文档内容
第二讲 动量守恒定律及其应用
知识梳理
一、动量守恒定律
1．内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为，这个系统的总动量保持不变。
2．表达式：mv＋mv＝mv′＋mv′。
1 1 2 2 1 1 2 2
3．适用条件
(1)系统不受外力或所受外力的合力为零。
(2)系统所受外力虽不为零，但内力远大于外力。
(3)系统所受外力虽不为零，但在某方向上合力为零，系统在该方向上动量守恒。
二、碰撞、反冲、爆炸
1．碰撞
(1)特点：作用时间极短，内力(相互碰撞力)远大于外力，总动量守恒。
(2)分类
①弹性碰撞：碰撞后系统的机械能没有损失。
②非弹性碰撞：碰撞后系统的机械能有损失。
③完全非弹性碰撞：碰撞后合为一体，机械能损失最大。
2．爆炸
与碰撞类似，物体间的相互作用时间很短，作用力很大，且远大于系统所受的外力，所以系统动量守恒。
3．反冲
(1)定义：当物体的一部分以一定的速度离开物体时，剩余部分将获得一个反向冲量，如发射炮弹、火箭
等。
(2)特点：系统内各物体间的相互作用的内力远大于系统受到的外力，动量守恒。
知识训练
考点一 动量守恒定律的理解和基本应用
1．适用条件
(1)理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零．
(2)近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力．
(3)某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在这一方向上动量守恒．
2．应用动量守恒定律解题的步骤
(1)明确研究对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程)．(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒)．
(3)规定正方向，确定初、末状态动量．
(4)由动量守恒定律列出方程．
(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明．
例1、如图甲所示，把两个质量相等的小车A和B静止地放在光滑的水平地面上．它们之间装有被压缩的
轻质弹簧，用不可伸长的轻细线把它们系在一起．如图乙所示，让B紧靠墙壁，其他条件与图甲相同．对
于小车A、B和弹簧组成的系统，烧断细线后下列说法正确的是( )
A．从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图甲所示系统动量守恒，机械能守恒
B．从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统动量守恒，机械能守恒
C．从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，墙壁对图乙所示系统的冲量为零
D．从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，墙壁弹力对图乙中B车做功不为零
【答案】A
【解析】从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，题图甲所示系统所受外力之和为 0，则系统动量守恒，且
运动过程中只有系统内的弹力做功，所以系统机械能守恒，故 A正确；从烧断细线到弹簧恢复原长的过程
中，题图乙所示系统中由于墙壁对B有力的作用，则系统所受外力之和不为0，则系统动量不守恒，运动
过程中只有系统内的弹力做功，所以系统机械能守恒，故 B错误；从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，
题图乙所示系统中由于墙壁对B有力的作用，由公式I＝Ft可知，墙壁对题图乙所示系统的冲量不为零，
故C错误；从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，由于 B车没有位移，则墙壁弹力对题图乙中B车做功为
0，故D错误．
例2、如图所示，站在车上的人，用锤子连续敲打小车。初始时，人、车、锤都静止。假设水平地面光
滑，关于这一物理过程，下列说法正确的是( )
A．连续敲打可使小车持续向右运动
B．人、车和锤组成的系统机械能守恒C．当锤子的速度方向竖直向下时，人和车水平方向的总动量为零
D．人、车和锤组成的系统动量守恒
【答案】C
【解析】把人、锤子和车看成一个系统，系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，用锤子连续敲打车
的左端，根据水平方向动量守恒可知，系统的水平方向总动量为零，所以当锤子的速度方向竖直向下，即
水平方向动量为零时，人和车水平方向总动量为零，锤子向左运动时，车向右运动，锤子向右运动时，车
向左运动，所以车在水平方向做往复运动，不会持续地向右运动，故A错误，C正确；由于人消耗体能，
体内储存的化学能转化为系统的机械能，机械能又通过锤子敲打小车等转化为内能，因此人、车和锤组成
的系统机械能不守恒，故B错误；在锤子的连续敲打下，人、车和锤组成的系统竖直方向所受的合力不等
于零，该方向系统的动量不守恒，所以系统的动量不守恒，故D错误。
例3、(多选)如图所示，质量分别为m和2m的A、B两个木块间用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A靠
紧竖直墙。用水平力F将B向左压，使弹簧被压缩一定长度，静止后弹簧储存的弹性势能为 E。这时突然
撤去F，关于A、B和弹簧组成的系统，下列说法中正确的是( )
A．撤去F后，系统动量守恒，机械能守恒
B．撤去F后，A离开竖直墙前，系统动量不守恒，机械能守恒
C．撤去F，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E
D．撤去F，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为
【答案】BD
【解析】撤去F后，A离开竖直墙前，竖直方向两木块的重力与水平面对它们的支持力平衡，合力为零，
而水平方向墙对A有向右的弹力，系统的动量不守恒；这个过程中，只有弹簧的弹力对 B做功，系统的机
械能守恒；A离开竖直墙后，系统水平方向不受外力，竖直方向受力平衡，则系统的动量守恒，此过程只
有弹簧的弹力做功，机械能也守恒，故 A错误，B正确。撤去F，A离开竖直墙后，当两木块速度相同
时，弹簧伸长最长或压缩最短，弹性势能最大；设两木块的共同速度为v，A离开墙时，B的速度为v ，根
0
据动量守恒定律和机械能守恒定律得：2mv ＝3mv，E＝·3mv2＋E ，又E＝·2mv，联立解得弹簧的弹性势能
0 p
最大值为：E＝，故C错误，D正确。
p
例4、如图，质量为M的小车A停放在光滑的水平面上，小车上表面粗糙。质量为m的滑块B以初速度v
0
滑到小车A上，车足够长，滑块不会从车上滑落，则小车的最终速度大小为( )A．0 B．
C． D．
【答案】C
【解析】B在A上滑动的过程中，A、B组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律得：mv ＝(M＋m)v，解
0
得：v＝，故C正确。
课堂随练
训练1、(2021·全国乙卷) 如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与
滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板
上有相对滑动。在地面参考系(可视为惯性系)中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统( )
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒
D．动量不守恒，机械能不守恒
【答案】B
【解析】因为水平地面光滑，所以撤去推力后，系统所受合外力为零，则系统动量守恒；因为滑块与车厢
水平底板间有摩擦，且撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动，则撤去推力后滑块与车厢底板间有摩擦
力做功，系统机械能不守恒。故选B。
训练2、(多选)(2021·甘肃天水期末)如图所示，木块B与水平面间的摩擦不计，子弹A沿水平方向射入木块
并在极短时间内相对于木块静止下来，然后木块压缩弹簧至弹簧最短。将子弹射入木块到刚相对于木块静
止的过程称为Ⅰ，此后木块压缩弹簧的过程称为Ⅱ，则( )
A．过程Ⅰ中，子弹、弹簧和木块所组成的系统机械能不守恒，动量也不守恒
B．过程Ⅰ中，子弹和木块所组成的系统机械能不守恒，动量守恒
C．过程Ⅱ中，子弹、弹簧和木块所组成的系统机械能守恒，动量也守恒D．过程Ⅱ中，子弹、弹簧和木块所组成的系统机械能守恒，动量不守恒
【答案】BD
【解析】子弹射入木块到刚相对于木块静止的过程，子弹和木块(或子弹、弹簧和木块)组成的系统所受合
外力为零，系统动量守恒，但要克服摩擦力做功，产生热量，系统机械能不守恒，A错误，B正确；过程
Ⅱ中，子弹、弹簧和木块所组成的系统受到墙壁的作用力，外力之和不为零，则系统动量不守恒，但系统
只有弹簧弹力做功，机械能守恒，C错误，D正确。
训练3、如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端静止释放。Q与P的接触面光滑，
Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．P对Q做功为零
B．P和Q之间相互作用力做功之和为零
C．P和Q构成的系统机械能守恒、动量守恒
D．P和Q构成的系统机械能不守恒、动量守恒
【答案】B
【解析】P对Q有弹力的作用，并且在力的方向上有位移，所以 P对Q做功不为0，故A错误；因为PQ
之间的力属于系统内力，并且等大反向，两者在力的方向上发生的位移相等，所以做功之和为0，故B正
确；因为系统只有系统内力和重力的作用，所以P、Q组成的系统机械能守恒，系统水平方向上不受外力
的作用，水平方向上动量守恒，但是在竖直方向上Q有加速度，即竖直方向上动量不守恒，故C、D错
误。
训练4、(2019·江苏高考)质量为M的小孩站在质量为m的滑板上，小孩和滑板均处于静止状态，忽略滑板
与地面间的摩擦。小孩沿水平方向跃离滑板，离开滑板时的速度大小为v，此时滑板的速度大小为( )
A．v B．v
C．v D．v
【答案】B
【解析】由题意知，小孩跃离滑板时小孩和滑板组成的系统动量守恒，则Mv＋mv′＝0，得v′＝，即滑板的
速度大小为，B正确。
考点二、碰撞问题
1．碰撞问题遵守的三条原则(1)动量守恒：p＋p＝p′＋p′.
1 2 1 2
(2)动能不增加：E ＋E ≥E ′＋E ′.
k1 k2 k1 k2
(3)速度要符合实际情况
①碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有v >v ，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物
后 前
体同向运动，则应有v ′≥v ′.
前 后
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变．
2．弹性碰撞的重要结论
以质量为m、速度为v 的小球与质量为m 的静止小球发生弹性碰撞为例，则有
1 1 2
mv＝mv′＋mv′
1 1 1 1 2 2
mv2＝mv′2＋mv′2
1 1 1 1 2 2
联立解得：v′＝v，v′＝v
1 1 2 1
讨论：①若m＝m，则v′＝0，v′＝v(速度交换)；
1 2 1 2 1
②若m>m，则v′>0，v′>0(碰后两小球沿同一方向运动)；当m≫m 时，v′≈v，v′≈2v；
1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
③若m0(碰后两小球沿相反方向运动)；当m≪m 时，v′≈－v，v′≈0.
1 2 1 2 1 2 1 1 2
3．物体A与静止的物体B发生碰撞，当发生完全非弹性碰撞时损失的机械能最多，物体B的速度最小，v
B
＝v，当发生弹性碰撞时，物体B速度最大，v ＝v.则碰后物体B的速度范围为：v≤v ≤v.
0 B 0 0 B 0
例1、A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，m ＝1 kg，m ＝2 kg，v ＝6 m/s，v ＝2
A B A B
m/s，当A追上B并发生碰撞后，A、B两球速度的可能值是( )
A．v ′＝5 m/s，v ′＝2.5 m/s
A B
B．v ′＝2 m/s，v ′＝4 m/s
A B
C．v ′＝－4 m/s，v ′＝7 m/s
A B
D．v ′＝7 m/s，v ′＝1.5 m/s
A B
【答案】B
【解析】虽然题给四个选项均满足动量守恒定律，但A、D两项中，碰后A的速度v ′大于B的速度v ′，不
A B
符合实际，即A、D项错误；C项中，两球碰后的总动能E ＝m v ′2＋m v ′2＝57 J，大于碰前的总动能E
k后 A A B B k前
＝m v 2＋m v 2＝22 J，违背了能量守恒定律，所以C项错误；而B项既符合实际情况，也不违背能量守恒
A A B B
定律，所以B项正确．
例2、(多选)(2022·肇庆第二次统一测试)质量为m的物块在光滑水平面上与质量为M的物块发生正碰，已
知碰撞前两物块动量相同，碰撞后质量为m的物块恰好静止，则两者质量之比可能为( )
A．1 B．2
C．3 D．4【答案】CD
【解析】设碰前每个物块的动量为p，碰后M的速度为v，由动量守恒得2p＝Mv
由能量守恒定律可知，碰前系统的动能大于等于碰后系统的动能，又 E ＝，可得＋≥Mv2＝M，联立解得
k
≥3，C、D正确。
例3、已知质量相同的两个物体发生弹性正碰时速度交换。如图为“牛顿摆”，由五个相同的钢球紧挨着
悬挂在同一水平线上。拉起最左侧的球1并释放，由于相邻球间的碰撞，导致最右侧的球5被弹出，碰撞
时动能不损失。则( )
A．相邻球间碰撞属于非弹性碰撞
B．球5被弹起时，球4速度不为零
C．球5被弹起时，球1速度等于零
D．5个钢球组成的系统在整个运动过程中动量守恒
【答案】C
【解析】因为碰撞时动能不损失，则各个小球之间的碰撞均为弹性碰撞，A错误；因为两球碰撞时交换速
度，则球5被弹起时，球4速度为零，B错误；球1落下后与球2碰撞，1、2两球交换速度，之后以此类
推，当球5被弹起时，球1、2、3、4的速度都等于零，C正确；5个钢球组成的系统在水平方向碰撞过程
中动量守恒，而在球1和球5摆动的过程中动量不守恒，D错误。
例4、(多选)如图所示，竖直放置的半径为R的半圆形轨道与水平轨道平滑连接，不计一切摩擦．圆心O
点正下方放置质量为2m的小球A，质量为m的小球B以初速度v 向左运动，与小球A发生弹性碰撞．碰
0
后小球A在半圆形轨道运动时不脱离轨道，则小球B的初速度v 可能为(重力加速度为g)( )
0
A．2 B．
C．2 D．
【答案】BC
【解析】A与B碰撞的过程为弹性碰撞，则碰撞的过程中动量守恒，设 B的初速度方向为正方向，碰撞后B与A的速度分别为v 和v ，则：mv ＝mv ＋2mv ，由能量守恒得：mv2＝mv2＋·2mv2，联立得：v ＝.若
1 2 0 1 2 0 1 2 2
恰好能通过最高点，说明小球到达最高点时仅由小球的重力提供向心力，设在最高点的速度为v ，由牛
min
顿第二定律得：2mg＝2m·，A在碰撞后到达最高点的过程中机械能守恒，得：2mg·2R＝·2mv′2－·2mv 2，
2 min
v′＝，解得：v′＝1.5，可知若小球A经过最高点，则需要：v≥1.5.若小球不能到达最高点，则小球不脱离
2 0 0
轨道时，恰好到达与O等高处，由机械能守恒定律得：2mg·R＝·2mv″2，v″2＝，解得v″＝1.5，可知若小
2 2 0
球不脱离轨道时，需满足：v≤1.5.由以上的分析可知，若小球不脱离轨道时，需满足：v≤1.5或v≥1.5，故
0 0 0
A、D错误，B、C正确．
例5、如图所示，木块静止在光滑水平面上，两颗不同的子弹A、B从木块两侧同时射入木块，最终都停在
木块内，这一过程中木块始终保持静止。若子弹A射入的深度大于子弹B射入的深度，则( )
A．子弹A的质量一定比子弹B的质量大
B．入射过程中子弹A受到的阻力比子弹B受到的阻力大
C．子弹A在木块中运动的时间比子弹B在木块中运动的时间长
D．子弹A射入木块时的初动能一定比子弹B射入木块时的初动能大
【答案】D
【解析】由于木块始终保持静止状态，则两子弹对木块的推力大小时刻相等，且两子弹对木块作用的时间
相等，两子弹所受的阻力大小相等，设为f，根据动能定理，对子弹A：－fd ＝0－E ，得E ＝fd ，对子
A kA kA A
弹B：－fd ＝0－E ，得E ＝fd ，由于d >d ，则子弹射入时的初动能E >E ，故B、C错误，D正确；
B kB kB B A B kA kB
两子弹和木块组成的系统动量守恒，则有＝，而E >E ，则m ，即mv ，解得m<15m ＝60 kg；第7次推出
8 0 8 0 0 0
物块后，运动员的速度大小为 v ＝v13m ＝52 kg。综上所述，该运动员的质量应满足 52
7 0 0 0
kg6 J，A正确。
k木
4．(多选)在光滑的水平面上，一个质量为2 kg的物体A与另一物体B发生正碰，碰撞时间不计，两物体的
位置随时间变化规律如图所示，以A物体碰前速度方向为正方向，下列说法正确的是( )
A．碰撞后A的动量为6 kg·m/s
B．碰撞后A的动量为2 kg·m/s
C．物体B的质量为2 kg
D．碰撞过程中合外力对B的冲量为6 N·s
【答案】BD
【解析】由题图可知，碰撞前A的速度为v ＝ m/s＝4 m/s，碰撞后A、B共同的速度为v＝ m/s＝1 m/s，
0
则碰撞后A的动量为p ＝m v＝2 kg×1 m/s＝2 kg·m/s，A错误，B正确；A、B碰撞过程中，由动量守恒定
A A
律可得m v＝(m ＋m )v，解得：m ＝6 kg，C错误；对B，由动量定理可得I ＝m v－0＝6 N·s，D正确．
A 0 A B B B B
5．(2022·河北省唐山市高三上开学摸底考试)羽毛球运动作为人们日常活动最受欢迎的运动项目之一，若
羽毛球以某一水平初速度击中静止在水平地面的纸箱，使其瞬间卡在纸箱侧壁上，发现羽毛球与纸箱一起
滑行的距离为L。已知羽毛球的质量为5 g，纸箱的质量为2.495 kg，纸箱与地面间动摩擦因数μ＝0.1，滑
行距离L＝2 cm。则羽毛球击中纸箱的初速度是( )
A．0.1 m/s B．1 m/s
C．10 m/s D．100 m/s
【答案】D
【解析】设羽毛球击中纸箱的初速度为v，羽毛球刚击中纸箱与纸箱一起滑行的速度为v′，由动量守恒定
律可得mv＝(m＋M)v′，羽毛球与纸箱一起滑行时，由动能定理可得 0－(m＋M)v′2＝－μ(m＋M)gL，解得v
＝100 m/s，故选D。
6．如图，水平放置的圆环形窄槽固定在桌面上，槽内有两个大小相同的小球 a、b，球b静止在槽中位置
P。球a以一定初速度沿槽逆时针方向运动，在位置P与球b发生弹性碰撞，碰后球a反弹，并在位置Q与
球b再次碰撞。已知∠POQ＝90°，忽略摩擦，且两小球可视为质点，则a、b两球质量之比为( )A．3∶1 B．1∶3
C．5∶3 D．3∶5
【答案】D
【解析】根据题意，碰后球a反弹，并在位置Q与球b再次碰撞，且∠POQ＝90°，可知碰后a、b两球的
速度大小之比为v∶v ＝1∶3，两小球发生弹性碰撞，动量守恒，机械能守恒，设球a的初速度大小为v ，有
a b 0
mv ＝mv －mv ，mv＝mv＋mv，则碰撞后两球速度大小为v ＝－v ，v ＝v ，联立解得a、b两球质量之
a 0 b b a a a a b a 0 b 0
比为3∶5，故D正确。
7．如图所示，质量m＝60 kg的人，站在质量M＝300 kg的车的一端，车长L＝3 m，相对于地面静止。当
车与地面间的摩擦可以忽略不计时，人由车的一端走到另一端的过程中，车将( )
A．后退0.5 m B．后退0.6 m
C．后退0.75 m D．一直匀速后退
【答案】A
【解析】人车组成的系统动量守恒，则mv＝Mv ，所以mx＝Mx ，又有x＋x＝L，解得x＝0.5 m。
1 2 1 2 1 2 2
8．(2021·北京高三学业考试)如图所示，质量为m的小球A静止于光滑水平面上，在A球与墙之间用轻弹
簧连接。现用完全相同的小球B以水平速度v 与A相碰后粘在一起压缩弹簧。不计空气阻力，若弹簧被压
0
缩过程中的最大弹性势能为E，从球A被碰后开始到回到原静止位置的过程中墙对弹簧的冲量大小为I，则
下列表达式中正确的是( )
A．E＝mv2 I＝2mv
0 0
B．E＝mv2 I＝2mv
0 0
C．E＝mv2 I＝mv
0 0
D．E＝mv2 I＝mv
0 0【答案】A
【解析】AB碰撞瞬间，由动量守恒定律可知：mv＝2mv 解得：v＝
0 1 ， 1
碰撞后系统机械能守恒，当两球向左减速到零时弹簧的弹性势能最大，最大弹性势能 E，则：E＝×2m×2＝
mv2，取AB整体分析，取向右为正，由动量定理可得 I＝2m×－＝2mv ，所以墙对弹簧的冲量大小为
0 0
2mv，故A项正确；
0
9．(多选)(2021·广西南宁期末)在光滑的冰面上，质量为80 kg的冰球运动员甲以5.0 m/s的速度向前运动
时，与另一质量为100 kg、速度为3.0 m/s的迎面而来的运动员乙相撞，碰后甲恰好静止。假设碰撞时间极
短，下列说法正确的是( )
A．碰后乙的速度的大小是1.5 m/s
B．碰后乙的速度的大小是1.0 m/s
C．碰撞中总机械能损失了1 500 J
D．碰撞中总机械能损失了1 400 J
【答案】BD
【解析】设运动员甲、乙的质量分别为m、M，碰前速度大小分别为v 、v ，碰后乙的速度大小为v′，规
1 2 2
定碰撞前甲的运动方向为正方向，由动量守恒定律有：mv －Mv ＝Mv ′，解得：v′＝v －v ＝ m/s＝1.0
1 2 2 2 1 2
m/s，故A错误，B正确。根据能量守恒定律可知，碰撞中总机械能的损失为：ΔE＝mv2＋Mv 2－Mv ′，代
1 2 2
入数据解得：ΔE＝1 400 J，故C错误，D正确。
10．如图所示，质量为m的A球以速度v 在光滑水平面上向右运动，与静止的质量为5m的B球对心正
0
碰，碰撞后A球以kv 的速率弹回，并与竖直固定的挡板P发生弹性碰撞，要使A球与挡板碰后能追上B
0
球再次相碰，则k的取值范围为( )
A．≤k<1 B．v ，联立解得 k>；碰撞过程中损失的机械能 ΔE＝mv－
0 B
≥0，解得－1≤k≤。所以k的取值范围是
