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23.1 图形的旋转
【考点归纳】【知识梳理】
知识点一．旋转的概念：
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做__旋转中心，转动的角叫做_
旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的_对应点_．
旋转有三要素：（1）旋转中心；（2）_旋转方向_；（3）_旋转角度_．
知识点二．旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等．
知识点三．旋转作图的基本步骤
（1）明确旋转中心，旋转方向和旋转角．
（2）找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置．
（3）按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形．
【题型探究】
题型一：生活中的旋转现象
【例1】．下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A选项中，可看作“基本图案”经过旋转得到，符合题意；
B选项中，可看作“基本图案”经过轴对称得到，不符合题意；
C选项中，可看作“基本图案”经过平移缩放得到，不符合题意；
D选项中，可看作“基本图案”经过平移得到，不符合题意．
故选：A．
【变式1】．下列选项中不能由下图旋转得到的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．该图形与原图形完全相同，可由原图形旋转 （或 ）得到，故此选项不符合题意；
B．原图形绕某点旋转一定角度（如 ）后，可得到此图形，因为形状、大小未变，只是方向改变，故此选项不
符合题意；
C．图形不能由由原图形经过旋转得到，故此选项符合题意；
D．原图形绕某点旋转一定角度（如 ）后，可得到此图形，形状、大小不变，方向改变符合旋转性质，故此选
项不符合题意；
故选：C．
【变式2】．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（ ）
A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动
C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行
【答案】B
【详解】解：A． 升旗的过程属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意；
B． 摩天轮的转动属于旋转，故该选项符合题意；
C． 汽车刹车时的滑动属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意；
D．电梯的运行属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题
故选：B
题型二：旋转的三要素
【例2】．在如图所示的正方形网格中，四边形 绕某一点旋转某一角度得到四边形 （所有顶点都是网格线交点），在网格线交点 中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【详解】解：如图，连接 ， ，分别作 ， 的垂直平分线，其交点为点 ，则旋转中心是点 ．
故选：A．
【变式1】．如图，将 绕点 旋转后得到 ，则旋转方式是（ ）
A．顺时针旋转 B．逆时针旋转
C．顺时针旋转 D．逆时针旋转
【答案】D
【详解】解：观察图形可知，旋转角为 ，
∴将 绕 点逆时针旋转 后得到 ，
故选：D．
【变式2】．如图，在 的正方形网格中， 绕某点旋转 ，得到 ，则旋转中心是（ ）A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】C
【详解】解：由图可得 ，
令正方形网格的边长为1，
则 ，
，
，
所以点F为旋转中心．
故选：C．
题型三：旋转性质求角度问题
【例3】．如图，在三角形 中， ，将三角形 绕点 按逆时针方向旋转 得到三角形 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵将三角形 绕点 按逆时针方向旋转 得到三角形 ，
∴ ，
故选：D．
【变式1】．如图，在 中， ，将 绕点B逆时针旋转，得到 ，点D恰好落在 的延长线上，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由旋转可知： ．
∵点D在 的延长线上，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即旋转角的度数为 ．
故选：A．
【变式2】．如图，将 绕点C顺时针旋转后得到 ，且点 恰好落在边 上，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： 绕点 顺时针旋转后得到 ，
， ，
，
，
，
，
故选：D．
题型四：旋转性质求线段问题
【例4】．如图，将矩形 绕点A逆时针旋转，得到矩形 ，点 的对应点 落在 上，且 ，则 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
，
，
矩形 绕点 逆时针旋转，得到矩形 ，
．
故先选：C．
【变式1】．如图，在等边 中， ，点 是 的中点，将线段 绕点 逆时针旋转 后得到 ，
连接 ，那么线段 的长为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【详解】解： 是等边三角形，
，又 是 的中点， ， ， ，
， 将线段 绕点 逆时针旋转 后得到 ，
， ，是等边三角形，
，
故选： ．
【变式2】．如图，在 中， ， ， ，将 绕点A逆时针旋转，点C落在边 上
的E处，则B、D两点间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
连接 ，在 中，根据勾股定理可得 ，由旋转的性质可得 ，
， ，进而可得 ，由邻补角互补可得 ，
在 中，根据勾股定理可得 ，由此即可求出B、D两点间的距离．
【详解】解：如图，连接 ，
在 中， ， ， ，
根据勾股定理可得：
，
由旋转的性质可得：
， ， ，
，
，
在 中， ， ，
根据勾股定理可得：
，故选： ．
题型五：旋转中的坐标问题
【例5】．如图， 的顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，将 沿 方向平移，使
点 与点 重合，再将所得三角形绕点 逆时针旋转 ，则点 的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意，平移和旋转所得图形如图所示，连接 交x轴于点M，
的顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
将 沿 方向平移，使点 与点 重合，则 ， ，
， ，
即 的坐标为 ，
即 ，
∴ ，
∵将所得三角形绕点 逆时针旋转 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 轴，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，观察图形，得出点 在第三象限，即点 的坐标是 ，
故选：C．
【变式1】．如图，线段 在直角坐标轴中，已知 ，将线段 绕点 逆时针旋转 后，点 的
对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ．
线段 绕点 逆时针旋转 ，
， ，
， ， ，
，
，
， ，
， ，
， ，
，
．
故选：D．【变式2】．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知 ，点A的坐标是
，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转 ，则点B的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，设点B的对应点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D，
∵点A的坐标是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴点C的坐标为 ，
故选：B．
题型六：旋转中的规律问题
【例6】．如图，菱形 的对角线交于原点O， ， ．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次
旋转 ，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转 ， ，
∴旋转4次后回到原来的位置，
∵ ，
∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限，
如图：过点A作 轴于点E，延长 到 点，使 ，过点 作 轴于点F，∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ， ，∴ ，故第2023次旋转结束时，点C的坐标为
．
故选：C．
【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，将正方形 绕点 逆时针旋转 后得到正方形 ，依此方式，
绕点 连续旋转2025次得到正方形 ，如果点A的坐标为 ，那么点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵点 的坐标为 ，四边形 是正方形，∴点 的坐标为 ，
，
四边形 是正方形，
，
连接 ，如图：
由勾股定理得： ，
由旋转的性质得： ，
将正方形 绕点 逆时针旋转 后得到正方形 ，
相当于将线段 绕点 逆时针旋转 ，依次得到 ，
， ， ， ， ， ， ， ，
发现是8次一循环，则 余1，
∴ 是第253组的最后一个点， 是第254组的第一个点，
点 的坐标为 ，
故选：B．
【变式2】．如图，正方形 中，其中 ， ，将正方形 绕点 逆时针旋转，每次旋转 ，
问 次旋转后点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过C点作 轴于H点，如图，
∵ ， ，∴ ∵四边形 是正方形
∴ ∴ ∵ ∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵将正方形 绕点 逆时针旋转，每次旋转 ，且旋转 次
∴
∴逆时针旋转503次相对于顺时针旋转 ，
即把 绕点 顺时针旋转 ，得 ，过 作 轴，
∴
∵
∴∵
∴
∴
∵点 在第四象限
∴点 的坐标为
故选：B
题型七：旋转几何变换之线段问题
【例7】．正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 边上的点，且 ．将 绕点 逆时针旋
转 ，得到 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）证明： ，
，
由旋转的性质可知， ， ，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设 ，
， ，
，，
，
在 中，由勾股定理得：
，即 ，
解得： ，
则 ．
【变式1】．如图，点M、N分别在正方形 的边 上，且 ，把 顺时针旋转一定角
度后得到 ．
(1)填空： 绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到 ；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求正方形 的边长．
【详解】（1）解：在正方形 中， ，
又 顺时针旋转一定角度后得到 ，
绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到 ,
故答案为：A，90；
（2）证明：由旋转的性质得： ，
四边形 是正方形，
，即 ，
，即 ，
，
，
在 和 中，
，；
（3）解：设正方形 的边长为 ，则 ，
，
，
由旋转的性质得： ，
，
由（2）已证： ，
，
又 四边形 是正方形，
，
则在 中， ，
即 ，
解得 或 （不符题意，舍去）
故正方形 的边长为 ．
【变式2】．如图1，正方形 的边长为 ，点 为正方形 边上一动点，过点 作 于点 ，将
绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ．
(1)证明： ．
(2)延长 交 于点 ．判断四边形 的形状，并说明理由；
(3)若 ，求线段 的长度．
【详解】（1）证明：由题意和旋转的性质可得： ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ；
（2）解：四边形 是正方形，理由如下：
由（1）得： ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形；
（3）解：∵正方形 的边长为 ，
∴ ，
设正方形 的边长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴ ，
∴线段 的长度为 ．
题型八：旋转几何变换之面积问题
【例8】．如图，已知正方形 ， 是正方形 内一点．若 ， ，将 绕点 顺时针旋
转至 处，此时点 、 、 三点正好在同一直线上．(1)求 的度数；
(2)求 的长；
(3)求 的面积．
【答案】(1) (2) (3)3
【详解】（1）解： 正方形 ，
，
将 绕点 顺时针旋转至 处，
，且旋转角度为 ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
点 、 、 三点正好在同一直线上，
；
（2）解： ， ， ，
， ，
，
，
是等腰直角三角形， ，
，
；
（3）解： 是等腰直角三角形， ，
，
，，
过点 作 于点 ，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
【变式1】．如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ，
(1)请画出 关于 轴对称的 ，并写出点 的坐标；
(2)请画出 绕点 顺时针旋转 后的 ；
(3)在 旋转到 的过程中，则 扫过的面积为______．【答案】(1)见详解， (2)见详解 (3)
【详解】（1）解：如图，
即为所求，
（2）如（1）所示， 即为所作；
（3） 旋转到 的过程中， ， ，
，
扫过的面积为： ，
故答案为： ．
【变式2】．（1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， C上，若 ，则 ， ，
之间的数量关系为________________；（提示：以点 为旋转中心，将 顺时针旋转90°）
解决问题：
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形， ， ， 是底边 上任意两点，且满足
，试探究 ， ， 之间的关系；
拓展应用：
（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形 ， ，菱形的边长为 ， ， 分别为边 ， 上
任意两点，且满足 ，请直接写出四边形 的面积．【答案】（1） （2）见解析（3）
【详解】（1） ，理由如下：
如图，以点 为旋转中心，将 顺时针旋转 得 ，
将 顺时针旋转 得 ，
， ， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
（2）如图，以点 为旋转中心，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．
绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ， ．
由题知， ， ，
．
．
．
，．
．
是等腰直角三角形，
．
．
，
．
（3） ．
如图，连接 ，过点 作 于 ，
四边形 是菱形， ，
， 是等边三角形，
， ，
，
，
，
是等边三角形， ，
，题型九：旋转几何变换之角度问题
【例9】．如图，点E是正方形 内一点，将 绕点A顺时针旋转至 ，点E的对应点为点F．
(1)若 ， ，求 的度数．
(2)连接 ，若 ，求线段 的长．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解∶ ，
，
绕点 顺时针旋转至 ，
，
；
（2） 绕点 顺时针旋转至 ，点 的对应点为点 ，
旋转至 的位置，旋转角为 ，
，
．.
【变式1】．如图，在四边形 中， ，连接AC，将 绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重
合，得到 ，若 ，
(1)求证： 是等边三角形；
(2)求线段 的长度．【答案】(1)证明见解析 (2)线段AC的长度是
【详解】（1） 是由 旋转得到的，
，
， ， ，
是等边三角形
（2） 是等边三角形，
，
，
，
在 中， ，
【变式2】．如图，在 中， ，点 为 边上一点（不与点 重合），连接 ，将
绕点 逆时针旋转得到 ．
(1)若 ，写出旋转角及其度数；
(2)当 度数变化时， 与 之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时，
，
∵ 旋转得到 ，其中 旋转到 .
∴旋转角为 ；
（2）∵ ，
，
∵ 旋转得到 ，
，
，即 ，
，
即 ， ；
题型十：旋转几何变换压轴问题
【例10】．将矩形 绕点A顺时针旋转 ，得到矩形 ．
(1)如图，当点E在 上时．
①若 ，则 _____________°；
②求证： ；
(2)探究：当 为何值时， ？请你画出图形，并说明理由．
【答案】(1)① ；②见解析 (2) 或 ，见解析
【详解】（1）解：① 四边形 是矩形，
，
由旋转得： ，
，
，
，
故答案： ；
②由旋转可得：
，
，
，
，
又 ，
，
，
在 和 中，
（ ），
，
又 ，
．
（2）解：如图，当 时，
则点G在 的垂直平分线上，
①当点G在 右侧时，取 的中点H，连接 交 于M，
，
，
四边形 是矩形，
，
垂直平分 ，
，
是等边三角形，
，
旋转角 ；
②如图，当点G在 左侧时，
同理可得 是等边三角形，
，旋转角 ．
【变式1】． 中， ，垂足为E，连接 ，将 绕点E逆时针旋转 得到 ，连接 ．
(1)当点E在线段 上， 时，如图①，求证： ：
(2)当点E在线段 延长线上， 时，如图②；当点E在线段 延长线上， 时，如图③，
请猜想并直接写出线段 ， ， 的数量关系；
(3)在（1）、（2）的条件下，若 ， ，则 ______．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 绕点E逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：当 时，如图②：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 绕点E逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ；
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当 时，如图③：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 绕点E逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上： 或 ；（3）解：由（1）可知，当点E在线段 上， 时， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由②可知： 或 ，
∵ ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ，
或 (不符合题意，舍去)，
或 ，
综上： 或7．
故答案为：1或7．
【变式2】．如图，四边形 是正方形，连接 ，将 绕点A逆时针旋转α得到 ，连接 ，O
为 的中点，连接 ．
(1)如图1，当 时，求证： ．
(2)如图2，当 时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴
∵ 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∴∵O为 的中点，
∴ ，
∴ ．
（2）成立，理由如下：
连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ 即
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，即
∵O为 的中点，
∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ．
【高分演练】
一、单选题
1．下列情境属于旋转的是（ ）
A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动
C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管
【答案】A
【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意；
B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意；
C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意；
D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意；
故选：A．
2．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若 可以由 旋转得到，则正确的旋转方式是
（ ）
A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转
C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转
【答案】C
【详解】解：观察图形， 由 旋转得到，对应点 ， ，旋转中心为 ；
绕点 逆时针旋转 到 绕点 逆时针旋转 到 ，
故旋转方式是绕点 逆时针旋转 ．
故选：C．
3．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转得到 ，点D恰好落在 的延长线上，则旋
转角的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由旋转性质可知∶ ，∵点D恰好落在 的延长线上，∴ ，∴ ，
即旋转角的度数是 ，
故选：B．
4．如图，在 中， ，将 绕着点O逆时针旋转 后得到 ．若 ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵将 绕着点O逆时针旋转 后得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
5．如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转 得到 ．下列结论错误
的是（ ）
A． B．
C．B，E两点之间的距离为8 D．A，C，E三点共线
【答案】B
【详解】解：如图，连接 ，∵将 绕点C顺时针旋转 得到 ， ，
∴ ， ，故A选项正确，不符合题意；
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，A，C，E三点共线，故C、D选项正确，不符合题意；
根据题意，无法得到 的度数，则无法得到 与 的位置关系，故B选项错误，符合题意．
故选：B
6．如图，菱形 的对角线 、 交于点 ，将 绕着点C旋转 得到 ，连
接 ，则 的长是( )
A．3 B．4 C．5 D．7
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 绕着点C旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
7．如图，将 绕点 顺时针旋转得到 （点 、 的对应点分别是点 、 ），点 恰好落在 的延
长线上，连接 ，若 ， ， ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 将 绕点 顺时针旋转得到 （点 、 的对应点分别是点 、 ），
， ， ，
，
．
， ， ，
，
，
是直角三角形，且 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：A ．
8．如图，正方形 中，点 为对角线 上一点， ． 且 ，连接 ．将线段
绕点 逆时针旋转得到线段 ，使 ，则 的度数为（）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】解：如图，线段 绕点 逆时针旋转得到线段 ,
,
四边形 是正方形，
,
,
,
在 和 中，
,
,
,
为正方形 的对角线，
,
当点 在 的下方时， ,
当点 在 的上方时， ,
综上所述， 的度数为 或 ，
故选：C.
9．如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转 角 至 ，
使得点 恰好落在 边上，则 等于（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】解： ，
．
将 绕点 顺时针旋转 角 至 ，
， ，
是等腰三角形，且 ，
是等边三角形，
．
故选：D．
10．如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点O， ，现以点O为旋转中心，将 所在的直线
绕点O逆时针旋转一定的角度，旋转之后的直线与边 ， 所在的直线分别交于点E，F，连接 、 ，要
使四边形 是矩形，这个旋转角的度数最小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，∵四边形 是菱形，
∴ ，即 ，
∵四边形 是矩形，
，
∴ ，
即 ，
，
，
即把 所在的直线绕 点逆时针旋转最小的角是 ．
故选：C．
11．如图，菱形 的对角线交于原点O， ， ．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转
，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转 ， ，
∴旋转4次后回到原来的位置，
∵ ……1，
∴第 次旋转结束时，点C在第一象限，
如图：过点A作 轴于点E，延长 到 点，使 ，过点 作 轴于点F，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
，
， ，
∴ ， ，
∴ ，∴第 次旋转结束时，点C的坐标为 ，
故选：C．
12．如图，点 在正方形 的边 上，将 绕点 顺时针旋转 到 的位置，连接 ，过点
作 的垂线，垂足为点 ，与 交于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，中垂线的性质，勾股定理，连接 ，根据旋转，得到 ，
三线合一，推出 垂直平分 ，进而得到 ，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∵旋转
∴ ， ，
∴ ，
∴ 三点共线，
∵过点 作 的垂线，垂足为点 ，与 交于点 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得 ，即： ，解得 ，∴ ；
故选B．
二、填空题
13．如图，把 绕着点 顺时针旋转 ，得到 ，若 ，则 ．
【答案】 / 度
【详解】解： 绕着点 顺时针旋转 ，得到 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
14．如图，在 中， ， ，点 ， 在边 上， ， ， ，则
的长 ．
【答案】
【详解】解：如图，将 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
15．如图，在 中， ， ， ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接
，则 的长为 ．
【答案】
【详解】由旋转的定义和性质得： ，
，
，
在 中， ，
故答案为： ．
16．某AI（生成式人工智能）图像识别系统对平面直角坐标系 中的图形进行分析，将边长为2的正方形
（其中点A与原点O重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上），按照特定算法进行变换：先将各点的横、纵坐标都乘以2，再将所得图形绕原点顺时针旋转 ．那么点C在经过两次变换后的对应点 的坐标
为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得点C的坐标为 ，且 ，
将各点的横、纵坐标都乘以2后，得到点 的坐标为 ，即 ，且 ，
，
将所得图形绕原点顺时针旋转 ，得到点 的坐标为 ，
故答案为： ．
17．如图，点 是正方形 的边 上一点，把 绕点 顺时针旋转 到 的位置．过点 作
于点 ，连接 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
由 旋转得到，
， ，
，
点 是 的中点，， ，
， ，
点 是 的中点，
故答案为：
18．如图，在等边 中， ，点 是 边上一动点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
点 是 边的中点，连接 、 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【详解】解： 是等边三角形，
， ，
由旋转的性质可知， ， ，
，
，
，
即点 在以点 为顶点，且与 夹角为 的直线上运动，
如图，过点 作 于点 ，
当点 在点 处时， 取得最小值，即为 的长，
点 是 边的中点，
，
在 中， ，
，，
即 的最小值是 ，
故答案为： ．
三、解答题
19．如图，在 的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位）， 的三个顶点都在格点上．建
立如图所示的直角坐标系．
(1)将 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出旋转后的图形．
(2)写出点 、 的坐标．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，
（2）解：由图可知，点 、 的坐标分别为 ．
20．如图，在 中，点 在 边上， ，将边 绕点 旋转到 的位置，使得 ，连
接 与 交于点 ，且 ， ．(1)求证： ；
(2)求 的度数．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵由旋转得， ，而 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴根据三角形内角和可得 ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
21．如图， 中， ，将 绕A点逆时针旋转得到 ，连接 交于点
F．
(1)求 的度数；
(2)若 ，四边形 是菱形，求 的长度．
【答案】(1) (2)【详解】（1）解：∵ 绕A点逆时针旋转得到 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 、 相交于O，如图，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ；
（2）解：∵ ，四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22．如图，点 是等边 内一点，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，请直接写出 的度数．
【答案】(1)见解析 (2)【详解】（1）证明： 绕点B逆时针旋转 得到 ，
， ，
是等边三角形．
，
，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： ， ，
是等边三角形，
， ，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
．
23．如图，在正方形 中，E、F是对角线 上的两点，连接 ，将线段 绕点A顺时针旋转 得到
线段 ，连接 ．
如图，在正方形 中， ， 是对角线 上两点， ，将 绕点
顺时
(1)求证： ；(2)若 ，求 的长．
【详解】（1）证明：∵将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由(1)得 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ．
24．已知：如图 和 都是等边三角形．D是 延长线上一点， 与 相交于点P， 与 相交
于点M．
(1)说明： 是 经过怎样的旋转得到的？（请从旋转“三要素”加以说明）(2)在图①中，①求证： ；
② ______ ．
(3)当 绕点C沿逆时针方向旋转到图②时，
① 的度数会发生变化吗？请说明理由？
②求证：点C落在 的角平分线上．
【详解】（1）解：∵ 和 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 绕点C顺时针旋转 得到的；
（2）①证明：∵ 和 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
②解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）①解： 的度数不会发生变化，
∵ 和 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，②证明：连接 ，过点C作 ， 于点H，G，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ．
∴点C落在 的角平分线上．
【点睛】本题考查旋转的定义，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，证明三角
形全等是解题的关键．
25．如图1，点E为正方形 内一点， ，将直角三角形 绕点A逆时针方向旋转
度 ，点B、E的对应点分别为点 ．
(1)如图2，在旋转的过程中，点 落在了 上，求此时 的长；
(2)若 ，如图3，得到 （此时 与D重合），延长 交 于点F，
①试判断四边形 的形状，并说明理由；
②连接 ，求 的长；
(3)在直角三角形 绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段 长度的取值范围．
【详解】（1）解： ， ，
，
四边形 是正方形，
， ，，
由旋转的性质得： ，
；
（2）解：①四边形 是正方形，理由如下：
由旋转的性质得： ， ， ，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形；
②过点 作 于点 ，如图 所示：
则 ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
∴ ，
；
（3）∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转 度（ ），
点B、E的对应点分别为点 、 ，
∴当 时， 与E重合， 最短 ；当 落在 的延长线上时， ， 最长 ，
∴线段 长度的取值范围是 ．
