文档内容
第 18 讲 生活中的圆周运动和竖直面内圆周运动
学习目标
明 确目标 确定方向
1生活中圆周运动分析
2竖直面内两种模型分析
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
一、火车转弯问题
1.火车在弯道上的运动特点：火车转弯时实际上做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需
要很大的向心力。
2.向心力的来源：
(1)若铁路弯道的内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样，铁轨和车轮极易受损。
(2)若内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由 重力 G 和 支持力 F 的合力提
N
供。
二、汽车过拱形桥
汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
受力分
析
向心力 F＝ m g － F＝m F＝F － m g ＝m
n N n N
对桥的
F′＝ m g － m F′＝ m g ＋ m
压力 N N
汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且 汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且
结论
汽车速度越大，对桥的压力越小 汽车速度越大，对桥的压力越大
(1)汽车以相同的速度通过凸形桥的最高点和凹形桥的最低点，则汽车对两桥的压力大小相等吗？
(2)当汽车的速度为多大时，汽车对凸形桥面的压力恰好为零？
提示 (1)在凸形桥最高点：mg－F＝m，
N1
即F＝mg－m。
N1
在凹形桥最低点：F－mg＝m
N2
即F＝mg＋m，所以F＜F
N2 N1 N2
由牛顿第三定律得汽车对两桥的压力F′＜F′。
N1 N2
(2)由mg－F＝m知，当F＝0时，解得v＝，即当v＝时汽车对桥面的压力恰好为零。
N N
三、铁路的弯道1.火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力。
2.转弯轨道受力与火车速度的关系
图4
(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图 4所示，有mgtan θ＝m，则v＝，其
0
中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈)，v为转弯处的规定速度。此时，内外轨道对
0
火车均无侧向挤压作用。
(2)若火车行驶速度v＞，外轨对轮缘有侧压力。
0
(3)若火车行驶速度v＜，内轨对轮缘有侧压力。
0
四．航天器中的失重现象
阅读教材第28页“航天器中的失重现象”部分，知道航天器的运动特点及失重的原因。
1.向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供向心力， m g － F＝m，所以F＝
N N
m ( g － 2 )，r为航天器的轨道半径。
2.失重状态：当v＝时，座舱对宇航员的支持力 F＝0，宇航员处于完全失重状态。
N
五、离心运动
1.定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动。
2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力。
3.应用：洗衣机的脱水筒，制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆等。
六竖直平面内的圆周运动
1．轻绳和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一是无支撑(如球与绳连
接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，
称为“轻杆模型”。
2．两类模型对比【解题策略】
(1)确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是
“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。
(2)确定临界点：v ＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是F 表现为支持
临 N
力还是拉力的临界点。
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F ＝F 。
合 向
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
【 典例分析 】 精 选例题 提高素养
【例1】多选．如图所示，为跑车尾翼功能示意图，当汽车高速行驶时，气流会对跑车形成一个向下的压
力，压力大小与车速的关系满足 。现某跑车在水平转弯中测试其尾翼功能。当测试
车速为 ，未安装尾翼时，其转弯时的最小半径为 ；当安装尾翼后，转弯时的最小半径可减为。若汽车受到的最大静摩擦力为其对地面压力的 倍，尾翼质量可以忽略。则下列选项中正确的是（
）
A．
B．以上数据无法计算汽车质量
C．未安装尾翼时，若提高汽车转弯速度，则其转弯时的最小半径需增大
D．安装与未安装尾翼相比，车均以相应最小半径转弯时其向心加速度大小相等
【例2】．如图甲，对花样跳水的最早描述出现在宋人孟元老《东京梦华录》中：“又有两画船，上立秋
千，……筋斗掷身入水，谓之水秋千。”某次“水秋千”表演过程如图乙，质量为m的表演者，以O点为
圆心荡到与竖直方向夹角 的B点时，松手沿切线方向飞出。若在空中经过最高点C时的速度为v，
水秋千绳长为l，A为最低点，表演者可视为质点，整个过程船体静止不动，不计空气阻力和绳的质量，重
力加速度为g。则（ ）
A．表演者在C处重力的瞬时功率为mgv
B．表演者从A运动到B的过程中，处于失重状态
C．表演者在A处受到秋千的作用力大小为
D．若B到水面的高度为CB间高度的3倍，则落水点到B点的水平距离为
【例3】．如图，高速公路上一辆速度为90km/h的汽车紧贴超车道的路基行驶。驾驶员在A点发现刹车失灵，短暂反应后，控制汽车通过图中两段弧长相等的圆弧从B点紧贴避险车道左侧驶入。已知汽车速率不
变，A、B两点沿道路方向距离为105m，超车道和行车道宽度均为3.75m，应急车道宽度为2.5m，路面提供
的最大静摩擦力是车重的0.5倍，汽车转弯时恰好不与路面发生相对滑动，重力加速度 ，估算
驾驶员反应时间为（ ）
A．1.6s B．1.4s C．1.2s D．1.0s
【例4】．如图甲所示，在问天实验舱中的变重力科学实验柜，可为科学实验提供零重力到两倍重力范围
的高精度模拟重力环境，用以研究不同重力环境下的科学现象。变重力科学实验柜的主要装置是如图乙所
示的两套离心机。离心机旋转过程中，由于惯性作用，实验载荷会有沿着旋转半径向外飞出的趋势，可以
等效为物体在圆周运动中受到一个与向心力等大反向的“离心力”，而这个“离心力”就可以用来模拟物
体受到的重力。某次实验中，需要给距离圆心 450mm的实验载荷模拟2g的重力环境（g取9.8m/s2），则
离心机的转速最接近以下哪个值（ ）
A．0.1r/sB．1r/s C．10r/s D．100r/s
【巩固练习】 举 一反三 提高能力多选1．关于下列各图，说法正确的是（ ）
A．图甲中，传动装置转动过程中a，b两点的线速度大小相等
B．图乙中，在固定光滑的圆锥筒内做匀速圆周运动的小球，受重力、弹力和向心力
C．图丙中，轻质细杆一端固定一小球在竖直面内做圆周运动，小球在最高点一定受支持力作用
D．图丁中，火车以大于规定速度经过外轨高于内轨的弯道，外轨对火车有侧压力
多选2．如图为2022年北京冬奥会的跳台滑雪场地“雪如意”，其主体建筑设计灵感来自于中国传统饰物
“如意”。其内的部分赛道可简化为半径为R圆弧助力滑道AB，倾角为θ、高为 h 的着陆区BC，缓冲区
CD三部分组成，个部分之间平滑连接。若质量为m的运动员从A点静止开始下滑，到达B点时水平飞出，
恰好在C点进入缓冲区，到D点刚好速度为0，重力加速度为g，不计空气阻力和AB段的摩擦，则
（ ）
A．运动员经过B点时对滑道的压力等于
B．AB的高度差为
C．BC段运动员动量变化量的大小为
D．CD段运动员克服摩擦力做的功等于mgh
多选3．在一个盛有清水的圆筒形容器（转鼓）中，倒入一组同样大小的钢球和木球，然后启动马达使其
绕轴高速旋转，在这个小小的离心筒里，出现了如图所示的有趣现象，下列说法正确的是（ ）A．图中A指的是木球，B指的是钢球
B．图中B指的是木球，A指的是钢球
C．图中A指的球不受向心力作用
D．图中B指的球做圆周运动的向心力是筒壁对球的弹力
4．如图所示，是为我国的福建号航母配置的歼—35战机，具有优异的战斗性能，其过载能力可以达到9。
过载是指作用在飞机上的气动力和发动机推力的合力与飞机重力之比。例如歼—35战机，以大小为2g的
加速度竖直向上加速运动时，其过载就是3。若歼—35战机在一次做俯冲转弯训练时，在最低点时速度大
小为200m/s，过载为5，重力加速度g＝10m/s2，将飞机的运动轨迹看成圆弧，则飞机的转弯半径约为（
）
A．800m B．1000m C．1200m D．1400m
5．某场地自行车比赛圆形轨道的路面与水平面间有一夹角，运动员骑自行车在同一赛道上分别以速率 、
做匀速圆周运动 ，已知速率为 时，自行车恰不受摩擦力，则速率为 时自行车所受摩擦力（
）
A．仍为零 B．沿路面指向内侧C．为滑动摩擦力 D．指向轨道的圆心
6．铁路弯道处，外轨比内轨高。当火车以规定速度 通过弯道时，所需的向心力完全由火车重力和轨道
支持力的合力提供。若列车通过弯道的速度大于 ，则下列关于轨道与轮缘间侧压力和轨道支持力的说法
正确的是（ ）
A．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力比速度为 时小
B．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力比速度为 时大
C．外轨与轮缘间产生侧压力，支持力与速度为 时相等
D．内轨与轮缘间产生侧压力，支持力与速度为 时相等
7．翻滚过山车是一种非常刺激而有趣的游乐项目。如图甲所示，小刚同学所坐的翻滚过山车正在下行
中，如图乙所示，他此时所做的运动及所受合力的可能方向分别是（ ）
A．匀速圆周运动、沿 方向 B．匀速圆周运动、沿 方向
C．加速圆周运动、沿 方向 D．减速圆周运动、沿 方向
8．如图所示为“铁笼飞车”的特技表演，其抽象出来的理想模型为如图所示的内壁光滑的圆球，其中a、
b、c分别表示做圆周运动时的不同轨道，a轨道与b轨道均水平，c轨道竖直，一个质点在球内绕其光滑
内壁做圆周运动时，下列有关说法正确的是（ ）A．沿a轨道可能做变速圆周运动
B．沿c轨道运动的最小速度为0
C．沿a轨道运动的速度比沿b轨运动的速度大
D．沿a轨道运动的周期比沿b轨运动的周期大
9．在牛奶脱脂时，离心分离术也大有用武之地。牛奶中的脱脂奶和奶油（脂肪球），前者密度大、后者
密度小。将牛奶从下方中央的进液口注入离心机，当离心机高速旋转时，脱脂奶和奶油就会被分离，其中
靠近中心转轴（转鼓轴）的液体从左侧出液口排出，而靠近转鼓壁的液体从右侧的出液口排出，如图所
示。下列判断正确的是（ ）
A．右侧的出液口排出的是奶油
B．左侧的出液口排出的是密度较小的液体
C．降低离心机的转速，牛奶容易脱脂
D．提高离心机的转速，牛奶不易脱脂
10．和火车转弯类似，在高速公路的转弯处，路面通常都是外高内低。在某路段一汽车向左转弯，公路的
竖直截面如图所示，图中h=0.5m，x=6m。汽车转弯时若以设计速度驶过弯道，车轮与路面之间的横向（即
垂直于前进方向）摩擦力等于零，已知转弯的设计速度为10m/s，取重力加速度大小g=10m/s2，则该路段
设计的汽车转弯的半径为（ ）A．120m B．10m C．12m D．6 m
11(多选)如图所示，质量为m的小球在竖直放置的半径为R的光滑圆形管道内做圆周运动(小球半径不计)，
下列说法正确的是
A．小球通过最高点时的最小速度是
B．小球通过最高点时的最小速度为零
C．小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
12．根据如下四图所示，说法正确的是（ ）
A．图甲所示，位于拱桥顶部的小车或位于圆轨道顶端小球，当它们的速度 时，（ 为圆轨道的半
径）小车对桥面的压力或小球对轨道的压力均等于零
B．图乙所示，不论 是细线还是轻杆，小球若能通过竖直圆轨道的最高点，其速度均须不小于 （
为 间的距离）
C．图丙所示，路面外高内低，与水平面所成角度为 （较小）｡高速汽车或高速列车转弯时，当其速度
时，（ 为弯道的半径）则汽车车轮与地面或列车车轮与轨道均不产生平行与地面的侧向作用力
D．图丁所示，小球在竖直粗糙的圆轨道内做圆周运动时，在一周的路径内，小球从 到 和从 到 克服摩擦力所做的功相等
13．气嘴灯安装在自行车的气嘴上，骑行时会发光，一种气嘴灯的感应装置结构如图所示，一重物套在光
滑杆上，重物上的触点M与固定在B端的触点N接触后，LED灯就会发光。下列说法正确的是（ ）
A．感应装置的原理是利用离心现象
B．安装气嘴灯时，应使感应装置A端比B端更靠近气嘴
C．要在较低的转速时发光，可以减小重物质量
D．车速从零缓慢增加，气嘴灯转至最高点时先亮
14．某品牌手机配置有速度传感器，利用速度传感器可以测定手摆动的速度。某同学手握手机，手臂伸
直，以肩为轴自然下摆，手机显示，手臂先后两次摆到竖直方向时的速度大小之比为k（ ）。若手机
的质量不可忽略，不计空气阻力，则手臂这两次摆到竖直位置时，手机受到手竖直方向的作用力大小之比
（ ）
A．为k B．为k2 C．大于k2 D．小于k2
多选15．如图所示，质量m=20g的小球从斜坡上一定高度处滚下，顺利通过A、B后进入右侧一曲率半径
为R=0.1m的光滑管道，到达与该段管道圆心等高的C处时速度大小为 ，最终小球恰好到达D处，
已知A、B两点的曲率半径分别为0.5m、0.4m，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球在A点时处于失重状态
B．小球想要顺利通过B点，速度必须大于2m/s
C．小球在右侧光滑管道运动时，内侧管壁对小球无作用力
D．小球在C处的加速度为多选16．如图，半径为R的金属圆环上焊接有一个立方体小盒，MN是与竖直直径重合的直线，与环交于
M、N点，PQ是与水平直径重合的直线，与环交于P、Q点，盒内装有一个质量为m、直径略小于小盒边
长的小球。第一次让圆环绕过圆心O、垂直纸面的轴做匀速圆周运动，盒子运动到最高点M时小球与盒子
间的作用力刚好为零；第二次，盒子在与圆心O等高的位置Q处，让圆环绕MN匀速转动。两次转动的角
速度大小相等，不计盒子和小球的大小，小球相对盒子始终静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（
）
A．圆环两次转动的角速度大小均为
B．第一次，盒子运动到N点时，盒子对小球的作用力大小为mg
C．第二次，盒子对小球的作用力始终指向圆心O
D．两次盒子都运动到Q位置时盒子对小球的作用力大小相等
多选17．图甲是在笼中表演的摩托飞车，其某次在竖直平面内的表演可简化为图乙所示，将竖直平面看做
半径为r的圆。已知摩托车和驾驶员（可简化为质点）的总质量为M，关于在竖直平面内表演的摩托车，
下列说法正确的是（ ）
A．在最高点受到的最小弹力为Mg B．在最高点的最小速度为
C．在最低点超重，在最高点失重 D．在最低点失重，在最高点超重
