文档内容
第 2 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆
否命题是( )
A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”
的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.
答案 D
2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为 x＝1，所以“x＝1”是“x2
－2x＋1＝0”的充要条件.
答案 A
3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，则“m∥β”是“α∥β”的(
)
⊂
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 m α，m∥β α∥β，但m α，α∥β m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必
要不充分⊂条件.
⊂ ⇒
答案 B
4.(2017·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的(
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 显然a＝0时，f(x)＝sin x－为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)
＝0.又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝0.
因此2a＝0，故a＝0.所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.
答案 C
5.下列结论错误的是( )
A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－
4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若 m2＋n2＝0，则 m＝0 且 n＝0”的否命题是“若 m2＋n2≠0，则
m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程
有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题.
答案 C
6.设x∈R，则“1”是“ln a>ln b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由ln a>ln b a>b>0 >，故必要性成立.
当a＝1，b＝0时，⇒满足>，⇒但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立.
答案 B
二、填空题
9.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中
真命题的个数是________.
解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.
答案 2
10.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件.
解析 cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，
即cos α＝±sin α.
由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.
∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
11.已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，
则a的取值范围是________.
解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的
逆命题；③“若x2<4，则－20”是“x>1”的充分不必要条件；②命题：“∀x∈R，sin
x≤1”的否定是“∃x ∈R，sin x >1”；③“若x＝，则tan x＝1”的逆命题
0 0
为真命题；④若f(x)是R上的奇函数，则f(log 2)＋f(log 3)＝0.
3 2
解析 ①中“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误.
对于②，命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x ∈R，sin x >1”，故②
0 0
正确.对于③，“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝”，其为
假命题，故③错误.
对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log 2＝≠－log 2，
3 3
∴log 2与log 3不互为相反数，故④错误.
3 2
答案 ②
