文档内容
24.2.1 点和圆的位置关系 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章
“圆”24.2.1 点和圆的位置关系，内容包括：理解与掌握点和圆的位置关系，理解三角形外接圆和三角
形外心的概念.
2.内容解析
在研究点和圆的位置关系时，是从其几何特征(交点个数)和代数特性(点到圆心的距离与半径的关系)
两个角度刻画的．因此，在探究与圆有关的位置中，点和圆的位置关系是基础．对于经过不在同一直线上
的三点作圆的问题，可以从过一点、过两点开始探究，其中体现了转化的思想．同时，在对过一点、过两
点、过不在同一直线上的三点作圆的探究，其核心都是要明确确定圆的要素——确定圆心和半径．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解与掌握点和圆的位置关系.
二、目标和目标解析
1.目标
1)理解与掌握点与圆的位置关系及其运用．
2)掌握不在同一直线上的三点确定一个圆．
3)理解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
2.目标解析
达成目标1）的标志是：理解与掌握点和圆的位置关系会运用它解决一些实际问题．
达成目标2）的标志是：会过一点、过两点，以及经过不在同一直线上的三点做圆，体会确定圆心和
半径是确定圆的基本要素.
达成目标3）的标志是：理解三角形外接圆和三角形外心的概念.
三、教学问题诊断分析
在探究点和圆位置关系的过程中，学生会从直观上(几何特征)判断点与圆的位置关系，但对于利用点
到圆的距离和半径的数量关系来判断位置关系还有些陌生．在研究经过不在同一直线上的三点作圆的问题
时，学生对于如何确定一个圆的理解还有些吃力，即学生不会从圆心和半径两个角度进行分析．另外，反
证法作为一种证明方法，和直接证法的思路有很大的差别，其思考方法是逆向的，学生也不容易理解．
本节课的教学难点是：对反证法的理解．
四、教学过程设计
（一）情景引入我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.下图是射击靶的示意图，它是由许多同心
圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．教师通过多媒体展示答案：射击点与靶心的距离
决定了它在哪个圆内，射击点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好.
【设计意图】通过实际生活中的问题，激发学生学习的兴趣.
（二）探究新知
【问题一】观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？并对这六个点进行分类？
师生活动：学生在教师的引导下，发现点与圆的三种位置关系，即点在圆上（点 B），
点在圆内（点D、点E、点F），点在圆外（点A、点C）．
【问题二】设⊙O半径为r，你知道点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系吗？
师生活动：教师引导学生利用点到圆心的距离和圆的半径的关系来刻画点和圆的位置关
系．点A在圆内，则OA < r；点B在圆上，OB = r；点C在圆外，OC > r.
【问题三】反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？设
⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
师生活动：教师引导学生利用点到圆心的距离和圆的半径的关系来刻画点和圆的位置
关系．我们可以得到点P＇＇在圆外 d＞r；点P＇在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜
r．
【设计意图】利用知识解决问题，使学生感受到数学是来源于生活又服务于生活．
【问题四】通过今天的学习，你发现了什么？
师生活动：教师提出问题，先由学生根据所学知识回答，再由教师归纳与总结
1）判断点与圆的位置关系的实质是判断点到圆心的距离和半径的大小关系.
2）已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系，
反过来，由点与圆的位置关系也可以确定该点到圆心的距离与半径的关系.
3）圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合；
圆的内部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合.【设计意图】让学生理解与掌握点和圆的位置关系.
（三）典例分析与针对训练
例1 ⊙O的半径为10cm，点A、点B、点C到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、点B、点C
与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 .
【针对训练】
1.已知⊙O的面积为25π：
1）若PO=5.5，则点P在 ；
2）若PO= 4 ，则点P在 ；
3）若PO= ，则点P在圆上；
4）若点P不在圆外，则PO__________．
2.设⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0，0)，点 P的坐标为(4，-3)，
则点P在__________.
3.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长
均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，
则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A．E、F、G B．F、G、H
C．G、H、E D．H、E、F
4.体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4 m和5.1 m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域
内？
5.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ❑√3 ，则点P在（ ）
A.在大圆内 B.在小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外
【设计意图】理解与掌握点和圆的位置关系，会运用它解决一些实际问题.
例2 一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )
A．16cm或6 cm B．3cm或8 cm C．3 cm D．8 cm
【针对训练】
1.在同一平面内，在⊙O外有一个定点P到圆上的距离最长为10，最短为2，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【设计意图】利用点和圆的位置关系确定半径.
（四）探究新知
【问题一】平面上有一点A ，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？
师生活动：教师提出问题，学生通过画图得出：能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为
这点与点A的距离.
【问题二】平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有几个？圆心在哪里？
师生活动：教师提出问题，学生通过画图得出：能画出无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上.
【问题三】平面上有三点A、B、C，经过已知点A、B 、C的圆有几个？圆心在哪里？
师生活动：教师提出问题，学生通过画图得出：
1）经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
2）经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
3）经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
即不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
【设计意图】会过一点、过两点，以及经过不在同一直线上的三点做圆，体会确定圆心和半径是确定
圆的基本要素.
【提问一】通过预习，你能说出三角形的外接圆的概念吗？
师生活动：教师提出问题，学生给出答案：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.这个三角
形叫做这个圆的内接三角形.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
【提问二】
1）如右图，⊙O叫做△ABC的________， △ABC叫做⊙O的____________.
2）一个三角形的外接圆有几个？
3）一个圆的内接三角形有几个？
4）你知道三角形外心的性质吗？
【试一试】请做出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆．这些外接圆的圆心在什么位置？
师生活动：学生动手画图、交流、思考，得到锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆圆心分
别在：三角形内、斜边中点、三角形外.
（五）典例分析与针对训练
例3 判断：
1)经过三点一定可以作圆.（ ）
2)三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点.（ ）
3)三角形的外心到三边的距离相等.（ ）4)等腰三角形的外心一定在这个三角形内.（ ）
5)已知圆心和半径可以作一个圆.（ ）
6)经过一个已知点A的圆能做无数个.（ ）
7)经过两个已知点A，B的圆能做两个.（ ）
8)经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆.（ ）
例4 如图，已知 ⏜ ，试确定 ⏜ 所在的圆的圆心.
AB AB
A B
【针对训练】
1.如图，CD 所在的直线垂直平分线段AB，怎么用这样的工具找到圆形工件的圆心？
2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是 ________，半径是 ________
3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、−2），则
△ABC外接圆的圆心坐标是( )
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
【设计意图】让学生判断三角形外接圆圆心位置.（六）探究新知
【问题一】经过同一条直线上的三个点A，B，C能做出一个圆吗？如何证明你的结论？
师生活动：教师引导学生动手画图，发现画不出来，但是又不能肯定，此时介绍反证法这一数学证明
方法．
【问题二】简述反证法的一般步骤？
师生活动：教师提出问题，先由学生根据所学知识回答，再由教师归纳与总结：
1）假设命题的结论不成立
2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾
3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
【设计意图】对反证法的理解．
（七）典例分析与针对训练
例5 已知ΔABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B<90°
③假设在ΔABC中，∠B≥90°④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【针对训练】
1．用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于等于45° B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45° D．有一个内角小于45°
2.求证：等腰三角形的底角必为锐角．
3.用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”
证明：假设所求证的结论不成立，即
∠A 60°，∠B 60°，∠C 60°，
则∠A+∠B+∠C＞ ．
这与 相矛盾．
∴ 不成立．∴ ．
4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，l ∥l ，l ，l 都被l 所截．
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求证：∠1+∠2=180°．
证明：假设∠1+∠2 180°，
∵l ∥l ，∴∠1 ∠3，
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∵∠1+∠2≠180°
∴∠3+∠2 180°，这与 矛盾，
∴假设∠1+∠2 180°不成立，即∠1+∠2=180°；
【设计意图】通过配套练习，加深对反证法的理解．
（八）直击中考
1．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，
BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·江西·统考中考真题）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其
中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（2023·湖南·统考中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角
小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．则三角形的三个内
角的和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个
内角小于或等于60°．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
4．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=45°，
AC=❑√2，则⊙O的半径是 ．5．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，
C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也
是O的三角形都写出来 ．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.
（九）归纳小结
1.简述点与圆的位置关系？
2.简述三角形的外接圆和三角形外心的概念？
（十）布置作业
P89：习题24.2 第1题、第7题、第9题
