文档内容
24.2点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
一、新课导入
1.导入课题：
问题：你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是
怎么判断出来的？
这个问题与我们今天要学习的内容密切相关.（板书课题）
2.学习目标：
（1）知道点和圆的三种位置关系及其判定方法.
（2）知道不在同一直线上的三点确定一个圆，能过不在同一直线上的三点作圆.
（3）知道三角形外心的概念及其性质.
（4）了解反证法的证明思想及一般步骤.
3.学习重、难点：
重点：点和圆的位置关系；三角形的外心及其性质.
难点：反证法.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第92页的内容.
（2）自学时间：4分钟.
（3）自学方法：阅读理解，观察归纳.
（4）自学参考提纲：
①设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则
②教材中“点P在圆上 d=r”是什么意思？
点P在圆上可以推出d=r，反过来d=r也可以推出点P在圆上.
③圆可以看成是 到圆心距离等于定长（半径） 的点的集合；
圆的内部可以看成是 到圆心距离小于定长（半径） 的点的集合；
圆的外部可以看成是 到圆心距离大于定长（半径） 的点的集合.④体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4m和5.1m,他们投出的铅球分别落在图中
哪个区域内？
小明投出的铅球在④区域，小丽投出的铅球落在③区域.
2.自学：学生结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学困生的答题情况.
②差异指导：主要指导学困生.
（2）生助生：生生互动，交流研讨，改正.
4.强化：
（1）点和圆的三种位置关系及其判定方法.
（2）设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离为OP=3，则点P在圆 外 .
（3）画出由所有到已知点O的距离大于或等于1cm并且小于或等于2cm的点组成的图
形.
解：如图所示.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第93页“探究”至第94页的内容.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：阅读，思考，动手操作，推理归纳.
（4）自学参考提纲：
①过一个已知点A作圆，这样的圆能作 无数 个,在图(1)中作图探究.
②过两个已知点A、B作圆，这样的圆能作 无数 个，满足条件的圆的圆心在 线段 AB
的垂直平分线上 ,在图(2)中作图探究.③过不在同一直线上的三个已知点A、B、C作圆,在图(3)中作图探究.
a.因为要作的圆过点A和点B，所以圆心在 AB 的垂直平分线 上.
b.因为要作的圆过点B和点C，所以圆心在 BC 的垂直平分线 上.
所以经过点A、B、C的圆的圆心在 AB 、 BC 垂直平分线的交点 上，这样的圆能作1 个.
c.如右图，CD所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用 2 次就可以找
到圆形工件的圆心．
d.经过四个点是不是一定能作圆？不一定.
④由③可得：不在同一直线上的三点 确定一个圆 .
⑤三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离 相等 .
⑥假设 命题的结论不成立 ，由此经过推理得出 矛盾 ，由 矛盾 断定假设不正确，从
而得到原命题 成立 ，这种方法叫反证法，反证法是一种 间接证法 (填“直
接证法”或“间接证法”).
⑦用反证法说明经过同一直线上的三个点不能作出一个圆的道理.
假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆，
设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l 上，
1
又在线段BC的垂直平分线l 上，即点P为l 与l 的交点,而l⊥l，
2 1 2 1
l⊥l,
2
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.
所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.
2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1）师助生：
①明了学情：看学生能否在提纲的指引下顺利画圆.
②差异指导：根据学情确定指导方案.
(2)生助生：小组内相互交流、研讨、帮助画图.
4.强化：(1）不在同一直线上的三点作一个圆的作法.
(2）三角形的外心及其性质.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、动手情况、小组交流协作情况以及存在的问题等.
（2）指标评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:本节课通过复习圆的定义入手，通过学生操作，总结出了
点与圆的三种位置关系，其中渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得
出了不在同一直线上三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形的
定义，此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的，培
养了学生动手操作的能力.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(20分)判断下列说法是否正确：
（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆. （√）
（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形. （×）
（3）经过三点一定可以确定一个圆. （×）
（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. （√）
2.(10分)⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点
A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在圆内；点B在圆上 ；点C在圆外．
3.(10分)若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（B）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
4.(30分)如图，分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，它们的外心位
置有什么特点？
解：如图所示：锐角三角形的外接圆的圆心在三角形内部，直角三角形的外接圆的圆心在三角形斜边
中点处，锐角三角形的外接圆的圆心在三角形外部.
二、综合应用（20分）
5.(20分)爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点
120m以外的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm，如果点导火索的人以每秒6.5m的速
度撤离，那么是否安全？为什么？
解：∵导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，导火索的长度是18cm.
∴导火索燃烧完需18÷0.9=20（s）.
又点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，
则导火索燃烧完撤离的最大距离为6.5×20=130（m）.
∵130＞120，∴安全.
三、拓展延伸（10分）
6.(10分)某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径，
请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
解：（1）在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；
（2）连接AB、BC；
（3）分别作出AB、BC的垂直平分线；
（4）两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
