24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
（第2课时）
一、教学目标
【知识与技能】
能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的
判定定理和性质定理解决问题。
【过程与方法】
经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又
能合作探究的良好学习习惯.
【情感态度与价值观】
体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的
严谨性及结论的正确性.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时，共3课时。四、教学重难点
【教学重点】
切线的判定定理及性质定理的探究和运用.
【教学难点】
切线的判定定理和性质的应用.
五、课前准备
课件、图片、圆规、直尺等.
六、教学过程
（一）导入新课
教师问：转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什
么方向飞出的？（出示课件2）
学生问：都是沿着圆的切线的方向飞出的．
（二）探索新知
探究一 切线的判定方法教师问：如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O
到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系?（出示课件4）
学生答：这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径．
由d=r得到直线l是⊙O的切线．
教师问：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
（出示课件5）
教师作图，学生观察并思考：
（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?
（2）二者位置有什么关系？为什么？
出示课件6：教师归纳:
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
应用格式:
∵OA为⊙O的半径，BC⊥OA于A，∴BC为⊙O的切线.
教师问：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？（出示
课件7）
学生观察交流后口答：(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
教师强调：在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半
径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
教师归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（出示课件8）
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.出示课件9：例1 如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC.
求证：AC是☉O的切线.
教师分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
师生共同解答：
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°.
∵AB是☉O的直径，
∴ AC是☉O的切线.
巩固练习：（出示课件10）
如图所示，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边
BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗？为什么？学生独立思考后板演：
解：BD是⊙O 的切线．
连接OD,∵OD＝OA，∠A＝30°，
∴∠DOB＝60°.
∵∠B＝30°，∴∠ODB＝90°.
∴BD是⊙O 的切线．
出示课件 11：例 2 已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA=OB，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
学生思考交流后师生共同解答.
证明：连接OC(如图).
∵OA＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴AB⊥OC.
∵OC是⊙O的半径,
∴AB是⊙O的切线.
巩固练习：（出示课件12-13）
如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E. 求证：
AC 是⊙O 的切线．
教师分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点
O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此
只需要证明OF=OE.
证明：连接OE，OA,过O作OF⊥AC.
∵⊙O与AB相切于E，
∴OE⊥AB.
又∵△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点．
∴AO平分∠BAC，
又OE⊥AB，OF⊥AC.
∴OE＝OF.
∵OE是⊙O半径，OF＝OE，OF⊥AC.
∴AC是⊙O的切线．
出示课件14：学生对比思考.
1.如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB
求证：直线AB是⊙O的切线.
学生答：连接OC.
2.如图，OA＝OB=5，AB＝8,⊙O的直径为6.
求证：直线AB是⊙O的切线.
学生答：作垂直.教师归纳：（出示课件15）
证切线时辅助线的添加方法：
(1)有交点，连半径,证垂直;
(2)无交点，作垂直,证半径.
有切线时常用辅助线添加方法：
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论：
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
探究二 切线的性质定理
教师问：如图，如果直线 l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直
吗？（出示课件16）
学生思考后教师总结：
切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式：∵直线l是⊙O的切线，A是切点.∴直线l⊥OA.
出示课件17-18，教师引导学生进行证明.
证法1：反证法.
证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M.
则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.
这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.
所以AB与CD垂直.
证法2：构造法.
作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点.连接
OA,根据垂径定理，则CD⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．
教师总结：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.（出示课件19）
出示课件20：例1 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交
于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝ ，求⊙O的半径．
教师分析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，
由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了
角边角，可证得△ACB≌△APO；
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出
半径OA的长.
师生共同解答：（出示课件21-22）
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO（ASA）.
(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP= ，
∴AO＝1，
∴CB＝OP＝2，
∴OB＝1，
即⊙O的半径为1.
巩固练习：（出示课件23）
如图所示，点A是⊙O外一点，OA交⊙O于点B，AC是⊙O的切线，切点
是C，且∠A＝30°，BC＝1.求⊙O的半径．
学生独立思考后自主解决.解：连接OC.
∵AC是⊙O的切线，∴∠OCA＝90°.
又∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴△OBC是等边三角形．
∴OB＝BC＝1，即⊙O的半径为1.
（三）课堂练习（出示课件24-33）
1.如图，在⊙O 中，AB 为直径，AC 为弦．过 BC 延长线上一点 G，作
GD⊥AO 于点 D，交 AC 于点 E，交⊙O 于点 F，M 是 GE 的中点，连接 CF、
CM．判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由.
2.判断下列命题是否正确.
（1）经过半径外端的直线是圆的切线.（ ）（2）垂直于半径的直线是圆的切线.（ ）
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ ）
（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（ ）
（5）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（ ）
3.如下图所示，A是☉O上一点，且AO=5, PO=13, AP=12,则PA与☉O的
位置关系是 .
4.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点
的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
5.如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？6.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
7.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径
的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
8.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需
写出两种情况）：①_________；② _____________.
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
参考答案：1.解：CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，
∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，
∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线.
2.⑴×⑵×⑶√⑷√⑸√
3.相切
4.C
5.解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,
OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
解得r=3，即⊙O的半径为3.6.证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB.
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
7.证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线
AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
8.解：⑴①BA⊥EF；②∠CAE=∠B.
证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.
∴∠D+∠DAC=90 °,
∵∠D与∠B同对 ,
∴∠D=∠B,
又∵∠CAE=∠B,
∴∠D=∠CAE,
∴∠DAC+∠EAC=90°,
∴EF是☉O的切线.
（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流 .
（五）课前预习
预习下节课（24.2.2第3课时）的相关内容.
七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，
接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.
