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8.6 周期性与对称性（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 对称性
【例1-1】（2022·浙江 已知函数 的图像关于点 对称，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【解析】 图象关于点 对称， ，
又 ，
，
，解得： ， .故选：C.
【例1-2】（2022·湖北）设函数 ，则满足 的 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】假设 ，
所以 ，所以 ，
所以 为奇函数，
而 是 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以
的对称中心为 ，所以 ，
由 求导得因为 ，当且仅当 即 ，取等号，
所以 所以 在R上单调递增，
因为 得
所以 ，解得 ，故选：B
【一隅三反】
1．（2022·河南安阳）设函数 ，若函数 的图象关于点 对称，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为函数 的图象关于点 对称，故函数 的图象关于点 对称，
即 为奇函数，故 ，
所以 .故选：B.
2．（2022·全国·单元测试）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 在 单调递增
B． 在 单调递增，在 单调递减
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象关于点 对称
【答案】BC
【解析】函数的定义域满足 ，即 ，
即函数的定义域是 ，
∵ ，设 ，则函数在 单调递增，在 单调递减，
又函数 单调递增，
由复合函数单调性可知函数 在 单调递增，在 单调递减，故A错误，B正确；
因为 , ,
所以 ，即函数 图象关于直线 对称，故C正确；
又 ， ，
所以 ，所以D错误．故选：BC．
3．（2022·浙江宁波 ）已知函数 ，使不等式 成立的一个必要不充分条件是
（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】因为函数 ，
所以函数 的图象关于 对称，当 时， 单调递增，
根据对称性可知，当 时， 单调递减，
若不等式 成立，则 ，
即 ，可得 ，解得 或 ，
结合选项可知使不等式 成立的一个必要不充分条件是 或 ，
故选：D
4．（2022·全国·高一课时练习）已知图象开口向上的二次函数 ，对任意 ，都满足，若 在区间 上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得函数 图象的对称轴是直线 ，
又二次函数 图象开口向上，若 在区间 上单调递减，
则 ，解得 ．
故选：B.
考点二 周期性
【例2-1】（2022·陕西 ）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，
则 （ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 的周期为4，
所以 ，
又 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以 ，
又因为在 中，令 ，得 ，所以 ，又当 时， ，所以令 ， ，
所以 .故A，B，C错误.
故选：D.
【例2-2】（2022·安徽蚌埠·一模）已知定义在 上的偶函数 满足 ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意, 函数 满足 , 则 ,
又由 为偶函数，则有 ,
则有 ,
即函数 是周期为4的周期函数,
，令 可得 .
， ，
所以
故选：B
【一隅三反】
1．（2022·新疆 ）已知 是定义域为R的奇函数，满足 ，若 ，则
（ ）
A．2 B． C．0 D．2022
【答案】A
【解析】 ,又 ，， 函数的周期 .
又函数 是定义域为R的奇函数， ，
， ，
，又
.
故选：A.
2．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知 是 上的奇函数，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数 为 上的奇函数，可得 ，
所以 ，所以 是周期为4的周期函数，
所以 ，
因为 ，令 ，得 ，
因为 为 上的奇函数，所以 ，
所以 .
故选：A.
3．（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】 ，
因为 ，
所以 的最小正周期为 .
故选：D.
4．（2022·云南红河 ）已知 是定义在R上的奇函数， ，都有 ，若当 时，
，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】 是定义在R上的奇函数， ，得 ， 当 时， ， ，
都有 ， 是周期为4的周期函数，
.故选：C.
考点三 函数性质的综合运用
【例3-1】（2022·广东）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知 ，故函数 是周期函数，且周期为 ，
则 ， ， ，因为奇函数 在区间 上是增函数，则该函数在区间 上也为增函数，
故函数 在区间 上为增函数，所以 ，即 .
故选：D.
【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 是奇函数且满足 ，
，数列 是等差数列，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为函数 是奇函数且满足 ，可得 ，
则 ，即 ，所以 为周期为3的函数，
又因为数列 是等差数列，且 ， ，
可得 ，解得 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
【例3-3】（2022·山西运城）（多选）已知函数 ，都有 成立，且任取
， ， ，以下结论中正确的是（ ）
A． B．C． D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】由函数 满足 ，则函数 的图像关于直线 对称，
又 ， ，则函数 在 为增函数，
对于选项A，因为 ，所以 ，即A错误；
对于选项B，由已知有 在 为减函数，在 为增函数，即 ，即B正确；
对于选项C， ，又 在 为增函数，所以 ，即C正
确；
对于选项D，当 ，则 ，则 ，即D正确，故选：BCD．
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）（多选）已知偶函数 满足 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．函数 是以2为周期的周期函数 B．函数 是以4为周期的周期函数
C．函数 为偶函数 D．函数 为奇函数
【答案】BD
【解析】由题意知偶函数 满足 ，则 ，
即 ，故 ，
故函数 是以4为周期的周期函数，故A错误，B正确；
令 ，则
，
故函数 是奇函数，
由于此函数的函数值不一定恒为零，故一般情况下不是偶函数，C错误；
令 ，则 ，
由于 ，故 ，
即 ，
所以 ，即函数 为奇函数，D正确，
故选：BD
2．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数 ， 的定义域均为R，且
， ，若 的图象关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 的图象关于直线 对称，故 ，
因为 ，故 ，
因为 ，故 ，
所以 ，故 ，
所以 ，故 ，
所以 为周期函数且周期为 .
因为 且 ，故 ，
又 ，故 即 ，
而 即 ，故 ，
而 且 ，故 ，
故 .
故 ，
故选：A.
3．（2022·山东·临沂二十四中 ）（多选）已知 为偶函数，且 为奇函数，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】A选项，因为 为偶函数，所以 ，
因为 为奇函数，所以 ，
令 得： ，解得： ，所以
令 得： ，即 ，所以 ，故A正确；
B选项，令 得： ，即 ，
因为 ，则 ，所以 ，所以 ，故B正确；
C选项，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
，所以 ，即 ，所以 ，
所以 的周期为4， ，故C正确；
D选项，因为 ，
所以令 得： ，解得： ，
令 中 得： ，故D错误.
故选：ABC
