文档内容
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
一、教学目标
【知识与技能】
1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系.
2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法.
3.了解运用“反证法”证明命题的思想方法.
【过程与方法】
通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系，并提炼出数量关系，从而
渗透数形结合，分类讨论等数学思想.
【情感态度与价值观】
形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能
力与创新精神.
二、课型
新授课
三、课时
1课时。四、教学重难点
【教学重点】
（1）点与圆的三种位置关系.（2）过三点作圆.
【教学难点】
点与圆的三种位置关系及其数量关系反证法
五、课前准备
课件、图片、圆规、直尺等.
六、教学过程
（一）导入新课
我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.如图是射击靶的示意
图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不
同位置的成绩是如何计算的吗？（出示课件2）
解决这个问题要研究点和圆的位置关系．（板书课题）
（二）探索新知
探究一 点和圆的位置关系教师问：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？（出示课件4）
学生交流，回答问题.
教师点评：点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
教师问：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位
置关系时，d与r有怎样的数量关系？（出示课件5）
学生答：
教师问：反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
学生观察思考交流后，师生共同得到结论：（出示课件6）
点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：教师强调：⑴“ ”表示可以由左边推出右边的结论，也可由右边推出左
边结论.读作“等价于”.
⑵要明确“d”表示的意义，是点P到圆心O的距离.
出示课件7,8：例 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
A D
B C
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至
少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：⑴AD=4=r，故D点在⊙A上；
AB=3r，故C点在⊙A外.
⑵3≤r≤5.巩固练习：（出示课件9）
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为 8cm、10cm、
12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在_______；点B在_______；点
C在_______.
2.圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2，若 OP= ，则点 P 在（
）
A.大圆内 B.小圆内 C.小圆外 D.大圆内，小圆外
学生独立思考后口答：1.圆内；圆上；圆外 2.D
探究二 过不共线三点作圆
教师问：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？（出示课件
10）
学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即
可；
可作无数个圆.
教师问：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？（出示课件
11）
学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.
作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点 A或B的距
离为半径画圆即可；可作无数个圆.教师问：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？（出示课件12）
学生思考后师生共同解答：经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分
线上.
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
教师归纳：不在同一直线上的三点确定一个圆.（出示课件13）
出示课件14：例 已知：不在同一直线上的三点A、B、C.
求作：⊙O,使它经过点A、B、C.学生动手探究，作图，交流后，师生共同解答.
作法：1.连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3.以O为圆心，OB为半径作圆.
所以⊙O就是所求作的圆.
教师问：现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？（出示
课件15）
学生动手探究，交流，在教师指导下作图.
作法:
1.在圆弧上任取三点A、B、C;2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;
3.以点O为圆心，OC长为半径作圆.
⊙O即为所求.
巩固练习：（出示课件16）
如图，CD所在的直线垂直平分线段 AB，怎样用这样的工具找到圆形工件
的圆心．
学生独立思考后口答：
∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，
又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.
探究三 三角形的外接圆及外心
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.（出示课件17）
学生复述作法.教师对照图形进行归纳：（出示课件18）
1.外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.
⊙O叫做△ABC的外接圆，△ABC叫做⊙O的内接三角形.
2.三角形的外心
定义：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外
心.
作图：三角形三边中垂线的交点.
性质：到三角形三个顶点的距离相等.
练一练：判断下列说法是否正确.（出示课件19）
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆. ( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )学生口答：⑴√⑵×⑶×⑷√
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们
的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.（出示课件20）
学生动手探究，作图，交流后，教师总结.
锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的
中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
出示课件21,22:例1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，
∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．
(1)求∠DAO的度数；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
学生独立思考后师生共同解答.
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°；
⑵∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.
在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°，
∴AD为直径.
又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6，OA＝ .
因此圆的半径为3．
点A的坐标( ，0),
∴△AOB外接圆的面积是9π.
教师强调：解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接
圆的直径(或半径)长度．
巩固练习：（出示课件23）
如图,已知直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).
(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.
(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.学生独立解答.
解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2，0)，所以圆
心M的坐标为(2，0).
(2)圆的半径
线段DM 所以点D在圆M内.
出示课件24：例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到
BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
学生独立思考后师生共同解答.
解：连接OB，过点O作OD⊥BC.
则OD＝5cm，
在Rt△OBD中,
，
即△ABC的外接圆的半径为13cm.
巩固练习：（出示课件25）
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离为()
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
学生思考后口答：A
探究四 反证法
教师问：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？（出示课件26）
学生动手探究，作图，交流后，师生共同解答.
如图，假设过同一条直线 l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆
心为P.
那么点P既在线段AB的垂直平分线l 上，又在线段BC的垂直平分线l 上，
1 2
即点P为l 与l 的交点.
1 2
而l ⊥l，l ⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线
1 2
垂直”相矛盾.
所以过同一条直线上的三点不能作圆．
教师归纳：（出示课件27）
1.反证法的定义先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、
定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种
方法叫做反证法．
2.反证法的一般步骤
⑴假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）；
⑵从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；
⑶由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
出示课件28：例 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
师生共同解答.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，
则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°.
因此∠A+∠B+∠C>180°.
这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．
因此△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
巩固练习：（出示课件29）利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45°”时，应先
假设（ ）
A.有一个锐角小于45°
B.每一个锐角都小于45°
C.有一个锐角大于45°
D.每一锐角都大于45°
学生口答：D
（三）课堂练习（出示课件30-36）
1.已知△ABC 的三边 a，b，c，满足 a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则
△ABC的外接圆半径=______．
2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为______．
3.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?4.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在
⊙A______；点C在⊙A______；点D在⊙A______.
5.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的
位置关系为（ ）
A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外
6.已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径
=______.
7.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．
8.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C三点，那么这条圆
弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
9.画出由所有到已知点的距离大于或等于 2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.
10.某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心
和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
参考答案：
1.
2.
3.解:如图所示.
4.上；外；上
5.B
6.5
7.70°
8.B
9.解：如图所示.10.解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；
(2)连接AB、BC；
(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；
(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
（四）课堂小结
本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流 .
（五）课前预习
预习下节课（24.2.2第1课时）的相关内容.
七、课后作业
1.教材95页练习2.
2.配套练习册内容八、板书设计：
九、教学反思：
本节课通过学生操作，总结出了点与圆的三种位置关系，其中渗透着分类
讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了不在同一直线上三点
确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形的定义，此外
还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的，
培养了学生动手的能力.
