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第 2 讲 函数的单调性与最值
一、选择题
1.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为( )
A.－2 B.2 C.－6 D.6
解析 由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，∴a
＝－6.
答案 C
2.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )
A.y＝ B.y＝cos x
C.y＝ln(x＋1) D.y＝2－x
解析 ∵y＝与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x在(－1，1)上不具
备单调性.∴A，B，C不满足题意.只有y＝2－x＝在(－1，1)上是减函数.
答案 D
3.定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a2；当a0，x>0).
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.
(1)证明 设x >x >0，则x －x >0，x x >0，
2 1 2 1 1 2
∵f(x )－f(x )＝－＝－＝>0，
2 1
∴f(x )>f(x )，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
2 1
(2)解 ∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，∴f＝，f(2)＝2，易知a＝.
10.已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数).
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值
时x的值.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x ＞x ＞0，则f(x )－f(x )＝2(x －x )－＝
1 2 1 2 1 2
(x －x ).
1 2
∵1≥x ＞x ＞0，∴x －x ＞0，x x ＞0.
1 2 1 2 1 2
∴f(x )＞f(x )，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所
1 2
以f(x)的值域为(－∞，1].
(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－
a；
当a＜0时，f(x)＝2x＋，
当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取
得最小值2－a；
当＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x
＝时取得最小值2.
11.(2017·郑州质检)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值
为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝( )
A.4 B.2 C. D.
解析 当a>1，则y＝ax为增函数，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，
此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意.
当0－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，
若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1，1]，所以－b2＋4b－3>－1，即b2－4b＋2<0，
解得2－2时，h(x)＝3－x是减函数，
∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
答案 1
14.已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.
解 (1)由x＋－2＞0，得＞0，
当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}.
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，
∴g′(x)＝1－＝>0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数.
则f(x) ＝f(2)＝ln.
min
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立.∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).
由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x) ＝h(2)＝2.
max
故a>2时，恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞).
