文档内容
第 8 讲 力的合成与分解
学习目标
明 确目标 确定方向
1.会用平行四边形定则、三角形法则进行力的合成与分解.
2.会用正交分解法进行力的合成与分解．
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
第一部分：基础知识梳理
一、力的合成
1.共点力：作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的几个力
2.合力与分力
(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫做那几个力的合
力，那几个力叫做这一个力的分力。
(2)关系：合力与分力是等效替代的关系。
3.力的合成和分解
(1)定义：求几个力的合力的过程叫力的合成，求一个已知力的分力的过程叫力的分解
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，
这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。。
②三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法
第二部分：重难点辨析
1力合成的方法
(1)作图法
(2)计算法
若两个力F、F的夹角为θ，如图5所示，合力的大小可由余弦定理得到：
1 2
F＝
tan α＝
2.合力范围计算
（1）两个共点力的合力范围
|F－F|≤F≤F＋F。
1 2 1 2
（2）.三个共点力的合成(1)最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F＋F＋F。
1 2 3
(2)最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值
为零。如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之
和。
3．正交分解法
(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即
尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，习惯以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
(3)方法：物体受到多个力作用F、F、F…求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
1 2 3
x轴上的合力：
F＝F ＋F ＋F ＋…
x x1 x2 x3
y轴上的合力：
F＝F＋F＋F＋…
y y1 y2 y3
合力大小：
合力方向：与x轴夹角设为θ，则tan θ＝。
【 典例分析 】 精 选例题 提高素
养
[例1]我国的空间站“天宫二号”在轨安全运行一年多，“神舟十三号”宇航员在舱外机械臂的帮助下已
进行了两次太空行走，圆满完成了预定的科研任务。机械臂的运动是由许多支架共同产生的合力完成的，
已知一个合力和它的两个分力，下列说法中正确的是（ ）
A．合力必大于每一个分力
B．合力必大于两个分力的大小之和
C．合力大小可以与其中一个力相等，但一定小于另一个力
D．两个分力大小一定，夹角越小，合力越大例1【答案】D
【详解】A B C. 合力与分力之间的关系满足平行四边形定则，合力大小可能大于、等于、小于每一个分
力；比如：当两个分力大小相等，方向相反时，合力为 ，此时合力小于每一个分力，故A B C错误；
D. 由平行四边形定则可知，两个分力大小一定，夹角越小，合力越大，D正确；
故选D。
【例2】尖劈可用来卡紧物体，在距今约 万年的新石器时代的石斧、石矛都说明尖劈是人类最早发
明并广泛使用的一种简单的工具。如图所示为顶角很小的木质尖劈，将它嵌入木头缝中，可起到卡紧物体
的目的。已知木质尖劈与木头间的动摩擦因数为 ，为了使木质尖劈起到卡紧物体的作用，则木
质尖劈的顶角最大约为（ ）
A． B． C． D．
例2【答案】A
【详解】由于尖劈具有对称性，则分析尖劈一侧受力即可，将F分解为竖直分力 和水平分力 ，设顶角
一半为 ，如图1所示
将摩擦力分解如图2所示
当 时，尖劈可起到卡紧物体的作用，即有
得
即所以木质尖劈的顶角最大约为 ，A正确。
故选A。
【例3】粗糙水平面上 、 、 、 四个相同小物块用四根完全相同的轻弹簧连接，正好组成一个等腰
梯形，系统静止。 之间、 之间以及 之间的弹簧长度相同且等于 之间弹簧长度的一半。 之间
弹簧弹力大小为 之间弹簧弹力大小的一半。若 受到的摩擦力大小为 ，则（ ）
A． 之间的弹簧一定是压缩的 B． 受到的摩擦力大小为
C． 受到的摩擦力大小为 D． 受到的摩擦力大小为
例3【答案】ABC
【分析】由题可知本题考查力的平衡和弹簧的弹力。
【详解】A．设弹簧的原长为 ， 之间弹簧的长度为 ，则 之间弹簧长度为 ，因为 之间弹簧弹
力大小为 之间弹簧弹力大小的一半，所以有
即有
之间、 之间以及 之间的弹簧一定是压缩的，选项A正确；
B．由对称性可知 受到的摩擦力和 受到的摩擦力大小相同，等于 ，选项B正确；
CD．对 进行受力分析可知其所受摩擦力大小等于 间弹簧和 间弹簧的合力大小，由于 之间、 之
间的弹簧长度相同且都是压缩的，所以两个弹簧对 的弹力大小相等，又因夹角为120°，所以两个弹簧对
的弹力大小都为 。 受到两个弹簧的弹力，大小分别为 、 ，夹角为120°，由平行四边形定则与几何知识可知二者的合力等于 ，由三力平衡条件可知 受到的摩擦力大小为 ，同理 受到的摩擦力
大小也为 ，选项C正确，D错误。
故选ABC。
【例4】．如图所示，物体A放在某一水平面上，已知物体A重300N，A与水平面之间的动摩擦因数为
μ=0.5，A、B均处于静止状态，绳AC水平，绳CD与水平方向成37°角，CD绳上的拉力为50N。
sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）物体A受到的摩擦力大小是多少？
（2）物体B重力大小是多少？
例4【答案】(1)40N；(2)30N
【详解】(1)以结点C为研究对象，受力情况如图所示A物体处于静止，在水平方向受到的摩擦力f大小与绳AC拉力大小相等，即
(2)因为处于静止状态
在y轴上，BC绳的拉力
B物体处于静止
【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
1．纸制“弹丸”跨过弹弓橡皮绳，用手拉动弹丸直到橡皮绳成θ角，如图所示。此时橡皮绳的张力为T，
弹丸的重力可忽略不计，则（ ）A．手对弹丸的拉力大小等于2T B．松手瞬间弹丸所受合力为
C．松手前橡皮绳张力与θ角成反比 D．松手后在弹丸离开橡皮绳前，弹丸所受合力减小
1【答案】D
【详解】A．对弹丸受力分析，如下图所示
将橡皮绳的张力合成后，由几何关系可知其所受拉力的合力为 ，手对弹丸的拉力大小
，则故A错误；
B．松手瞬间弹丸所受手的拉力消失，但是橡皮仍然保持拉伸状态，此时弹力仍然存在，则合力为
，则故B错误；
C．橡皮绳张力与橡皮绳的伸长量成正比，则由 可知，松手前橡皮绳张力与合力还有夹角都
有关系，即橡皮绳张力与两根橡皮存在夹角的夹角不是反比关系，故C错误；
D．弹丸弹出时由于角度变大，拉力变小，则 可知，即弹丸所受合力减小，故D正确。
故选D。
2．如图所示为一同学用四根手指拎一购物袋，现在改用一根手指拎，简化图如图所示，相对一开始（
）A．手对购物袋的作用力变大
B．手对购物袋的作用力变小
C．单侧绳子的拉力变大
D．单侧绳子的拉力变小
2【答案】C
【详解】AB．手对购物袋的作用力与购物袋的重力是一对平衡力，大小相等。所以手对购物袋的作用力不
变。故AB错误；
CD．两侧绳子对购物带作用力的合力大小不变，改用一根手指拎时，两个单侧绳子的拉力间得夹角变大，
则单侧绳子的拉力变大。故C正确。D错误。
故选C。
3．将重为 的小球竖直向上抛出，小球在运动过程中受到的阻力大小始终为 小球竖直上升过程中所受
合力大小为 ，竖直下降过程中所受合力大小为 ，关于小球受到的合力大小和方向，下列说法正确的是
（ ）
A． ，合力方向始终向下 B． ，合力方向始终向下
C． ，合力方向先向上后向下 D． ，合力方向先向上后向下
3【答案】A
【详解】小球向上运动时，受向下的重力、阻力，合力向下，大小为
小球向下运动时，受向下的重力、向上的阻力，合力向下，大小为
所以
故BCD错误，A正确。
故选A。
4．已知一条线段，以这条线段为对角线做出平行四边形，若没有附加条件限制，将作出无数个满足要求
的平行四边形。将一个力分解为互成角度的两个力，若没有附加条件，分解的结果不是惟一的。现将大小
为100 N的一个力F分解为互成角度的两个力F、F，其中F 方向与F方向的夹角为 ，已知
1 2 1。则F 的最小值及此时它的方向与F 方向的夹角分别为（ ）
2 1
A．50 N B．50 N C．50 N D． N
4【答案】C
【详解】被分解力大小为F=100N，一个分力F1与水平方向的夹角是30°，根据三角形定则，如图所示
可知，另一个分力的最小值为
方向与F1方向的夹角
故选C。
5．从出生到现在，你已习惯加减乘除等代数运算，跨进高中物理大门之后，你知道了正负号能表示矢量
的方向，你还知道了“平行四边形”能用于矢量的运算，比如力的合成与分解等。最先将平行四边形用于
力的合成与分解，是牛顿之前的荷兰科学家斯台文（1548-1620）。大小分别为30 N、40 N的两个力同时
作用在一个物体上，这两个力的共同作用效果，若要用一个力来代替，这个力的大小不可能是（ ）
A．80 N B．40 N C．30N D．35N
5【答案】A
【详解】二力合成时，合力范围为
可知，若要用一个力来代替，这个力的大小不可能是80N，故A错误，与题意相符；BCD正确，与题意不
符。
故选A。
6．水平地面上堆放着相同的原木，如图甲所示，截面图如图乙所示，已知原木之间的滑动摩擦因数为μ，
每根原木的重力为G，可将原木看成圆柱体，若要将最上面的那根原木沿轴线方向匀速拉出，水平拉力大
小应为（ ）A． B． C． D．
6【答案】C
【详解】对圆柱原木静止时受力分析，如图所示
根据平衡条件可得
每一个侧面所受的滑动摩擦力
根据平衡条件可得
代入数据联立解得
故选C。
7．教室里要挂一个城市文化宣传框，假若粘钩的承重能力足够，以下哪种悬挂方式绳上的拉力最小（
）A． B．
C． D．
7【答案】A
【详解】当悬挂的两条绳子长度相等时，绳子上的拉力也相等。由力的合成法则可知，在合力不变的情况
下，两条绳子间的夹角越小，绳子上的拉力就越小，如下图所示
故选A。
8．如图，一个斜拉桥模型,均匀桥板重为G，可绕通过O点的水平转轴转动；9根与桥面均成30°角的平行
钢索拉住桥面，其中正中间的一根钢索系于桥的重心位置，其余成等距离分布在它的两侧，若每根钢索所
受拉力大小相等，则该拉力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．G8【答案】B
【详解】钢绳拉力和重力的合力沿着杆指向O点，否则杆会绕O点转动
根据牛顿第三定律，O点对杆的支持力水平向左；
对杆受力分析，受重力、拉力和支持力，根据平衡条件，有
解得
B正确.
故选B。
9．如图所示，某钢制工件上开有一个楔形凹槽，凹槽的截面是一个直角三角形ABC，∠CAB=30°，
∠ABC=90°，∠ACB=60°．在凹槽中放有一个光滑的金属球，当金属球静止时，金属球对凹槽的AB边的压
力为F ，对BC边的压力为F ，则 的值为（ ）
1 2
A． B．
C． D．
9【答案】B
【详解】金属球受到的重力产生两个作用效果，如图所示：对AB面的压力等于分力F1′，对BC面的压力等于分力F2′， ，故B正确，ACD错误．
10．把一个已知力F分解，把一个已知力F分解，要求其中一个分力F 跟F成30°角，而大小未知；另一个
1
分力 ，但方向未知，则F 的大小可能是（ ）
1
A． B． C． D．
10【答案】A
【详解】根据三角形定则知，当另一个分力与F1垂直时，F2最小.如图所示：
则 ；故A正确，B、C、D错误.故选A.
多选11．如图所示，轻杆BC的C点用光滑铰链与墙壁固定，杆的B点通过水平细绳AB使杆与竖直墙壁
保持30°的夹角。若在B点悬挂一个定滑轮（不计重力），某人用它以匀速地向上提起重物。已知重物的
质量 m＝30 kg，人的质量M＝50 kg，g取10 m/s2。试求（ ）
A．人对绳子的拉力为400N
B．人对地面的压力为200N
C．轻杆BC的张力为400 ND．水平细绳AB的张力为240 N
11【答案】BC
【详解】重物做匀速运动，由平衡条件可得绳子拉力等于其重力，所以人对绳子的拉力也等于重物的重力
为T=300N，则A错误；
B．地面对人的支持力为N则有
解得
N=200N
由牛顿第三定律可得人对地面的压力为200N，所以B正确；
C．对B点受力分析如图所示
轻杆BC的张力为
所以C正确；
D．水平细绳AB的张力为
所以D错误；
故选BC。
多选12．如图甲所示，轻杆OB可绕B点自由转动，另一端O点用细绳OA拉住，固定在左侧墙壁上，质量为m的重物用细绳OC悬挂在轻杆的O点，OA与轻杆的夹角∠BOA= 。乙图中水平轻杆OB一端固定
在竖直墙壁上，另一端O装有光滑的小滑轮，用一根轻绳跨过滑轮后悬挂一质量为m的重物，图中
∠BOA= ，下列说法正确的是（ ）
A．甲图中OA细绳的拉力为mg
B．甲图中轻杆受到的弹力为 mg
C．乙图中OA细绳的拉力为mg
D．乙图中轻杆受到的弹力为 mg
12【答案】BC
【详解】AB．图甲中，以O点为研究对象
受到重物的拉力、AO绳的拉力和杆的弹力，根据平衡条件得
，
即甲图中细绳OA的拉力为2mg，轻杆受到的弹力是 ，方向沿杆的方向，故A错误，B正确；
CD．图乙中，以O点为研究对象受到重物的拉力、AO绳的拉力和杆的弹力，用平行四边形定则作图，由于拉力T和G的夹角为 ，则由
几何知识可得
N=T=mg
即乙图中细绳OA的拉力为mg，轻杆受到的弹力是mg，方向不沿杆的方向，故C正确，D错误。
故选BC。
_
13．如图所示，水平地面上静止的物体重 ，若受一与水平方向成 角的拉力 ，此时
物体所受的摩擦力 ．（已知 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
（1）求物体所受的合力；
（2）求物体与地面间的动摩擦因数；
（3）若将拉力改成与水平方向仍成 角斜向下方的推力 ，其他条件不变，求此时物体所受合力
的大小。
13【答案】（1）32N；（2）0.25；（3）14N
【详解】（1）物体受力如图所示物体所受合力
（2）竖直方向受力平衡有
解得
则动摩擦因数
（3）水平方向有
竖直方向有
又
联立解得
14．2019年11月14日，中国火星探测任务着陆器悬停避障试验取得圆满成功，如图甲是由36根钢缆悬
挂的试验平台。某同学为了研究钢缆对平台的拉力随高度的变化，建立了如图乙所示的简化模型进行探
究，平台质量为M，由两根质量可忽略的钢缆悬挂于A、B两点，A、B等高，位置固定，相距S。两根钢
缆的长度相等，均为S的k倍，k值可由安装在A、B处的装置调整，每根钢缆对平台的拉力大小设为F。
(1)若k=1，求F；
(2)若F=Mg，求k值；
(3)求F随k变化的关系式，并说明随k值增大，F怎样变?14【答案】(1) ；(2) ；(3) 且( )，随着k值增大，F减小
【详解】(1)由图可知，当k=1时，两根绳子与竖直方向恰好均成30o角,则
整理可得
(2) 若F=Mg时，，设绳子与竖直方向夹角为θ，则
①
代入数据可得
根据三角形边角关系
②
代入数据可得
(3)由于
③
由①②③联立可得
( )
可知随着k值增大，F减小
