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第 30 讲 动量和能量的综合应用
学习目标
明 确目标 确定方向
1动量守恒和弹性势能问题
2动量守恒和重力势能问题
3动量守恒和内能综合问题
【 典例分析 】 精 选例题 提高素
养
【例1】．如图所示，在光滑水平地面上，有用轻弹簧相连的A、B两物块，质量 ，弹簧处
于原长， 、 两物块均处于静止。在 、 两物块连线的右边，有一质量为 的C物块以
的速度向左运动，与 相碰，碰后二者粘在一起运动。求：
（1）C、B两物块相碰后的瞬间，C物块的速度 ？
（2）当轻弹簧的弹性势能最大时， 物块的速度 多大？
（3）轻弹簧弹性势能的最大值 是多大？
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）C、B两物块相碰，由动量守恒定律得
解得
（2）当轻弹簧的弹性势能最大时， 、B、C速度相等，由动量守恒定律得解得
（3）当轻弹簧的弹性势能最大时， 、B、C速度相等，由C、B碰后系统机械能守恒得
【例2】多选．如图所示，AB段为一竖直圆管，BC为一半径为 的半圆轨道，C端的下方有一质
量为 的小车，车上有半径 的半圆轨道，E为轨道最低点，左侧紧靠一固定障碍物，在直管
的下方固定一锁定的处于压缩的轻质弹簧，弹簧上端A放置一质量为 的小球（小球直径略小于圆
管的直径，远远小于R、r）。AB的距离为 ，A、E等高，某时刻，解除弹簧的锁定，小球恰好能
通过BC的最高点P，从C端射出后恰好从D端沿切线进入半圆轨道DEF，并能从F端飞出。若各个接触
面都光滑，重力加速度取 ，则（ ）
A．小球恰好能通过BC的最高点P，
B．弹簧被释放前具有的弹性势能
C．小球从F点飞出后能上升的最大高度
D．小球下落返回到E点时对轨道的压力大小 N【答案】BC
【详解】AB．由A到P过程中，小球机械能守恒，由机械能守恒定律得
在P点，由牛顿第二定律得
解得
，
A错误，B正确；
C．A到E过程中，A、E等高，由机械能守恒定律得
解得
小球由E上升到最高点过程中，小球与车组成的系统在水平方向动量守恒，以球的初速度方向为正方向，
则
系统机械能守恒，则
代入数据联立解得，小球从F点飞出后能上升的最大高度为
C正确；
D．小球从第一次经过E点到再次返回到E点的过程中，小球与小车组成的系统在水平方向动量守恒，以小
球的初速度方向为正方向，则
系统机械能守恒，则解得，小球的速度大小为
方向水平向左；小车的速度大小为
方向水平向右。由于小球与小车运动的方向相反，所以二者的相对速度，则
在E点对小球受力分析，由牛顿第二定律
解得，小球受到的支持力
根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为115 N，D错误。
故选BC。
【例3】．如图所示，A、B、C的质量分别为 、 、 ，轻弹簧的左端固定在挡板
上，C为半径 的 圆轨道，静止在水平面上。现用外力使小球A压缩弹簧（A与弹簧不连接），当
弹簧的弹性势能为 时由静止释放小球A，小球A与弹簧分离后与静止的小球B发生正碰，小球B到
圆轨道底端的距离足够长，经过一段时间小球滑上圆轨道，一切摩擦均可忽略，假设所有的碰撞均为弹性
碰撞，重力加速度取 。求：
（1）小球B能达到的最大高度；
（2）小球B返回圆轨道底端时对圆轨道的压力
（3）通过计算分析，小球B能否第二次进入圆轨道。【答案】（1） ；（2）63N；（3）不能
【详解】（1）设碰前小球A的速度为 ，从释放小球A到分离的过程，由能量守恒定律得
代入数据解得
A、B碰撞的过程，A、B组成的系统机械能守恒、动量守恒，设A、B碰撞后的速度分别为 、 ，则有
带入数据解得
，
小球与圆轨道在水平方向上共速时上升的高度最高，设共同的速度为 ，小球与圆轨道组成的系统在水平
方向上动量守恒，有
小球与圆轨道组成的系统能量守恒，有
代入数据解得
，
（2）设小球返回圆轨道底端时小球与圆轨道的速度分别 ，由动量守恒定律和能量能守恒定律可得联立带入数据解得
，
在圆轨道底端对小球由牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律
，方向竖直向下
（3）球A与球B第一次碰后以 的速度向左运动，再次压缩弹簧，根据能量守恒定律，球 A与弹
簧分离后的速度大小为 ，经过一段时间，球A与球B发生第二次碰撞，设碰后球A和球B的速度
分别为 、 ，根据动量守恒定律和能量能守恒定律得
联立带入数据解得
，
因为 ，所以小球B无法第二次进入圆轨道。
【巩固练习】 举 一反三 提高能力
多选1．如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量
为m的木块，现有质量为 的子弹以大小为 的水平速度射入木块并立刻留在木块中，重力加速度为g，
下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
B．子弹射入木块后的瞬间，它们的共同的速度为
C．子弹射入木块后，子弹和木块能上升的最大高度为
D．子弹射入木块后，子弹和木块能上升的最大高度为
【答案】BC
【详解】A．子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成的系统在竖直方向上存在加速度，即
合外力不为零，动量不守恒，故A错误；
B．子弹射入木块的过程，子弹与木块组成的系统动量守恒，设射入后的瞬间子弹木块的共同速度大小为
v1，根据动量守恒定律有
解得
故B正确；
CD．子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成的系统在水平方向上所受合外力为零，水平方
向动量守恒，当三者达到共同速度v时，子弹和木块上升的高度最大，设为h，根据动量守恒定律有从子弹射入木块后到子弹和木块上升到最大高度的过程中，根据机械能守恒定律有
联立解得
故C正确，D错误。
故选BC。
多选2．如图所示，在光滑足够长水平面上有半径R=0.8m的 光滑圆弧斜劈B，斜劈的质量是M=3kg，底
端与水平面相切，左边有质量是m=1kg的小球A以初速度v=4m/s从切点C（是圆弧的最低点）冲上斜
0
劈，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球A不能从斜劈顶端冲出
B．小球A能从斜劈顶端冲出后还会再落入斜劈
C．小球A冲上斜劈过程中经过最低点C时对斜劈的压力大小是30N
D．小球A从斜劈上返回最低点C时速度大小为2m/s，方向向左
【答案】ACD
【详解】C．小球A向右运动到斜劈最低点C时，设此时斜劈对小球的支持力为
代入数据得
N
小球A对斜劈的压力也是30N，选项C正确；
AB．假设小球能运动到斜劈顶端，此时小球和斜劈水平速度相等为 ，小球竖直速度为 ，水平方向动量守恒
小球和斜劈系统机械能守恒
联立得
小球A不能从斜劈顶端冲出，选项A正确，B错误；
D．当小球A在斜劈上返回最低点C时，设小球A和斜劈的速度分别为 、
联立得
小球A从斜劈上返回最低点C时速度大小为2m/s，方向向左，选项D正确。
故选ACD。
多选3．如图，水平平面内固定有两根足够长的平行导槽，质量为2m的U型管恰好能在两导槽之间自由滑
动，其弯曲部分是半圆形，B点为圆弧部分中点，轻弹簧右端固定于U型管C点处，图为该装置的俯视
图。开始U型管静止，一半径略小于管半径、质量为m的小球以初速度 从U型管A点向左射入，最终又
从A点离开U型管，不计一切摩擦。下列说法正确的是（ ）A．小球运动到B点时U型管的速度大小为 B．小球运动到B点时小球的速度大小为
C．U型管获得的最大速度为 D．弹簧获得的最大弹性势能为
【答案】ABD
【详解】AB．小球运动到B点时，小球与U型管在平行导槽方向具有的共同速度 ，小球与U型管在平行
导槽方向满足动量守恒，则有
解得
设球运动到B点时小球的速度大小为 ，根据机械能守恒可得
解得
故AB正确；
C．当小球从A点离开U型管，U型管的速度最大，设此时小球的速度为 ，U型管的速度为 ，则有
解得
，
可知U型管获得的最大速度为 ，故C错误；
D．当小球与U型管具有共同速度 时，弹簧获得的最大弹性势能 ，根据动量守恒可得解得
根据能量守恒可得
解得
选项D正确；
故选ABD。
4．如图所示，质量为M的小车静置于光滑的水平面上，车的上表面粗糙，有一质量为m的木块以初速度
v 水平地滑至车的上表面，若车足够长，则木块的最终速度大小和系统因摩擦产生的热量分别为（ ）
0
A． 、 B． 、
C． 、 D． 、
【答案】A
【详解】小物块滑上小车后，与小车组成的系统动量守恒、能量守恒，设二者的共同速度为 ，滑动过程
中产生的热量为 ，则由动量守恒定律和能量守恒有
联立以上两式可得
，
故选A。
5．如图所示，在光滑的水平面上静止一质量 的小车B，小车左端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由
端C到小车右端的距离 ，这段车厢板与木块A（可视为质点）之间的动摩擦因数 ，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的车厢板上表面光滑。木块A以速度 由小车B右端开始沿车厢板
表面向左运动。已知木块A的质量 ，重力加速度 取 。则木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大
弹性势能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，小车和木块系统动量守恒，有
由能量守恒，得
联立解得
故选B。
6．如图所示，一轻质弹簧两端分别连着木块A和B，均静止于光滑的水平面上。木块A被水平飞行的初速
度为 的子弹射中并镶嵌在其中，已知子弹的质量为 ，木块A的质量为 ，木块B的质量为 ，下
列说法正确的是（ ）
A．子弹击中木块A后，与A的共同速度大小为
B．子弹击中木块的过程中产生的热量为
C．弹簧压缩到最短时木块A的速度大小为
D．木块B在运动过程中的最大动能为
【答案】D【详解】AB．子弹击中木块A过程，由动量守恒定律可得
解得子弹击中木块A后，与A的共同速度大小为
子弹击中木块的过程中产生的热量为
故AB错误；
C．弹簧压缩到最短时，由系统动量守恒可得
解得弹簧压缩到最短时木块A的速度大小为
故C错误；
D．弹簧恢复原长时，木块B的速度最大，即木块B的动能最大；由动量守恒和能量守恒可得
联立解得
则木块B的最大动能为
故D正确。
故选D。
7．如图所示，一个质量M=2.0kg的长木板AB静止在水平面上，木板的左侧固定一个半径R=0.60m的四分
之一圆弧形轨道，轨道末端的切线水平，轨道与木板靠在一起，且末端高度与木板高度相同。现在将质量
m=1.0kg的小铁块（可视为质点）从弧形轨道顶端由静止释放，小铁块到达轨道底端时的速度 =3m/s，最终小铁块和长木板达到共同速度。铁块与长木板间的动摩擦因数 ，忽略长木板与地面间的摩擦。取
重力加速度g=10m/s2。求：
（1）小铁块在弧形轨道末端时所受支持力的大小F；
（2）小铁块在弧形轨道上下滑过程中克服摩擦力所做的功W；
f
（3）小铁块和长木板达到的共同速度v以及相对于长木板滑动的距离x。
【答案】（1） ；（2） （3） ，
【详解】（1）小铁块在弧形轨道末端时，根据牛顿第二定律可得
解得
（2）小铁块在弧形轨道上下滑过程中,根据动能定理可得
解得
（3）小铁块在木板上滑动过程中，系统的动量守恒，则有
解得
小铁块在木板上滑动过程中，小铁块、长木板的加速度大小为
运动时间为小铁块、长木板的运动位移为
小铁块和长木板达到的共同速度相对于长木板滑动的距离
解得
8．如图所示，轻弹簧连接着两个质量均为 的小球2、3，静止于光滑水平桌面上。另一个质量为
的小球1以速度 撞向小球2， 的方向沿着两小球2和3连线方向，已知小球之间的碰
撞为弹性碰撞且球1与球2之间不会发生二次碰撞，求：
（1）第一次碰撞刚结束时三个小球的速度分别是多少？
（2）经计算可知，在小球1和2发生第一次碰撞后的1.57s，弹簧第一次压缩到最短，求此时弹簧的弹性
势能。
（3）在小球1和2发生第一次碰撞后的1.57s内，小球3的位移为5.7m。求此时小球1和小球2之间的距
离。
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3）
【详解】（1）对小球1和小球2组成的系统，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
，
解得
，
此时小球3还没有反应过来，其速度为0。
（2）碰撞后，小球2和小球3组成的系统动量守恒，则有解得
小球2和小球3及弹簧组成的系统机械能守恒，则有
解得
（3）根据题意可知，发生第一次碰撞后的 ，小球2和小球3达到共速，根据小球的运动情况画出两
小球的 图像，如图所示
在运动过程中两小球的加速度大小始终相等，可知两条图线上下对称，根据 图像的面积代表物体的位
移可以得出小球2的位移为
而在此段时间内小球1一直保持匀速直线运动，故小球1的位移为
故 时小球1、2之间的距离为
9．如图所示，光滑水平面与光滑曲面平滑连接，有两个半径相同的小球A、B，质量分别为m、3m。现让
A球以速度 向右运动与B球发生正碰，碰后小球A静止，小球B沿曲面上升的最大高度为 （未知）；
如果仅仅交换小球A、B位置，让B球以速度 向右运动与A球发生正碰，碰后小球A沿曲面上升的最大高度为 （未知）（设两次碰撞产生的热量相同）求：
（1）小球A、B碰撞过程损失的机械能；
（2）上述过程中，小球A、B上升最大高度的比值 。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）A球以速度 碰撞B球，由动量守恒定理得
解得
此过程，由能量守恒定律得
解得
（2）A球碰撞B球后，对B球，根据能量守恒定律
解得
B球以速度 碰撞A球，由动量守恒定理得由能量守恒定理得
联立解得
，
或者
， （舍去）
B球碰撞A球后，对A球，据能量守恒定律
解得
所以
10．如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，
B、C的质量都为2m，三者都处于静止状态，现使B以某一速度 向右运动，B与A发生弹性碰撞，之后A
与C发生完全非弹性碰撞，求：
（1）物体A、B、C最终速度大小各是多少：
（2）整个碰撞过程损失的机械能。
【答案】（1） ，A、C速度相同为 v0；（2）
【详解】（1）B与A相碰，动量守恒定律弹性碰撞
解得
A与C相碰
解得
所以最终A、C速度相同为 v0
（2）整个碰撞过程损失的机械能
