度均为v0=5.0m/s，所以木板的动量大于小木块
的动量，系统合动量方向向右，所以木块A先向左做减速运动，速度减为零后反向向右做加速运动，最后
木块与木板一起做匀速直线运动，以向右为正方向，由动量守恒定律得当木块A的速度间为零时
代入数据解得
故A正确，B错误；
C．最终木块与木板速度相等，根据动量守恒定律可得
代入数据解得
故C正确；
D．最终木块与木板相对静止，一起做匀速直线运动，对系统
代入数据解得
x=8m
木板的最小长度为8m，可能为10m，故D正确。
故选ACD。14．北京举办第24届冬季奥运会，催生了许多室内冰雪项目。如图所示，为室内冰雪乐园中一个游玩项
目，倾斜冰面与水平面夹角θ=37°，冰面斜长a=75m、横宽b=40m，冰面两侧均安装有安全护网，底部有
缓冲装置（未画出）。周末某父子俩前往游玩，设父亲与滑板总质量为M=80kg，儿子与滑板总质量为
m=40kg，工作人员将载有人的凹形滑板由冰面顶端中点静止释放的瞬间，父亲沿水平方向推了一下儿子，
父子俩迅速分开，并沿冰面滑下。假设运动中始终没有碰到护网，父子俩都能安全到达冰面底端（不计一
切阻力，父子俩均视为质点，重力加速度g取10m/s2），求：
（1）父子俩下滑的时间t多长？
（2）父亲推儿子时最多做功W为多少？
【答案】（1）5s；（2）480J
【详解】（1）父子俩都沿冰面做类平抛运动，沿冰面向下的加速度为
根据匀变速直线运动规律
代入数据解得
（2）推开后，设父亲获得初速度为vM，儿子获得初速度vm，父子俩水平动量守恒，则
因儿子质量小些，只要儿子安全即可，水平滑动距离为 ，根据位移与时间关系
代入数据得
代入动量守恒公式得
根据功能关系代入数据得最多做功为
15．如图所示，在光滑水平地面上，有用轻弹簧相连的B、C两物块，质量m =m =4kg，弹簧处于原长，
B C
B、C两物块均处于静止。在B、C两物块连线的左边，有一质量为m =1kg的A物块以v=4m/s的速度向右
A 0
运动，与B相碰后以v=2m/s的速度向左滑行，求：
1
（1）物块C运动的最大速度v ；
m
（2）从A、B碰撞后至轻弹簧第一次的弹性势能最大过程中，弹簧对B的冲量。
【答案】（1）1.5m/s；（2）3N·s，方向水平向左
【详解】（1）A、B两物块相碰，取水平向右方向为正，由动量守恒定律得
解得
此后B减速，C加速，弹簧先压缩至最短后恢复原长时，物块C速度达到最大，物块B、C组成系统，由动
量守恒定律得
联立解得
（2）从A、B碰撞后至轻弹簧第一次的弹性势能最大时， ，由动量守恒定律得
解得
对B由动量定理得解得
即：弹簧对B的冲量大小为3N·s，方向水平向左。
16．一个连同装备总质量为 的宇航员，在距离飞船 处与飞船处于相对静止状态，宇航员
背着装有质量为 氧气的贮气筒，筒上有个可以使氧气以 的速度喷出的喷嘴，宇航员必
须向着返回飞船的相反方向放出氧气，才能回到飞船，同时又必须保留一部分氧气供途中呼吸用。宇航员
的耗氧率为 。
不考虑喷出氧气对设备及宇航员总质量的影响，则：
（1）瞬时喷出多少氧气，宇航员才能安全返回飞船？
（2）为了使总耗氧量最低，应一次喷出多少氧气？返回时间又是多少？（提示：一般飞船沿椭圆轨道运
动，不是惯性参照系，但是，在一段很短的圆弧上，可以视为飞船做匀速直线运动，是惯性参照系。）
【答案】（1） ；（2） ，
【详解】（1）设瞬时喷出氧气质量为 ，宇航员刚好安全返回，宇航员释放氧气后的速度为 ，取喷
出的氧气速度方向为正方向，根据动量守恒定律可得
宇航员匀速返回飞船所需要的时间为
储气筒中氧气的总量
解得
，
所以瞬时喷出氧气的质量满足
（2）为了使总耗氧量最低，设喷出 氧气，则耗氧量另
解得
当 时， 有最小值，此时
返回时间为
