文档内容
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
（第3课时）
一、教学目标
【知识与技能】
理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内
心等概念.
【过程与方法】
利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆
的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.
【情感态度与价值观】
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.
二、课型
新授课
三、课时
第3课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】
切线长定理及其应用.
【教学难点】
内切圆、内心的概念及运用.
五、课前准备
课件、图片、圆规、直尺等.
六、教学过程
（一）导入新课
同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从
中抽象出什么样数学图形？（出示课件2）
（二）探索新知
探究一 切线长定理及应用
教师问：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作
几条？（出示课件4）
学生思考，尝试作图并解答．
出示课件5:出示定义:
切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
教师问：切线长与切线的区别在哪里？
学生思考后师生共同总结：
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以
度量．
教师问：PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点
为B．OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？（出示课件6）
学生思考后，尝试利用图形轴对称性解释.
教师归纳：（出示课件7）
切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点
的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:
∵PA、PB分别切☉O于A、B，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
出示课件8：已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.学生观察分析，合作交流后师生共同解答.
证明：∵PA切☉O于点A，
∴OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
教师问：若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?
并给出证明.（出示课件9）
学生操作后观察得：OP垂直平分AB.
师生共同证明如下.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点,
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB.教师问：若延长PO交⊙O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么新的结
论?并给出证明.（出示课件10）
学生操作后观察得：CA=CB.
师生共同证明如下.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴△PCA≌△PCB，
∴AC=BC.
出示课件11：例1 已知：如图，四边形 ABCD的边AB、BC、CD、DA与
⊙O分别相切于点E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC.学生独立思考后师生共同解决如下.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H，
∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
巩固练习：（出示课件12）
PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP= ;
（2）若∠BPA=60°,则OP= .
学生自主思考后口答：⑴5；⑵6.
出示课件13：例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法
将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角板和一个刻度尺，按如图
所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得
PA=5cm，求铁环的半径．教师分析：欲求半径 OP，取圆的圆心为 O，连 OA、OP，由切线性质知
△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．
师生共同解答.（出示课件14）
解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.
∵AP、AQ为⊙O的切线，
∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
即铁环的半径为
巩固练习：（出示课件15）
如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于 D、E两点,经测量发现
AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为
cm(AD
