文档内容
第二十四章 圆重难点检测卷
（满分100分，考试时间120分钟，共26题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：九年级上册第二十四章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）对于命题“若 ，则 ”能说明它属于假命题的反例是
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查了举反例判断命题的真假，把选项代入逐一排除即可求解，正确记忆相关知识点是解题
关键．
【详解】解： 、当 ， 时， ，不是反例，不符合题意；
、当 ， 时， ，不是反例，不符合题意；
、当 ， 时， ，不是反例，不符合题意；
、当 ， 时， ，是反例，符合题意；
故选： ．
2．（2025九年级上·山东青岛·模拟预测）坐标平面上有两圆 、 ，其圆心坐标均为 ．若圆 与
轴相切，圆 与 轴相切，则圆 与圆 的周长比（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题主要考查了坐标与图形，切线的性质．根据切线的性质解答即可．
【详解】解： 圆心坐标均为 ，圆 与 轴相切，圆 与 轴相切，
与 的半径分别是7，3．
圆 与圆 的周长比是 ．
故选：B．
3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图， 为 的直径，点C、D是 的三等分点， ，
则 的度数为（ ）
A．32 B．60 C．80 D．120
【答案】C
【分析】本题考查弧，弦，圆心角的关系．根据C、D是弧 的三等分点易得 度数为 度数
的 ．
【详解】解：∵ ，
，
∵点 、 是 的三等分点，
∴
，
，
故选：C．
4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 是 的一条弦，直径 , 垂足为 ，下列结
论不一定成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，准确分析判断是解题的关键．
根据圆的垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理分析判断即可；
【详解】 直径 ，
， ， ，
， ，
选项 、 、 结论成立；
与 的关系不能确定，故选项 的结论不一定成立；
故选： ．
5．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆周角定
理求出 ，再利用圆内接四边形的性质解答即可．
【详解】解： ，
，四边形 内接于 ，
，
，
故选A．
6．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，点 ， ， ，点 为线段 的中点，以点
为圆心， 为半径作⊙ ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 与⊙ 相切B．点 在⊙ 上 C．点 在⊙ 上 D．点 在⊙ 上
【答案】A
【分析】本题考查点、直线与圆的位置关系，熟练掌握点、直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键．
根据两点间距离公式计算出 、 、 的距离，分别与半径 相比较，得出点是否在圆上；根据圆
心到直线 的距离等于半径 ，判断直线 与 相切即可．
【详解】解：由于点 ， ，点 为线段 的中点，
那么 点的坐标为 ，直线 方程为： ，
选项A、过点 作 于点 ，由题意得， ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
则 ，解得 ，
，即 长等于半径，
则 与 相切，故结论正确；
选项B、 ，则点 在 外，故结论错误；
选项C、 ，则点 在 外，故结论错误；
选项D、 ，则点 在 外，故结论错误；
故选：A．
7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图所示， 的三个顶点在 上，其中 ， ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题
的关键；
根据等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．
【详解】解： ，
，，
∵ ，
∴
故选：A．
8．（2025·云南·模拟预测）如图所示， 是 的直径，点 B，D都在 上，连接 ，
若 ，则 的半径长为( )
A． B． C．4 D．2
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，根据直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周
角相等，得到 ，进而得到 ，即可得出结果．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 的半径长为 ；
故选C．
9．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，点 在
边上，且 为直角三角形，则符合要求的点P的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【答案】C
【分析】本题主要考查圆周角定理，分别以 、 和 三种情况作图可得．
【详解】解：如图所示，
符合要求的点P的个数是4个，
故选：C．
10．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点A，B在 上，P为 外一点，且 ，
，连接OP，OP与 相交于点C，与AB交于点D，连接 ， ，有下列结论：① ；
② ；③C为 中点；④四边形 为菱形；⑤O，A，B，P四点共圆，其中一定成立的有
（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由P为 外一点，且 ， ，可得 ，然后依据 可证明
，可判断①；进而可证明 ，可判断②，根据 ，得到
，可判断③，要使得四边形 为菱形，即 必须成立，即 必须成立，
即 必须成立，显然，只有当 时，这些前提才成立，故可判断④，由直角三角形的性质
可得到 ， ，即 ，可判断⑤．
【详解】证明： ， ，
，
在 和 中，，
，
，故①一定成立；
，
，
在 和 中，
，
，
，即 ，故②一定成立；
，
，故③一定成立；
要使得四边形 为菱形，
，即 ，即 ，
显然，只有当 时，这些前提才成立，故④不一定成立；
， ，
，
O，A，B，P四点共圆，故⑤一定成立；
一定成立的有：①②③⑤，
故选：C．
【点睛】此题重点考查圆的有关概念和性质、切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、
勾股定理、四点共圆等知识，由切线长定理证明 ， 平分 是解题的关键．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知扇形的面积为 ，半径为3，则这个扇形的弧长是
（结果保留 ）．【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积与弧长的关系，熟记扇形的面积 是解题的关键．
根据扇形的面积公式即可求得扇形的弧长．
【详解】 ，扇形的面积为 ，半径为3，
∴
∴
∴这个扇形的弧长是 ．
故答案为： ．
12．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图， 是 的直径， ，则 ．
【答案】 /80度
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，熟练掌握圆周角的性质，是解题的关键．根据直径所
对的圆周角为直角，进行解答即可．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
13．（25-26九年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，在 中，满足 ，则下列对弦 与弦 大
小关系表述为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
如图，取弧 的中点 ，利用 得到 ，则根据圆心角、弧、弦的关系得到
，再利用三角形三边的关系得 ，于是有 ．
【详解】解：如图，取弧 的中点 ，则 ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
14．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，A，B，C三点都在 上， ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据圆周角定理可知 ，根据圆内接
四边形的性质可以求出 ．
【详解】解：如下图所示，
，
，
四边形 是 的内接四边形，
，
．故答案为： ．
15．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图， 是 的直径，P是 延长线上一点； 与
相切于点C，若 ，则 °
【答案】24
【分析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，连接 ，由切线的性质得
，求出 的度数，再根据圆周角定理即可得到 ，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
与 相切于点C，
，
，
，
，
故答案为：24．
16．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 、 、 的坐标分别为 ，
， ，则以 、 、 为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ．【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心．根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆
心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：如图，作弦 、 的垂直平分线，
∵点 、 、 的坐标分别为 ， ， ，
所以弦 ，弦 ，
∴弦 的垂直平分线与 轴相交于点 ，弦 的垂直平分线与 轴相交于点 ，
∴两条垂直平分线的交点 即为三角形外接圆的圆心，且 点的坐标是 ．
故答案为： ．
17．（2025·广东·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用
而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正
六边形 ，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是 ．【答案】2
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确正六
边形的特点．
连接 ， ，证明 为等边三角形，得出 ，根据勾股定理求出
，得出 即可．
【详解】解：连接 ， ，如图所示：
六边形 是正六边形，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，负值舍去，
∴ ，∴这个正六边形的边长是 ，
故答案为：2．
18．（2025九年级上·山东青岛·模拟预测）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨
盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力
传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知
，点 在中轴线 上运动，点 在以 为圆心， 长为半径的圆上运动，且 ．当点
按逆时针方向运动到 时， 与 相切，则 的长为 ．
【答案】
【分析】此题重点考查切线的性质定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
连接 ，则 ，因为 ，所以 ，由切线的性质得 ，而
，则 ，所以 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图3，连接 ，则 ，
，
，
与 相切于点 ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．三、解答题（8小题，共64分）
19．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）用一个直角边长分别为3和4的直角 纸片剪半圆，要求
剪出的半圆的直径在 的边 上，且半圆的弧与另两边都相切，请用尺规作出示意图，并求出相应
半圆的半径．
【答案】见解析，半圆的半径为
【分析】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．根据切线的性质
得到 ， ，根据三角形的面积公式求出半圆的半径．
【详解】解：如图，
作 的平分线交 于 ，则点 为所要剪出的半圆的圆心，
设半圆与 、 切于 、 ，连接 、 ，
则 ， ，
设半圆的半径为 ，
则 ，
解得： ，
答：半圆的半径为 ．
20．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知：如图， 、 、 、 是 上的点， ，
．(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理；
（1）先证明 即可得到结论；
（2）由 证明 即可.
【详解】（1）证明： ，
，
即 ．
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
．
21．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，正六边形 为 的内接正六边形，过点D
作 的切线，交 的延长线于点P， 的半径为6，连接 ， ．
(1)求 ；
(2)连接 ，试判断 和 有什么特殊位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析【分析】本题考查正多边形与圆，涉及直径所对的圆周角为 ，扇形的面积，掌握直径所对的圆周角是
直角是解题关键.
（1）由正六边形的性质解得 ， ，再根据扇形面积公式解答；
（2）由直径所对的圆周角为 解答；
【详解】（1）解：连接 ，
∵正六边形 为 的内接正六边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下，连接 ，
由题意可得，点A，O，D共线，即 为 的直径，
∴ ，
∴ ．
22．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图， 为 的直径， ，垂足为 ，点 是 上一
动点，连接 分别交 ， 于点 ， ．
(1)当 时， 与 有何关系？证明你的结论．
(2)当点 在什么位置时， ？证明你的结论．【答案】(1) ；证明见解析
(2)当弧 弧 时， ．证明见解析
【分析】主要考查了圆中的有关性质，掌握其中的圆周角定理、圆心角、弧、圆周角之间的关系是解题的
关键．
（1）由圆周角定理知： ，在 中， ，证得 ，已知 ，可得
，所以 ，即 ；
（2）当弧 弧 时， ，可得 ，进而可得 ，因此当弧 弧
时， ．
【详解】（1） ；
证明：连接 ，
为 的直径，
．
又 ，
．
，
．
．
．
（2）当弧 弧 时， ，
证明：∵弧 弧 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
23．（25-26九年级上·广西南宁·期中）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点 ， 为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于 ，
两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
(1)请直接写出 ， 两点的坐标；
(2)求叶瓣①的面积．（结果保留 ）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求扇形面积，圆的基本性质：
（1）证明四边形 是正方形，即可求解；
（2）根据叶瓣①的面积为等于 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵以原点 ， 为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于 ， 两点，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴点 ；
（2）解：如图，连接 ，∵以原点 ， 为圆心、以2为半径作圆，
∴两个圆是等圆， ，
∴ ，
∴叶瓣①的面积为 ．
24．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格
小正方形的边长为1）．
(1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为 ；⊙P的半径为 ；
(2)判断点 与 的位置关系；
(3)若扇形 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】(1)图见解析， ，
(2)点N在 上
(3)
【分析】本题主要考查了确定圆心，点与圆的位置关系，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，圆锥的
侧面积计算，熟知相关知识是解题的关键．
（1）利用网格特点画出 和 的垂直平分线，它们的交点为P点，再写出P点坐标，然后计算 长
得到 的半径；（2）利用两点间的距离公式计算出 ，然后根据点与圆的位置关系的判断方法求解；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明 为直角三角形， ，再由圆锥侧面积计算公式求解即
可．
【详解】（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为 ，
，
即 的半径为 ；
故答案为： ， ；
（2）解：∵P ， ，
∴ ，
∴ 的长等于 的半径，
∴点N在 上；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∴该圆锥的侧面积为 ．
25．（2025·湖北武汉·模拟预测）请仅用无刻度直尺按下列要求作图．(1)在图1中，已知正七边形 ，分别画出一个以 为边的平行四边形和 为边的菱形；
(2)在图2中，若正七边形的外接圆为 ，画出 的中点P，过点A作 的切线 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了几何作图，包括平行四边形、菱形、切线的作法等，解题关键是理解正多边形的
性质以及平行四边形、菱形和圆的相关性质．
（1）连接 ， 交于 ， 交于 ，则四边形 是平行四边形；延长
，交于点 ，则四边形 为菱形；
（2）连接 并延长，交 于点 ，即为所求；连接 并延长，交 于点 ，连接 交 于点 ，
连接 并延长，交 延长线于点 ，连接 并延长，交 延长线于点 ，作射线 ，即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，四边形 为平行四边形，四边形 为菱形；
（2）如图所示，点P为 的中点， 为 的切线．26．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆
上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
(1)下列说法正确的有_____________．（填序号）
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；
②内角不等于 的菱形一定是“内切型单圆”四边形；
③若“完美型双圆”四边形的外接圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为 ，则有
．
(2)如图1，已知四边形 内接于 ．四条边长满足： ．
①该四边形 是“____________”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若 的平分线 交 于点E， 的平分线 交 于点F，连接 ，求证： 是 的
直径．
(3)如图2，已知四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆 与 分别相切于点连接 交于点 ．若 的半径为1，连接 ，当 时，求 的取值范
围．
【答案】(1)②③
(2)①外接型单圆；②见解析
(3)
【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形
的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切
圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③；
（2）①假设四边形 中有内切圆，则 ，这与已知矛盾，从而可得结论；
②根据角平分线的定义和圆周角定理证明即可证得结论；
（3）连接 ，先证明 ；过O作 于M， 于N，连接
；可得 ， ，从而可证明四边形 是矩形，得 ，由勾股定
理有 ， ，则 ，由已知即得 ，由此求得
的取值范围．
【详解】（1）解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等；
①∵当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆，
∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误；
②∵内角不等于 的菱形的对角不互补，
∴该菱形无外接圆，
∵菱形的四条边都相等，
∴该菱形的对边之和相等，
∴该菱形有内切圆，
∴内角不等于 的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确；
③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图，则 ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
即 ，故③正确；
故答案为：②③；
（2）解：①若四边形 中有内切圆，则 ，
这与 矛盾，
∴四边形 中无内切圆，
∴该四边形 是“外接型单圆”四边形，
故答案为：外接型单圆；
②∵ 的平分线 交 于点E， 的平分线 交 于点F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 均为半圆，
∴ 是 的直径；
（3）解：如图，连接 ，
∵ 是四边形 的内切圆，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
同理： ；
∵四边形 有外接圆，
∴ ，
∴ ，
∴ ；∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，过O作 于M， 于N，连接 ；
由垂径定理知： ， ；
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理有 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．【点睛】本题是圆的综合问题，考查了多边形的外接圆与内切圆，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，多
边形内角和，特殊四边形的性质等知识，掌握这些知识，构造适当辅助线是解题的关键．
