文档内容
2025 年安徽省芜湖市无为市部分学校九年级二模联考数学试题
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出 四个选项，
其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列四个实数中，比 小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握负数的大小比较方法是解题的关键．
根据负数比较大小中，绝对值越大数字越小进行比较即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：B．
2. 据统计： 年我国新能源汽车产量超过 万辆，其中 万用科学记数法表示为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．用科学记数法表示较大数时的形式为 ，其中 ，
n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0的数字后面即可，确定n的值时，n比
这个数的整数位数小1．
【详解】解： 万 ，
故选：B．3. 下列计算结果等于 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方运算，根据以上运算法则进行计算即可求
解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 文房四宝是中国古代传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚，也是安徽的特产，被联合国教科文组
织列为世界级“非物质文化遗产”，如图是一个砚台，则其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形如下：
故选：C．5. 已知半径为 ，圆心角为 ，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查扇形的面积．解题的关键是掌握扇形面积计算的公式：在半径为 的圆中，圆心角为
的扇形的面积为 ．据此将数据代入公式进行计算即可．
【详解】解：∵半径为 ，圆心角为 ，
∴该扇形的面积为： ．
故选：C．
6. 关于反比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A. 它与直线 没有交点 B. 随着 的增大而增大
C. 图象位于第一、三象限 D. 图象经过点 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，正比例函数的图象性质，熟悉掌握图象性质是解题的关键．
根据反比例函数的图象性质逐一判断即可．
【详解】解：A： 经过二，四象限， 经过一，三象限， 它与直线 没有交点，
故A正确；
B： 在每一个象限内 才会随着 的增大而增大，故B错误；
C： 经过二，四象限，故C错误；D：把 代入 可得： ，解得： 或 ，故D错误；
故选：A．
7. 如图，在等腰 中， ，点 为 的内心，连接 交 于点 ，连接
交 于点 ，若 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、内心定义、解直角三角形，角平分线定理及相似三角形的
应用．根据题意得到 ，结合等腰三角形的三线合一得到 ，证出
，利用相似三角形的性质和解直角三角形得出结果即可．
【详解】解：∵点 为 的内心，
∴ ，
由于 也是等腰三角形
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
8. 已知实数a，b，c满足 ， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式和解不等式，由 得到 ， ，然后分别
代入 和 计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∵ ，
∴
，
综上所述， ， ，
故选：D．
9. 如图，正方形 按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点 在 边上，且
，连接 交 于点 ，连接 ，则下列结论中，不能使 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等待，
对于A选项，可证明 得到 ；对于B选项，延长 到 ，使得
，连接 ，证明 ，得到 ， ，再证明，得到 ，则可证明 是等腰直角三角
形，得到 ；对于C选项，设 ，则 ，求出 ，
再由 ，得到 ，据此可得
，则 ，同A选项可证明 ；对于D选项，可证明 ，由B
选项的证明过程可知，只有当 时才能证明结论，故D选项结论错误，
符合题意．
【详解】解：当 时，则 ，即 ，
∵四边形 和四边形 都是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A结论正确，不符合题意；
当 时，如图所示，延长 到 ，使得 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，故B结论正确，不符合题意；
当 时，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴同A选项可证明 ，故C结论正确，不符合题意；
由正方形的性质可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由B选项的证明过程可知，只有当 时才能证明结论，
故D选项结论错误，符合题意；
故选：D．
10. 如图，在四边形 中， ，连接 ，若 ，且 ，则 的最
小值为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆的有关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握知识点的应
用是解题的关键．
取 中点 ， 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 ，可得点 在以点 为圆心，
长为直径的圆上， ，然后证明 ，所以 ，即
有 ，当 三点共线时， 有最小值，设 ，则 ，
，再通过勾股定理求出 即可．
【详解】解：如图，取 中点 ， 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 ，
则 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 在以点 为圆心， 长为直径的圆上， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 三点共线时， 有最小值，
设 ，则 ， ，
由勾股定理得： ，
∴ ，∴ ，
故选： ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： _____________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，熟悉掌握相关运算法则是解题的关键．
根据开平方运算和零指数幂的运算法则化简运算即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
12. 黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增
加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： _____________ ．（填“ ”，“
”或“ ”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割数，实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值是解题的关键．
分别运算出两数的近似值再作比较即可．
【详解】解：∵黄金分割数 ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于 ， 两点，点 在反比例函数第一象限的图象上且坐标为 ，若 的面积为 ，则 的值为____________．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 如 图 ， 连 接 ， 过 点 作 轴 于 点 ， 过 点 作 轴 于 点 ， 则
，根据题意求得 ，由 ，即
可得出 ，解方程求得 的值，从而求得 ．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数 的几何意义，反比例函数与正比例函
数的中心对称性，正确表示出 的坐标是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于 ， 两点， 的面积为 ，∴ 、 关于原点对称，
∴ ，
∴ ，
∵点 在反比例函数 第一象限的图象上，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ．
故答案 ： ．
为
14. 如图，4个全等的矩形按如图方式排列， 四个点在同一条直线上．（1） 的度数为____________；
（2）若 ，则 的值为____________．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质；
（1）利用矩形对边平行以及三角形的外角求解即可；
（2）过 作 交 延长线于 ，证明 ，则 ，设矩形
的
宽为 ，则 ， 再在两个 直角三角形 和 中求
出 ， ，最后根据 计算即可．
【详解】解：（1）如图所示，延长 、 所在的矩形边长交 于 、 ，∵4个全等的矩形，
∴ ， ， ， ，
由图可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）过 作 交 延长线于 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设矩形的宽为 ，则 ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
解得 ， （负值已舍去），
．
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，利用去分母，移项，合并同类项的步骤解不等式即可．
【详解】解： ，
去分母，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ．
16. 某景区2023年接待游客总数为480万人次，2024年游客总数增长 ，省内与省外游客分别按
和 的比例增长，求2023年的省内、省外游客各为多少万人？
【答案】省内游客为360万人，省外游客为120万人
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．设2023年省内游客为 万人，省外游客为 万人，根据2023年接待游客总数为480万人次，2024年游客总数增长 ，
省内与省外游客分别按 和 的比例增长，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设2023年省内游客为 万人，省外游客为 万人，
由题意得 ，
解得 ，
答：2023年省内游客为360万人，省外游客为120万人．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）以点 为旋转中心，将 旋转 ，得到 ，请画出 ；
（2）将线段 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到线段 ，画出线段 ；（点
与点 对应，点 与点 对应）
（3）画出格点 ，使得 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转作图，平移作图，三角函数的比值关系，熟悉各性质是解题的关键．
（1）由旋转性质作图即可；
（2）由平移性质作图即可；（3）设 ， ，利用三角函数的比值关系求出 的值后即可找到 的位置．
【小问1详解】
由旋转性质作图可得：
如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
由平移的性质作图可得：
如图所示，线段 即为所求；
【小问3详解】
解：由题意可得：
格点 即为所求．
作图思路：
对图形进行以下标注：∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
过点 作关于点 的对称点 ，则此时 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
作直线 ，
当点 在 上时，
设 则 ，
解得： ，
∴在 中， ，即 ，
解得： ，
∴ ，
当 为等腰直角三角形的斜边时，设直角边长为 ，则 ，
解得： ，
∴即点 向下四个单位，向左四个单位即可得到一个 点．
18. 【规律发现】
第1个等式： ；
第2个等式： ；第3个等式： ；
．．．
【规律应用】
（1）写出第4个等式：____________；写出你猜想的第 个等式：_____________（用含 的等式表示）；
（2）根据以上的规律计算出结果： ．
【答案】（1） ；
（2）7125
【解析】
【分析】本题主要考查整式数字类规律探索；
（1）根据题意，总结出规律即可求出；
（2）根据总结出的规律进行运算求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，第4个等式为： ，
第 个等式为： ；
故答案为： ； ．
【小问2详解】
解：
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿 处投射到底部 处，入射光线与水槽
内壁 的夹角为 ；
第二步：向水槽注水，水面上升到 的中点 处时，停止注水．（直线 为法线， 为入射光线，
为折射光线．）
【测量数据】
如图，点 ， ， ， ， ， ， ， ， 在同一平面内，测得 ， 折射角
．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求 的长；
（2）求 ， 之间的距离（结果精确到 ）．（参考数据：
）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角函数的比值关系，熟悉掌握三角函数的比值关系是解
题的关键．
（1）利用等腰三角形的性质求解即可；
（2）利用三角函数的比值关系运算出 的长，即可通过 求解．【小问1详解】
解：由题意可得： ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
由题意可得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
在 中， ，
∴ ．
20. 如图， 为 的直径， 为 的弦， 交 于点 ，延长 至点 ，连接
并延长与 的延长线交于点 ．
的
（1）求证： 为 切线；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的切线的判定及性质，解直角三角形的相关知识．
（ 1 ） 连 接 ， 由 得 ， 由 得 ， 再 根 据可得 ，即可得出结论；
（2）先由已知证明 ，即可得 ，设 ，则
， ， ， ，再由勾股定理可求出x和 的长．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
，
，
，
，
，
，即 ，
，而点 在圆上，
为 的切线；
【小问2详解】
解： ，
，
，，
，
，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 为了了解和加强青少年心理健康教育，某校组织了全校学生进行了心理健康常识测试，并随机抽取了
这次测试中部分同学的成绩，将测试成绩按下表进行整理．（成绩用x分表示）
测试成绩
级别 及格 中等 良好 优秀
并绘制了如下不完整的统计图：请根据所给 的信息解答下列问题：
（1）请直接写出参加此次调查的学生的人数为__________人，并补全条形统计图；
（2）下列结论一定正确的是__________；
①所抽取学生的平均成绩为85分；②这组数据的中位数一定在良好级别里；③这组数据的众数一定在优秀
等级里；
（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人去参加区级测试，试求恰好选中1男1女的
概率．
【答案】（1）80；见解析
（2）② （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，平均数、中位数、众数的定义，树状
图或列表法求概率．
（1）根据优秀的人数和所占的百分比即可求出此次调查的学生的人数，用总人数减去其它组的人数求出
良好的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）根据平均数、中位数、众数的定义逐个判断即可；
（3）根据题意画出树状图，根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：参加此次调查的学生的人数为 （人），
良好的人数为 （人），
补全条形统计图如下：故答案为：80；
【小问2详解】
解：①没有学生成绩的具体数据，所以所抽取学生的平均成绩不确定，故①不一定正确；
②中位数是成绩从低到高排列的这组数据的第40、41个数据的平均值，这组数据的中位数一定在良好级别
里，②一定正确；
③没有学生成绩的具体数据，所以众数不能确定，故③不一定正确；
故答案为：②；
【小问3详解】
解：画出树状图如下：
共有12种等可能情况，其中选中一男一女有8种可能，
选中一男一女的概率为 ．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在矩形 中， ， ，点 是 上一点，且 ，点 是 上一点，
连接 ，将 沿 折叠，使点 的对应点 落在矩形 的内部，连接 ．
（1）若点 落在 上，求 到 的距离；（2）如图2，若点 落在对角线 上，求 的长；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定，相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数的比值
关系，合理作出辅助线是解题的关键．
（1）利用折叠的性质判定出四边形 为正方形即可求解；
（2），过点 ， 分别作 ， ，判定出 ，再利用相似三角形的比值关
系列式运算即可．
【小问1详解】
解：若点 落在 上，则点 与点 重合，则四边形 为矩形，如图所示：
又∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ；
【小问2详解】
如图，过点 ， 分别作 ， ，则 ，如图所示：
设 ，则 ， ， ，， ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 整理得 ，解得 或 （舍去），
∴ ．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，定义两个函数 ．
（1）如果函数 的图象经过点 ，函数 的图象经过点 ，求 的值；
（2）如果 ，判断函数 的图象与 轴的交点情况；
（3）若点 在 上，点 在 上，求 的最小值．
【答案】（1）10 （2）无交点
（3）
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，完全平方公式；
（1）利用待定系数法求出 再结合完全平方公式计算即可；
（2）表示出判别式 再根据题意得到 ，判断出 即可求出结果；
（3）利用待定系数法求出 整理得到 ，根据二次函数
的性质得到在对称轴处取得最小值，计算即可．
【小问1详解】
解：把 ， 分别代入 中，
得
，
【小问2详解】
解：由题意得
即 的图象与 轴没有交点；
【小问3详解】
解：把 ， 分别代入 中，得：
由题意得 ，
即
设
图象开口向上∴在对称轴 处取得最小值，
把 代入 中得
∴ 的最小值为 ，
∵
当 时，ab的最小值为 ．
