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第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题
1.(必修4P118A组2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A.e ＝(0，0)，e ＝(1，－2) B.e ＝(－1，2)，e ＝(5，7)
1 2 1 2
C.e ＝(3，5)，e ＝(6，10) D.e ＝(2，－3)，e ＝
1 2 1 2
解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.
答案 B
2.(2016·沈阳质监)已知在▱ABCD中，AD＝(2，8)，AB＝(－3，4)，则AC＝( )
A.(－1，－12) B.(－1，12)
C.(1，－12) D.(1，12)
解析 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AC＝AB＋AD＝(－1，12)，故选B.
答案 B
3.已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(
)
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m
＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
答案 A
4.如右图，向量e ，e ，a的起点与终点均在正方形网格的格
1 2
点上，则向量a可用基底e ，e 表示为( )
1 2
A.e ＋e B.－2e ＋e
1 2 1 2
C.2e －e D.2e ＋e
1 2 1 2
解析 以e 的起点为坐标原点，e 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题
1 1
意可得e ＝(1，0)，e ＝(－1，1)，a＝(－3，1)，
1 2
因为a＝xe ＋ye ＝x(1，0)＋y(－1，1)，＝(x－y，y)，则解得故a＝－2e ＋e .
1 2 1 2
答案 B
5.已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k
的值是( )
A.－ B. C. D.解析 AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(－2k，－2)，因为A，B，C
三点共线，所以AB，AC共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
答案 A
6.(2017·衡水冀州中学月考)在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，CD＝
rAB＋sAC，则r＋s等于( )
A. B. C.－3 D.0
解析 因为CD＝2DB，所以CD＝CB＝(AB－AC)＝AB－AC，则r＋s＝＋＝0，
故选D.
答案 D
7.在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，PQ
＝(1，5)，则BC等于( )
A.(－2，7) B.(－6，21)
C.(2，－7) D.(6，－21)
解析 AQ＝PQ－PA＝(－3，2)，∵Q是AC的中点，
∴AC＝2AQ＝(－6，4)，PC＝PA＋AC＝(－2，7)，
∵BP＝2PC，∴BC＝3PC＝(－6，21).
答案 B
8.(2017·河南八市质检)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且
EC＝2AE，则向量EM＝( )
A.AC＋AB B.AC＋AB
C.AC＋AB D.AC＋AB
解析 如图，∵EC＝2AE，
∴EM＝EC＋CM＝AC＋
CB＝AC＋(AB－AC)＝AB＋AC.
答案 C
二、填空题
9.(2017·广州综测)已知向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，若a＋b＝(1，－1)，则x＋y＝
________.
解析 因为(x，1)＋(2，y)＝(1，－1)，所以解得所以x＋y＝－3.
答案 －3
10.若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________.
解析 AB＝(a－2，－2)，AC＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案
11.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，＝2a－b，且u∥ ，则实数x的值为
v v
________.
解析 因为a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，＝2a－b，所以u＝(1，2)＋2(x，1)＝
v
(2x＋1，4)， ＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3).又因为u∥ ，所以3(2x＋1)－4(2－x)
v v
＝0，即10x＝5，解得x＝.
答案
12.在平行四边形ABCD中，AB＝e ，AC＝e ，NC＝AC，BM＝MC，则MN＝
1 2
________(用e ，e )表示.
1 2
解析 如图，MN＝CN－CM
＝CN＋2BM＝CN＋BC
＝－AC＋(AC－AB)
＝－e ＋(e －e )
2 2 1
＝－e ＋e .
1 2
答案 －e ＋e
1 2
13.(2017·长沙调研)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP
＝xOA＋yOB，且BP＝2 PA，则( )
A.x＝，y＝ B.x＝，y＝
C.x＝，y＝ D.x＝，y＝
解析 由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋BA＝OB＋(OA－
OB)＝OA＋OB，所以x＝，y＝.
答案 A
14.已知|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且OC与OA的夹角为
30°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则的值为( )
A.2 B. C.3 D.4
解析 ∵OA·OB＝0，∴OA⊥OB，
以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，
OA＝(1，0)，OB＝(0，)，OC＝mOA＋nOB＝(m，n).
∵tan 30°＝＝，∴m＝3n，即＝3，故选C.
答案 C15.已知点A(－1，2)，B(2，8)，AC＝AB，DA＝－BA，则CD的坐标为________.
解析 设点C，D的坐标分别为(x ，y )，(x ，y ).
1 1 2 2
由题意得AC＝(x ＋1，y －2)，AB＝(3，6)，
1 1
DA＝(－1－x ，2－y )，BA＝(－3，－6).
2 2
因为AC＝AB，DA＝－BA，所以有和
解得和所以点C，D的坐标分别为(0，4)，(－2，0)，
从而CD＝(－2，－4).
答案 (－2，－4)
16.(2016·四川卷改编)已知正△ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|
AP|＝1，PM＝MC，则|BM|2的最大值是________.
解析 建立平面直角坐标系如图所示，则B(－，0)，C(，0)，
A(0，3)，则点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.
设P(x，y)，M(x ，y )，则x＝2x －，y＝2y ，代入圆的方程得＋
0 0 0 0
＝，
所以点M的轨迹方程为＋＝，它表示以为圆心，以为半径的
圆，
所以|BM| ＝＋＝，所以|BM|＝.
max
答案
