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第 2 讲 排列与组合
一、选择题
1.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg
a－lg b的不同值的个数是( )
A.9 B.10 C.18 D.20
解析 由于lg a－lg b＝lg (a＞0，b＞0)，
∴lg 有多少个不同的值，只需看不同值的个数.
从1，3，5，7，9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，∴lg a－lg b的不
同值的个数有A－2＝18.
答案 C
2.(2016·四川卷)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个
数为( )
A.24 B.48 C.60 D.72
解析 由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A种方法，其他数位上
的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个
数为AA＝3×4×3×2×1＝72，故选D.
答案 D
3.有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A，B
两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B
说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为( )
A.6 B.18 C.20 D.24
解析 由题意知，名次排列的种数为CA＝18.
答案 B
4.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人
站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为( )
A.CA B.CA
C.CA D.CA
解析 首先从后排的7人中抽2人，有C种方法；再把2个人在5个位置中选2
个位置进行排列有A种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是CA.
答案 C
5.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位
节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A.36种 B.42种 C.48种 D.54种
解析 分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限
制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中
选1个节目排在第一位有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排
法.依分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42种编排方案.
答案 B
6.(2016·东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙
两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法( )
A.10 B.16 C.20 D.24
解析 一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座.∵要求每人左右均有
空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A＝20种
坐法.
答案 C
7.(2017·本溪模拟)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相
声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72 B.120 C.144 D.168
解析 法一 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品
节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品
2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小
品中2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排
方法，对于第二种情况，三个节目形成4个人，其形式为“□小品1□相声□小
品2□”.有AA＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法.
法二 先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有
A·A＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A·A·A＝24(种)，于是
符合题意的排法共有144－24＝120(种).
答案 B
8.(2017·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口
至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )
A.18种 B.24种
C.36种 D.72种
解析 一个路口有3人的分配方法有CCA(种)；两个路口各有2人的分配方法有CCA(种).
∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为CCA＋CCA＝36(种).
答案 C
二、填空题
9.7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降
低，共有________种排法(用数字作答).
解析 先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C
种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C＝20(种).
答案 20
10.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有
________种(用数字作答).
解析 把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A
种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A＝12(种).其中正
确的有一种，所以错误的共A－1＝12－1＝11(种).
答案 11
11.(2016·呼和浩特二模)从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至
少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种(用数字作答)
解析 甲型2台乙型1台或甲型1台乙型2台，故共有CC＋CC＝70种方法.
答案 70
12.(2017·淮北一模)寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一
座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五
个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________种
(用数字作答).
解析 设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符
的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有：
BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA共9种坐法，
则恰有一人坐对与自己车票相等座位的坐法有9×5＝45种坐法.
答案 45
13.甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利阅兵庆典后，在天安门广
场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )
A.12种 B.24种
C.48种 D.120种解析 甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲乙相邻
且在两端有CAA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有 AA－CAA＝
24(种).
答案 B
14.设集合A＝{(x ，x ，x ，x ，x )|x∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中
1 2 3 4 5 i
满足条件“1≤|x |＋|x |＋|x |＋|x |＋|x |≤3”的元素个数为( )
1 2 3 4 5
A.60 B.90
C.120 D.130
解析 因为x∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，且1≤|x |＋|x |＋|x |＋|x |＋|x |≤3，
i 1 2 3 4 5
所以x 中至少两个为0，至多四个为0.
i
①x(i＝1，2，3，4，5)中4个0，1个为－1或1，A有2C个元素；
i
②x 中3个0，2个为－1或1，A有C×2×2＝40个元素；
i
③x 中2个0，3个为－1或1，A有C×2×2×2＝80个元素；
i
从而，集合A中共有2C＋40＋80＝130个元素.
答案 D
15.(2017·黄冈模拟)在某班进行的演进比赛中，共有5位选手参加，其中3位女
生，2位男生，如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出
场顺序的排法种数为________(用数字作答).
解析 若第一个出场是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法
有CCA＝36种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则剩余的2个女生排列
好，2个男生插空，方法有CAA＝24种.故所有出场顺序的排法种数为36＋24＝
60.
答案 60
16.(1)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问
名额分配的方法共有多少种？
(2)已知集合A＝{5}，B＝{1，2}，C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构
成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？
解 (1)法一 每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学
校的方法种数就是要求的分配方法种数.
分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；
若分配到2所学校有C×2＝42(种)；
若分配到3所学校有C＝35(种).∴共有7＋42＋35＝84(种)方法.
法二 10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个
间隔中，共有C＝84种不同方法.
所以名额分配的方法共有84种.
(2)①从集合B中取元素2时，确定CA个点.
②当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C×1＝C.
③当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有CA个.
∴由分类加法计数原理，共确定CA＋C＋CA＝33(个)不同点.
