文档内容
专题12.2 带电粒子在磁场中的运动【讲】
目录
一 讲核心素养............................................................................................................................................................1
二 讲必备知识............................................................................................................................................................1
【知识点一】对洛伦兹力的理解和应用..........................................................................................................1
【知识点二】有约束情况下带电体的运动......................................................................................................3
【知识点三】带电粒子在匀强磁场中的运动..................................................................................................4
三．讲关键能力..........................................................................................................................................................6
【能力点一】带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动..................................................................................6
类型1 直线边界磁场...............................................................................................................................7
类型2 平行边界磁场...............................................................................................................................8
类型3 圆形边界磁场...............................................................................................................................9
类型4 三角形或四边形边界磁场.........................................................................................................10
【能力点二】带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题............................................................................11
四．讲模型思想----动态圆问题...............................................................................................................................14
模型一 “平移圆”模型................................................................................................................................14
模型二 “旋转圆”模型................................................................................................................................16
模型三 “放缩圆”模型................................................................................................................................17
模型四 “磁聚焦”模型................................................................................................................................18
一 讲核心素养
1.物理观念：洛伦兹力。
(1).通过实验，认识洛伦兹力。能判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。(2).能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。
2.科学思维：带电粒子在有界匀强磁场中的运动。
(1)会分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。
(2)能够分析带电体在匀强磁场中的运动。
二 讲必备知识
【知识点一】对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力的定义
磁场对运动电荷的作用力．
2．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，F＝0；
(2)v⊥B时，F＝qvB；
(3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ.
3．洛伦兹力的方向
(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B、v决定的平面．(注意B和v可以有任意夹角)
【例1】 (2021山东临沂市下学期一模)(多选)如图甲所示，带电小球以一定的初速度v 竖直向上抛出，能
0
够达到的最大高度为h ；若加上水平向里的匀强磁场(如图乙)，且保持初速度仍为v ，小球上升的最大高
1 0
度为h ，若加上水平向右的匀强电场(如图丙)，且保持初速度仍为v ，小球上升的最大高度为h ；若加上
2 0 3
竖直向上的匀强电场(如图丁)，且保持初速度仍为v，小球上升的最大高度为h.不计空气阻力，则( )
0 4
A．一定有h＝h B．一定有h＜h
1 3 1 4
C．h 与h 无法比较 D．h 与h 无法比较
2 4 1 2
【答案】 AC【解析】 题图甲中，由竖直上抛运动的最大高度公式得h ＝，题图丙中，当加上电场时，由运动的分解
1
可知，在竖直方向上，有v2＝2gh ，得h ＝，所以h ＝h ，故A正确；题图乙中，洛伦兹力改变速度的方
0 3 3 1 3
向，当小球在磁场中运动到最高点时，小球应有水平速度，设此时小球的动能为 E ，则由能量守恒定律得
k
mgh ＋E＝mv2，又由于mv2＝mgh ，所以h＞h，D错误；题图丁中，因小球电性未知，则电场力方向不
2 k 0 0 1 1 2
确定，则h 可能大于h，也可能小于h，因为h>h，所以h 与h 也无法比较，故C正确，B错误．
4 1 1 1 2 2 4
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【归纳总结】洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力 电场力
v≠0且v不与B平行
产生条件 电荷处在电场中
(说明：运动电荷在磁场中不一
定受洛伦兹力作用)
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
力方向与场
F⊥B，F⊥v F∥E
方向的关系
做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功
【变式训练】(多选)如图所示，ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中 AB为倾斜直轨道，BC为与AB
相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向里．质量相同的甲、乙、丙三个
小球(均可视为质点)中，甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电．现将三个小球在轨道 AB上分别从不同高
度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则( )
A．经过最高点时，三个小球的速度相等
B．经过最高点时，甲球的速度最小
C．甲球的释放位置比乙球的位置高
D．运动过程中三个小球的机械能均保持不变
【答案】 CD【解析】 设磁场的磁感应强度大小为B，圆形轨道半径为r，三个小球质量均为m，它们恰好通过最高点
时的速度分别为v 、v 和v ，则mg＋q v B＝，mg－q v B＝，mg＝，显然，v >v >v ，选项A、
甲 乙 丙 甲 甲 乙 乙 甲 丙 乙
B错误；三个小球在运动过程中，只有重力做功，即它们的机械能守恒，选项D正确；甲球在圆形轨道最
高点处的动能最大，因为势能相等，所以甲球的机械能最大，甲球的释放位置最高，选项C正确．
【知识点二】有约束情况下带电体的运动
【例2】(多选)(2021·福建泉州市期末质量检查)如图所示，粗糙木板MN竖直固定在方向垂直纸面向里的匀
强磁场中。t＝0时，一个质量为m、电荷量为q的带正电物块沿MN以某一初速度竖直向下滑动，则物块
运动的v－t图像可能是( )
【答案】 ACD
【解析】正确；若mg＞μqvB，则物块开始有向下的加速度，由a＝可知，随速度增加，加速度减小，即
0
物块先做加速度减小的加速运动，最后达到匀速状态，选项D正确；若mg＜μqvB，则物块开始有向上的
0
加速度，做减速运动，由a＝可知，随速度减小，加速度减小，即物块先做加速度减小的减速运动，最后
达到匀速状态，则选项C正确。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【技巧总结】带电体在有约束条件下做变速直线运动，随着速度的变化，洛伦兹力发生变化，加速度发生
变化，最后趋于稳定状态，a＝0，做匀速直线运动；当F ＝0时离开接触面．
N
【变式训练】(2021·安徽蚌埠市第三次质量检测)(多选)电荷量为＋q、质量为m的滑块和电荷量为－q、质
量为m的滑块同时从完全相同的光滑斜面上由静止开始下滑，设斜面足够长，斜面倾角为 θ，在斜面上加
如图6所示的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，关于滑块下滑过程中的运动和受力情
况，下列说法中正确的是(不计两滑块间的相互作用，重力加速度为g)( )A．两个滑块先都做匀加速直线运动，经过一段时间，＋q会离开斜面
B．两个滑块先都做匀加速直线运动，经过一段时间，－q会离开斜面
C．当其中一个滑块刚好离开斜面时，另一滑块对斜面的压力为2mgcos θ
D．两滑块运动过程中，机械能均守恒
【答案】 ACD
【解析】 当滑块开始沿斜面向下运动时，带正电的滑块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向上，带负电的滑
块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向下，开始时两滑块沿斜面方向所受的力均为mgsin θ，均做匀加速直线
运动，随着速度的增大，带正电的滑块受到的洛伦兹力逐渐变大，当 qvB＝mgcos θ时，带正电的滑块恰
能离开斜面，而带负电的滑块将一直沿斜面运动，不会离开斜面，A正确，B错误；由于两滑块加速度相
同，所以在带正电的滑块离开斜面前两者在斜面上运动的速度总相同，当带正电的滑块刚好离开斜面时，
带负电的滑块受的洛伦兹力也满足qvB＝mgcos θ，方向垂直斜面向下，斜面对滑块的支持力大小为qvB＋
mgcos θ＝2mgcos θ，故滑块对斜面的压力为2mgcos θ，C正确；由于洛伦兹力不做功，故D正确．
【知识点三】带电粒子在匀强磁场中的运动
1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动．
2．带电粒子以速度v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直
的平面内做匀速圆周运动．
(1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝.
(2)轨迹半径：r＝.
(3)周期：T＝、T＝，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关．
(4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝T.
(5)动能：E＝mv2＝＝.
k
【例3】在探究射线性质的过程中，让质量为m 、带电荷量为2e的α粒子和质量为m 、带电荷量为e的β
1 2
粒子，分别垂直于磁场方向射入同一匀强磁场中，发现两种粒子沿半径相同的圆轨道运动．则 α粒子与β
粒子的动能之比是( )
A. B.C. D.
【答案】 D
【解析】 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：qvB＝m，动能
为：E＝mv2，联立可得：E＝，由题意知α粒子和β粒子所带电荷量之比为2∶1，故α粒子和β粒子的动能
k k
之比为：＝＝，故D正确．
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
1.(多选)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的 k倍，两个速率相同的电子分别在两磁场
区域做匀速圆周运动，与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子( )
A．运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍
B．加速度的大小是Ⅰ中的k倍
C．做匀速圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍
D．做匀速圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等
【答案】 AC
【解析】 设电子的质量为m，速率为v，电荷量为e，
则由牛顿第二定律得：evB＝①
T＝②
由①②得：R＝，T＝
所以＝k，＝k
根据a＝，ω＝
可知＝，＝
所以选项A、C正确，选项B、D错误．
2.如图，MN为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直平面的匀强磁场(未画出)．一带电粒子从紧贴铝板
上表面的P点垂直于铝板向上射出，从Q点穿越铝板后到达PQ的中点O.已知粒子穿越铝板时，其动能损
失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力．铝板上方和下方的磁感应强度大小之比为( )A．2 B. C．1 D.
【答案】 D
【解析】 根据题图中的几何关系及带电粒子在匀强磁场中的运动性质可知：带电粒子在铝板上方做匀速
圆周运动的轨道半径r 是其在铝板下方做匀速圆周运动的轨道半径 r 的2倍．设粒子在P点的速度为v ，
1 2 1
根据牛顿第二定律可得qvB＝，则B＝＝；同理，B＝＝，则＝，D正确，A、B、C错误．
1 1 1 2
三．讲关键能力
【能力点一】带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
基本思路 图例 说明
P、M点速度垂线交点
①与速度方向垂直
的直线过圆心
P点速度垂线与弦的垂直平分线交
圆心的 ②弦的垂直平分线
点
确定 过圆心
③轨迹圆弧与边界
切点的法线过圆心
某点的速度垂线与切点法线的交点
常用解三角形法：例：(左图)
半径的 利用平面几何知识
确定 求半径
R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝
利用轨迹对应圆心 (1) 速度的偏转角φ等于AB所对的
角θ或轨迹长度L 圆心角θ
求时间
运动时
间的确 (2)偏转角φ与弦切角α的关系：
定 ①t＝T
(2) φ＜180°时，φ＝2α；φ＞180°
②t＝ 时，φ＝360°－2α类型1 直线边界磁场
【例1】(多选)(2020·天津卷，7)如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度
大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角θ＝45°。粒子
经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM＝a，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。
则( )
A.粒子带负电荷
B.粒子速度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D.N与O点相距(＋1)a
【答案】 AD
【解析】 由左手定则可知，带电粒子带负电荷，A正确；做出粒子的轨迹示意图如图所示，假设轨迹的
圆心为O′，则由几何关系得粒子的轨道半径为R＝a，则由qvB＝m得v＝＝，B、C错误；由以上分析可知，
ON＝R＋a＝(＋1)a，D正确。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【模型提炼】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝
图b中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－)T＝(1－)＝
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
类型2 平行边界磁场
【例2】 (2020·全国卷Ⅱ，17)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情
的探测。图5(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、
N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所
示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则(
)
A.M处的电势高于N处的电势
B.增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C.偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D.增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移【答案】 D
【解析】可判定磁感应强度的方向垂直纸面向里，故选项C错误；对加速过程应用动能定理有eU＝mv2，
设电子在磁场中运动半径为r，由洛伦兹力提供向心力有evB＝m，则r＝，电子运动轨迹如图所示，由几
何关系可知，电子从磁场射出的速度方向与水平方向的夹角θ满足sin θ＝(其中d为磁场宽度)，联立可得
sin θ＝dB，可见增大U会使θ减小，电子在靶上的落点P右移，增大B可使θ增大，电子在靶上的落点P
左移，故选项B错误，D正确。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【模型提炼】带电粒子在平行边界磁场中运动时的半径R与平行边界距离d之间的关系如图所示。
类型3 圆形边界磁场
【例3】 (2020·全国卷Ⅲ，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，
磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为 v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电
子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感
应强度最小为( )A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径
最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系有＋r＝
3a，解得r＝a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB＝m，解得B＝，选项C正确。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【模型提炼】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
粒子做圆周运动的半径r＝
粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，θ＋α＝90°
类型4 三角形或四边形边界磁场
【例4】 (2019·全国卷Ⅱ，17)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向
垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。
已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )A.kBl，kBl B.kBl，kBl
C.kBl，kBl D.kBl，kBl
【答案】B
【解析】若电子从a点射出，运动轨迹如图线①，
r＝
a
由qvB＝m得v＝＝＝
a a
若电子从d点射出，运动轨迹如图线②，
由几何关系得r＝＋l2，
整理得r＝l
d
由qvB＝m得v＝＝＝，选项B正确。
d d
【能力点二】带电粒子在磁场中运动的临界和多解问题
类型 分析 图例
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能
带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中
带电粒子电性 运动轨迹不同，形成多解
不确定
如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正
电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方
向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多
解
磁场方向不确
定
如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B
垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其
轨迹为b
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒
临界状态不唯 子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，
一 也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成
多解
运动具有周期 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运
性 动往往具有周期性，因而形成多解
【例5】(2020·全国卷Ⅱ·24)如图，在0≤x≤h，－∞0)的粒子以速度v 从磁场区域左侧沿x轴进入
0
磁场，不计重力．
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的
最小值B ；
m
(2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与x轴
正方向的夹角及该点到x轴的距离．
【答案】 见解析
【解析】(1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里．设粒
子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
qvB＝m①
0
由此可得R＝②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足R≤h③
由题意，当磁感应强度大小为B 时，粒子穿过y轴正半轴离开磁场时的运动半径最大，由此得
mB ＝④
m
(2)若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为 R′＝
2h⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示．设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，
由几何关系sin α＝＝⑥
即α＝⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离为
y＝2h(1－cos α)⑧
联立⑦⑧式得y＝(2－)h.
【变式训练】．如图，在空间中有一坐标系xOy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直
线OP是它们的边界，区域Ⅰ中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为 2B，方
向垂直纸面向里，边界上的P点坐标为(4L,3L)．一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴
负方向射入区域Ⅰ，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O，忽略粒子重力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8.求：
(1)粒子从P点运动到O点的时间至少为多少；
(2)粒子的速度大小可能是多少．
【答案】 (1) (2)(n＝1,2,3…)
【解析】周期，则有qvB＝m，qv·2B＝m
T＝＝，T＝＝
1 2粒子先在磁场Ⅰ区中做顺时针的圆周运动，后在磁场Ⅱ区中做逆时针的圆周运动，然后从 O点射出，这样
粒子从P点运动到O点所用的时间最短．粒子运动轨迹如图所示，
tan α＝＝0.75，
得α＝37°，α＋β＝90°.
粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的运动时间分别为t＝T，t＝T
1 1 2 2
粒子从P点运动到O点的时间至少为t＝t＋t
1 2
由以上各式解得：t＝
(2)当粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场Ⅰ区中运动，后在磁场Ⅱ区中运动，然后又重复前面
的运动，直到经过原点O.这样粒子经过n个周期性的运动到达O点，每个周期的运动情况相同，粒子在一
个周期内的位移为：
x＝＝＝(n＝1,2,3，…)
粒子每次在磁场Ⅰ区中运动的位移为x＝x＝x
1
由图中的几何关系可知＝cos α，
由以上各式解得粒子的速度大小为：v＝(n＝1,2,3，…)
四．讲模型思想----动态圆问题
1．临界条件
带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切
线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直．
2．解题步骤
分析情景→作基础图→作动态图→确定临界轨迹→分析临界状态→构建三角形→解三角形
3．常见的几种临界情况(1)直线边界
最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图1，P为入射点，M为出射点．
(2)圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大．
当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆
心角最大．
模型一 “平移圆”模型
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不
同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场
速度大小一
时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入
适 定，方向一
射速度大小为v，则半径R＝，如图所示
定，但入射 0
用
点在同一直
条 线上
件
轨迹圆圆心 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在
共线 同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这
种方法叫“平移圆”法
方法
【例1】(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直
于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，
不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中的运动半径为
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
【答案】 CD
【解析】 带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好
与AC相切(如图所示)，则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选
项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为 t＝
＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的运动时间最短，且最短弦长为d，对应圆心角为60°，最
短时间为t ＝＝，选项D正确．
min
模型二 “旋转圆”模型
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀
强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，
适
若入射初速度大小为v，则圆周运动轨迹半径为R＝，
0
速度大小
用 如图所示
一定，方
条 向不同
件
轨迹圆圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
心共圆
界定
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条
件，这种方法称为“旋转圆”法
方法
【例2】如图所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边
界的间距为d，MN上有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为 m、电荷量均为＋q的
粒子，粒子射入磁场的速度大小v＝，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子能从PQ边界射出的区
域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为( )
A．1∶1 B．2∶3 C.∶2 D.∶3
【答案】C
【解析】粒子在磁场中运动时，Bqv＝，粒子运动轨迹半径R＝＝d；由左手定则可得，粒子沿逆时针方向
偏转，做匀速圆周运动；粒子沿AN方向进入磁场时，到达PQ边界的最下端，距A点的竖直距离L ＝＝
1
d；运动轨迹与PQ相切时，切点为到达PQ边界的最上端，距A点的竖直距离L ＝＝d，所以粒子在PQ边
2
界射出的区域长度为L＝L＋L＝d，因为R0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．
在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定．设轨迹
交半圆 于e点，ce中垂线交bc于O点，则O点为轨迹圆心，如图所示．圆心角θ＝π＋2β，当β最大时，
θ有最大值，由几何知识分析可知，当ce与 相切时，β最大，此时β＝30°，可得θ＝π，则t＝T＝，故
选C.模型四 “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场
圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发
出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，
以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场
半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心 O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，
OA(OB、OC)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
1 2 3
【例4】(多选)(2021·山东泰安市一模)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖
直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点 P以速率v沿不同方向垂直磁场方向
射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质量为 m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作
用力和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于
【答案】 ACD
【解析】 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的
圆心角越小，由t＝T＝可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误．粒子速度大小均为v＝时，根据洛
伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为：r＝＝R，根据几何关系可知，入射点P、O、出射点与轨迹的
圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与 PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与 MN垂直，出
射后均可垂直打在MN上；根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间：
t
