文档内容
22.2 二次函数与一元二次方程
【考点归纳】
考点一、抛物线与x轴或y轴的交点左边
考点二、已知二次函数的值求自变量或代数的值
考点三、图像法确定一元二次方程根的近似解
考点四、图解法解一元二次不等式
考点五、由不等式求自变量或函数值的范围
考点六、由二次函数图像确定对于一元二次方程的根
考点七：截线长问题
考点八、二次函数与一元二次方程的综合
【知识梳理】
知识点 二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点情况 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
b2-4ac 的根的情况
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x ，0），（x ，0）两 有两个不相等的实数根x ，x
b2-4ac>0 1 2 1 2
点
b2-4ac=0
抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点（ ， 有两个相等的实数根x =x =
1 2
0）
b2-4ac<0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴无公共点 在实数范围内无解
【题型探究】
题型一、抛物线与x轴或y轴的交点左边
1．（23-24九年级上·陕西延安·期末）如图，抛物线 （其中a为常数）的对称轴为直线 ，与
轴交于 两点，则 的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与 轴的交点，先根据抛物线 （其中a为常
数）的对称轴为直线 求出 ，从而得到抛物线的解析式为 ，求出 的坐标，即可得出答案，
熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解： 抛物线 （其中a为常数）的对称轴为直线 ，
，
，
抛物线的解析式为 ，
令 ，得 ，
解得： ， ，
， ，
，
故选：C．
2．（2024·广东广州·二模）已知二次函数 （a为常数）的图象经过 和 两点，
则二次函数与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，二次函数的对称性，关键是利用对称轴公式解题；
由抛物线的对称性求得对称轴为直线 ，即可得到 ，求得 ，即可求得 ，从而求得二次
函数与y轴的交点坐标为 ．
【详解】解： 和 两点关于抛物线对称轴对称，
抛物线对称轴为直线 ，
，解得 ，
，
二次函数与y轴的交点坐标为 ．
故选：B．
3．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）抛物线 与 轴的一个交点坐标是 ，那么它与
轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、先求得对称轴为直线 ，进而根据对称性，即可求解．
【详解】解： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，
故选：D．
题型二、已知二次函数的值求自变量或代数的值
4．（2023九年级上·全国·专题练习）已知二次函数 ，当 时，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】先求出当 时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：根据题意可得：当 时，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴图象开口向上，
∵ ，∴ 或
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．
5．（20-21九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线 经过点 ，则代数式 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于点 在抛物线上，可把点 的坐标代入抛物线的解析式，得到 的值，再代入代数式即可求出
值．
【详解】解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，求代数式的值，在解决问题的过程中用到了整体思想．把 看成
一个整体并求出其值是解题的关键．
6．（2023·安徽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 （a为常数）．
（1）当抛物线经过 时， ．
（2）当 时， 时， ，则m的取值范围是 ．
【答案】 或1 /
【分析】（1）将点 代入即可得；
（2）将 代入可得二次函数的解析式为 ，再求出 时， 或 ； 时， ，然
后结合二次函数的图象即可得．
【详解】解：（1）将点 代入 得： ，
解得 或 ，
故答案为： 或1；
（2）当 时， ，当 时， ，解得 或 ，
由二次函数的性质可知，当 时， ，
如图，当 时， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质
是解题关键．
题型三、图像法确定一元二次方程根的近似解
7．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知二次函数y=ax2+bx+c（ ， ， ， 为常数）的 与 的部分对
应值如下表：
判断方程ax2+bx+c=0的一个解 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】仔细看表，可发现 的值 和0.09最接近0，再看对应的 的值即可得．本题考查了同学们的估算能
力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
【详解】解：由表可以看出，∵当 时， ；当 时， ；
∴当 取3.25与3.26之间的某个数时， ，即这个数是 的一个根．
则 的一个解 的取值范围为 ．
故选：D．8．（23-24九年级上·全国·单元测试）下表给出了二次函数 中 ， 的一些对应值，则一元二次方程
的一个近似解（精确到 ）为（ ）
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … 0.25 0.76 …
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，求近似解．根据表格可知，方程的根 ，而当 时，
更接近于0，据此分析可得近似解．
【详解】解： ，
整理得： ，
当 时， ，当 时， ，
则方程 的根 ，
而当 时， 更接近于0，
∴原方程的一个近似解为1.4．
故选：B
9．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝
试：在直角坐标系中作出二次函数 的图象．由图象可知，方程 有两个根，一个在
和 之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）
0.56
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y等于0时得到的x值即为方程 的解．分析题干中
的表格，取y值最接近0时x的值作为方程的近似解．
【详解】解：由表格可知，当 时， ，当 时， ，
则方程的一个根在 和 之间， 时的y值比 时更接近0，
方程的一个近似根为： ．故选：C．
题型四、图解法解一元二次不等式
10．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数 和一次函数 的图象，观察图象，
当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数 和一次函数 相交
于两点的横坐标分别为 ，1，即可得．
【详解】解：根据图象得，二次函数 和一次函数 相交于两点，两点的横坐标分别为 ，
1，
则当 时，x的取值范围为 或 ．
故选：B．
11．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． 且 D． 或
【答案】A【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐
标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴不等式 的解集是 ．
故选：A．
12．（2023·四川绵阳·一模）二次函数 与一次函数 的图像如图所示，则满足
的 的取值范围为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得 中x的取值范围就是二次函数图像在一次
函数图像下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：若 ，则 ，
有图像可知，当 或 时，二次函数的图像 在一次函数图像 的下方，即 ，
当 或 时， ，
∴
则当 或 时， ，
故选：B．
题型五、由不等式求自变量或函数值的范围
13．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知二次函数 （a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，
都有 ，且当 时，有 成立，又 时， ，则b的值为（ ）A．1 B． C．2 D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与不等式恒成立问题，由题干给出的条件可知两个条件都满足
可以发现二次函数经过一个定点．就可以求出答案；
【详解】解： 对任意实数x，都有 ，
∵
当 时， ，
∴
又当 时，有 ，
当 时， ，
∴
当 时， ，
∴
故二次函数 经过点 ，
，
∴又 时， ① ，
，
∴有 得： ② ，
① ②
解得： ，
故选：B．
14．（2024·山东济南·模拟预测）对于一个函数，如果自变量 取 时，函数值 也等于 ，那么我们称 为这个
函数的不动点．如果二次函数 有两个相异的不动点 ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，理解并掌握不动点
的概念是解题的关键，
由函数的不动点概念得出 是方程 的两个实数根，由 可得 且当 时 ，据
此列不等式组求解即可.
【详解】解：由题意知 是方程 的两个实数根且 ，整理得: ，
∵ 有两个不相等的实数根且 ，
∴ ①，
令 ，画出该二次函数的草图如下:
∵ ，
∴当 时 ，即 ②，
①②联立解得： ．
故选：A．
15．（23-24九年级上·四川广安·期末）如表记录了二次函数 中两个变量 与 的 组对应值，
其中 ，
… …
… …
根据表中信息，当 时，直线 与该二次函数图象有两个公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴 ，进而得到抛物线与 轴的交点坐标，利
用交点式得到 ，从而得到二次函数解析式为 ，根据当 时，直线
与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键．【详解】解：∵抛物线过点 、 ，
∴抛物线的对称轴为 ，
又∵抛物线过点 ，(1,0)，
∴ ，
∴抛物线与 轴的交点为 、(1,0)，
设抛物线解析式为 ，
整理得：
又∵二次函数
∴ ，
解得： ，
∴二次函数解析式为 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
当 时，最大值 ，
∵当 时，直线 与该二次函数图象有两个公共点，
∴ ．
故选：C．
题型六、由二次函数图像确定对于一元二次方程的根
16．（22-23九年级上·广西百色·期末）已知二次函数 的部分图像如图所示，若关于 的一元二次方
程 的一个解为 ，则另一个解是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点问题，把求二次函数 （ ， ， 是常数， ）与 轴
的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．利用抛物线与 轴的求交点是解题的
关键；利用关于 的一元二次方程 的解一个为 得到二次函数 与 轴的一个交点坐
标为 ，然后利用抛物线的对称性得到二次函数 与 轴的另一个交点坐标为 ，从而得到方
程 另一个解．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 的解一个为 ，
二次函数 与 轴的一个交点坐标为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
二次函数 与 轴的另一个交点坐标为 ，
方程 另一个解
故选：B
17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．关于x的一元二次方程 的根是 ，
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图
象先判定 的符号，再结合对称轴求解抛物线与 轴的交点坐标，再进一步逐一分析即可．
【详解】解：由函数图像可知开口向下，与 轴交于正半轴，
， ，
∵对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，故A不符合题意；
∵抛物线与 轴交于 ，对称轴为直线 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点为 ，
∴关于x的一元二次方程 的根是 ， ；故B不符合题意；
∵抛物线与 轴交于 ， ，对称轴为直线 ，
∴ ，
解得： ，
∴∵ ，
∴ ，故C符合题意；
∴ ；
∴ 错误，故D不符合题意；
故选：C．
18．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知二次函数 的部分图象如图所示，图象经过点(0,2)，其对称轴为直线 ．下列结论中正确的有（ ）个．
①
②若点 ， 均在二次函数图象上，则
③关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根
④满足 的x的取值范围为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，
函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．依据题意，由图象可得抛物线的对称轴是直线 ，与y轴
的交点为(0,2)，当 时， ，然后逐个选项判断即可得解．
【详解】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线 ，
∴ ．
又由图象，可得当 时， ，
∴ ，故①错误．
∵抛物线的对称轴是直线 ，
∴点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离，
∵抛物线开口向下，
∴ ，故②错误．
由题意，令 ，∴抛物线 与直线 有两个不同的交点．
∴关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，故③错误．
∵当 时，y＝2，
又∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴当 时， ．
又抛物线开口向下，
∴满足 的x的取值范围为 ，故④正确．
故选：A．
题型七：截线长问题
19．（23-24九年级上·安徽合肥）已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点．若 ，
则 ．
【答案】
【分析】设方程 的两根分别为 ， ， 可得 ， ，利用
，再解方程即可．
【详解】解：当 ，则 ，
设方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，经检验符合题意；故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用 建立
方程求解是解本题的关键．
20．（22-23九年级上·江苏·期末）如图，抛物线 （其中 为常数）的对称轴为直线 ，与x
轴交于点 ，点 ，则AB的长度为 ．
【答案】
【分析】根据对称轴求得 的值，解方程 ，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 （其中a为常数）的对称轴为直线 ，
∴
解得： ，
∴抛物线解析式为： ，
令 ，即 ，
解得： ，
∴ ,
∴ ，
∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，求得抛物线的解析式是解题的关键．
21．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知关于 的方程 的两个根分别是 ，若点 是
二次函数 的图象与 轴的交点，过 作 轴交抛物线于另一交点 ，则 的长为 ．【答案】
【分析】先利用一元二次方程根与系数的的关系得出 ， ，进而得出
，B点的纵坐标为 ，将点 的坐标代入二次函数解析式，解方程求得 ，
进而即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∴B点的纵坐标为 ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线的性质、抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，把求二次函数 (
是常数， ) 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
题型八、二次函数与一元二次方程的综合
22．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线 与直线 交于点A和点B，直线 与y轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式 的解集．
(3)若关于x的方程 在 的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围．
【答案】(1) ，顶点坐标为
(2) 或
(3) 或
【分析】本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，（1）将点 代
入 求得 ，再求得 ，再利用待定系数法求解即可；
（2）联立方程组求得 ，再根据图象求解即可；
（3）方程 在 的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线 与直线 在
的范围内只有一个交点，在结合图象求解即可．
【详解】（1）解：将点 代入 ，得 ，
∴ ．
当 时， ，
解得 ，
∴点 ．
将点 代入 ，得 ，
解得 ，∴抛物线的解析式为 ．
∵ ，
∴顶点坐标为 ．
（2）解：∵直线 与抛物线 的交点在第三象限，
∴ ，
解得 （不符合题意，舍去）或 ，
∴ ，
∴ ，
∴点A的坐标为 ，
观察图象，得不等式 的解集为 或 ；
（3）解：方程 在 的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线 与直线 在
的范围内只有一个交点，
如图，当 时，直线 与抛物线 始终有一个交点；
当直线 经过抛物线顶点时，直线 与抛物线 有一个交点，
∴n的取值范围为 或 ．
23．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知二次函数 的图象经过点 ．
(1)求该抛物线的对称轴，以及点A的对称点B的坐标．
(2)若该抛物线与x轴交于 和 两点（其中 ．
①若 ，求a的值；
②若 ，求a的取值范围．【答案】(1) ，
(2) ； 或
① ②
【分析】（1）将点 代入二次函数解析式求得 ，求得对称轴为 ，再根据二次函数的对称性求解
即可；
（2）①根据二次函数的对称性求得 ， ，即可求得 ，再代入解析式求解即可；
②由 可知， ，当 时，图象经过点A(3,2)，则 ，故此需满足 ，根据二次函
数的对称性可得当 时， ； 时， ，求得 ；当 时，由图象经过点
A(3,2)，根据对称性得 ，故此时需满足 ，故 时， ，则 ，即可求解．
【详解】（1）解：将点 代入二次函数解析式得： ，
解得 ，
抛物线对称轴为：直线 ，
∴对称轴为直线 ，
∴点A的对称点B为 ；
（2）解：①由抛物线与x轴交于 和 两点，点P和点Q关于直线 对称．
又∵ ，
则 ， ，
∴ ，
将点 代入二次函数解析式得， ，
解得 ；
②由 可知， ，
当 时，由图象可知， ，则 ，故此时需满足 ，故当 时， ； 时， ，则 ；
当 时，由图象可知， ，则 ，故此时需满足 ，
故 时， ，则 ，
综上， 或 ．
【点睛】本题是二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，数形结合、
分类讨论是解题的关键．
24．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数 经过点 和点C(0,-3)，
(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，若一次函数 经过B、C两点，直接写出不等式 的解；
(3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，利用函数图象解不等式，能熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．（1）用待定系数法求解即可．
（2）根据二次函数图象可得出结论．
（3）先求出点A得坐标，从而得出 的值，利用三角形面积 即可得出结论．
【详解】（1）将 和点C(0,-3)代入二次函数 得： ，
解得： ，
∴二次函数解析式为： ．
（2）∵当 时， 的图象在 的下方，
∴不等式 的解集为： ．
（3）当 时， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【高分演练】
一、单选题
25．（24-25九年级上·广西南宁）如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x
的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数、一次函数和不等式的综合，根据图象得到二次函数图象在一次函数图象上方横坐标 的取值范围即可
【详解】解：根据图象得二次函数与一次函数图象的交点横坐标为 和 ，
∴当 时，二次函数图象在一次函数图象上方，
∴当 时，x的取值范围是 ，
故选：C
26．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数 中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二
次方程 的一个解的范围是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查估算一元二次方程的解，是解本题的方法．
本题考查利用“夹逼”思想估算一元二次方程的解．利用夹逼思想求一元二次方程的近似解．根据表格当 时，
；当 时， ，即 的一个根在2和3之间．
【详解】解：由 可得： ，
根据表内数据，可以发现：
的值随着x的增大而增大，
且：当 时， ；当 时， ；
∴一元二次方程 的其中一个解x的范围是 ，
故选：D．
27．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知 为实数，抛物线 与 轴的交点情况是（ ）
A．没有交点 B．只有一个交点
C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点
【答案】C
【分析】本题主要考查了抛物线与 轴的交点，利用一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】解：对于抛物线 ，
当 时，即 ，
∵
∴抛物线 与 轴的交点情况是有两个不同的交点，故选：C．
28．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数 的图像与 轴的一个交点坐标为 ，那
么关于 的一元二次方程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．
【答案】B
【分析】此题考查的是求二次函数图像与 轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图像的对称性和
二次函数与 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．
依据题意，根据函数的图像可得，二次函数 的对称轴是直线 ，又图像与 轴的一个交点坐标
为 ，结合对称性可得图像与x轴的另一个交点坐标为 ，即 ，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，根据函数的图像可得，二次函数 的对称轴是直线 ，
又图像与 轴的一个交点坐标为 ，
∴图像与 轴的另一个交点坐标为 ，即 ．
∴关于 的一元二次方程 的解为 ， ．
故选：B．
29．（2024·河南商丘·模拟预测）抛物线 的对称轴为直线 ，部分图像如图所示，下列判断中：
① ；②方程 的两个根是 ， ；③当 时，y的值随x增大而增大；其中正确的判
断是（ ）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，
解题的关键是灵活运用数形结合思想．根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图
象上点的坐标特征逐项判断即可．
【详解】解： 图象开口向上，
，
对称轴为直线 ，
，
，
，①正确；
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为(1,0)，对称轴为直线 ，
抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∴方程 的两个根是 ， ；故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，
∴当 时，y的值随x增大而增大；
∴当 时，y的值随x增大而增大；
故③正确，
综上可知，正确的有①②③．
故选:A．
30．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，已知二次函数 与一次函数 的图象相
交于点 和 ，则使不等式 成立的 的取值范围是（ ）A． 或 B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．本题考查二次函数与不等式（组 ，巧用数形结合的数学思想是
解题的关键．
【详解】解：由函数图象可知，
当 时，二次函数的图象在一次函数图象的下方，
即 ，
∴不等式 的解集为： ．
故选：B．
31．（2024·四川乐山·模拟预测）设 ，二次函数 的图象为下列四种情形之一：
九年级（2）班数学兴趣小组在研究此题时，给出了四个结论：① ；②二次函数y的最小值为 ；③
时，y随x的增大而增大；④当 时，关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确
的结论是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
依据题意，由 ，从而当 时，对称轴直线 ；当 时，对称轴直线 ，结合作图，
可得第三个图符合题意，从而 ，抛物线过 ，顶点纵坐标为2，进而逐个进行判断可以得解．
【详解】解：由题意，∵ ，∴当 时，对称轴直线 ；
当 时，对称轴直线 ．
结合作图，可得第三个图符合题意．
∴ ，抛物线过 ，顶点纵坐标为2．
∵过 ，
∴ ．
∴ (舍去)或 ，故①正确．
∵抛物线开口向下，顶点纵坐标为2，
∴二次函数 的最大值为2，故②错误．
结合图象，当 时， 随 的增大而增大，故③正确．
由题意，∵抛物线开口向下，顶点纵坐标为2，
∴当直线 时，直线 与抛物线 的图象总有两个交点，
而当直线 时，直线 与抛物线 的图象没有交点．
，
∴当 时，方程 有两个不相等的实数根，
当 时，方程 没有实数根，
∴故④错误．
故选：A．
32．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标
，与x轴的一个交点B(4,0)，直线 与抛物线交于A，B两点，下列结论：① ；
② ；③方程 有两个相等的实数根；④ ；⑤当 时，有 其中正确的有个
（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．
根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【详解】解： 抛物线对称轴为直线 ，
，
，故①正确；
② 抛物线开口向下，与 轴相交于正半轴，
， ，
，
，故②错误；
抛物线的顶点坐标 ，
方程 有两个相等的实数根，故③正确；
由抛物线对称性，与 轴的一个交点 ，则另一个交点坐标为 ，
当 时， ，
，
，故④错误；
由图象可知，当 时， ，故⑤正确．
故正确的有：①③⑤．
故选：B
二、填空题
33．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程 有两个实数根 ， ，则二次函数 的对称轴是直线 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数 ，当 时求得的自变
量的值，也就是二次函数图象与 轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程 的解，据此即
可求解．
【详解】解：由题意得：二次函数 与 轴的交点分别为： ， ,
∴二次函数 的对称轴是直线 ，
故答案为： ．
34．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，是二次函数 图象的一部分，其对称轴为直线
，若与 轴的其中一个交点为 ，则由图象可知，与 轴的另一个交点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是抛物线与 轴的交点，利用抛物线的对称性求解是解题的关键．利用抛物线的对称性
即可求得抛物线与 轴的另一个交点坐标．
【详解】解： 点 与 关于直线 对称，
抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ．
故答案为： ．
35．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）若抛物线 与 轴有两个不同的交点，则 的取值范围是
．
【答案】 且
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点，解答本题的关键是明确二次函数y=ax2+bx+c（ 是常数，）的交点与一元二次方程 根之间的关系， 决定抛物线与 轴的交点个数．本题抛物线
与 轴有两个交点，则 ，然后解不等式即可．
【详解】∵抛物线 与 轴有两个不同的交点
∴
解得：
∵该函数为二次函数
∴
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
36．（2024·吉林长春·模拟预测）二次函数 的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对
应值如表：
x … -2 0 1 2 3 …
y … 0 -2 -2 0 …
有如下结论：
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线 ；③抛物线与y轴的交点坐标为 ；④由抛物线可知
的解集是 ．其中正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的性质：熟练掌握二次函数 的性质是解决问题的关键.也考查了待定
系数法求抛物线解析式.
利用交点式求出抛物线的解析式为 则根据二次函数的性质可对①②进行判断；利用 x=0时，
可对③进行判断；利用抛物线与 轴的交点坐标为 ，则写出抛物线在 轴上方所对应的自变量
的范围可对④进行判断.
【详解】∵抛物线经过点 ，∴设抛物线的解析式为
把 代入得 解得
∴抛物线解析式为 即
，
∴抛物线开口向上，所以①正确；
抛物线的对称轴是直线 所以②正确；
抛物线与 轴的交点坐标为 所以③错误；
∵抛物线与 轴交于点 ， 且抛物线开口向上，
∴当 时， ，
的解集是 所以④正确.
故答案为： ①②④.
37．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线 （a，b，c是常数）， ，下列三个结论：
①若抛物线经过点 ，则 ；
②若 ，则方程 一定有根 ；
③抛物线与 轴一定有两个不同的公共点．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】 /
【分析】①本题②主②要①考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据题意可得抛物线经过点
，则由对称轴可得抛物线对称轴为直线 ，根据对称轴计算公式即可判断①；先求出 ，再把
代入方程看方程左右两边是否相等即可判断②；求出判别式的符号即可判断③．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，
∴抛物线经过点 ，若抛物线经过点 ，则抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
若 ，则 ，
当 时，方程 的左边 方程右边，
∴若 ，则方程 一定有根 ，故②正确；
由题意得 ，
当 时， ，此时抛物线 与x轴只有一个交点，故③错误；
故答案为：①②．
三、解答题
38．（24-25九年级上·湖北武汉·开学考试）如图，抛物线 经过点 ，与坐标轴分别交于B，
C，D三点．
(1)求B，C，D三点的坐标；
(2)当 时，则函数y的取值范围是________．
(3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到点D的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)【分析】（1）将 代入抛物线 ，求出解析式，再分别令 即可求解；
（2）求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的性质结合图象即可解答；
（3）由 ，即可得到点A平移到点D的平移方式，结合抛物线的平移规律即可解答．
【详解】（1）解：将 代入抛物线 ，得： ，
解得： ，
抛物线解析式为： ，
令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
解得： ，
根据题意得： ， ；
（2）解： 抛物线 的对称轴为： ，且开口向上，
时，抛物线 有最小值，最小值为： ，
，即 ，
时，抛物线 有最大值，最大值为： ，
当 时，则函数y的取值范围是 ；
（3）解： ， ，
，
原抛物线上的A点向右平移2个单位，再向下平移2个单位后落到点D的位置，
，平移后的抛物线的解析式为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，及二次函数的性质，是一道综合性比
较强的题，看懂图象是解题的关键．
39．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 （b、c为
常数）与x轴交于A， 两点，与y轴交于点 ，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)将此抛物线上P、C两点之间的部分（包括P、C两点）记为图象G．图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6
时，求m的值．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质：
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）分两种情况：当P点在对称轴的右侧时，P点的纵坐标为 ；当P点在对称轴的左侧时，P点的纵坐
标为 ．根据题意，得出关于m的一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，得出符合题意的m值即可．
【详解】（1）解：将点 ， 代入 ，得：
，
解得： ，
∴此抛物线对应的函数表达式为 ；
（2）解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
即二次函数图象最低点的纵坐标为 ，
∵点P的横坐标为m，∴点P的纵坐标为
∵图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6，
当P点在对称轴的右侧时，点P为最高点，点C为最低点，此时P点的纵坐标为 ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
②当P点在对称轴的左侧时，点P为最高点， 为最低点，此时P点的纵坐标为 ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ．
∴m的值为 或 ．
40．（2024·吉林白城·模拟预测）如图、在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．点A在抛
物线上，点A的横坐标为m．点C的坐标为 ，以 为对角线作矩形 ，使 轴．
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)求抛物线与y轴的交点坐标；
(3)当 时，求抛物线在矩形 内部的图象（包含边界）的最大值与最小值的差；
(4)当抛物线与矩形 的边恰好有4个交点（包含端点）时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)2
(4) 或【分析】本题考查二次函数的综合应用．
(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)令函数解析式中的横坐标为0，求得纵坐标的值，即可得到答案．
(3)当 时，可得 ，结合图形即可求得答案；
(4)当 ，解得： ，
当 ，解得 即可得出答案；
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点
∴ ，解得
∴抛物线所对应的函数解析式为 ；
（2）在函数解析式 中，令 ，得 ，
∴抛物线与y轴的交点坐标是(0,2)．
（3）当 时，则 ，
，
把 代入得
∵以 为对角线作矩形 ，使 轴，
∴ ，如图，
∴抛物线在矩形 内部的图象（包含边界）的最大值为4，最小值为2，
∴最大值与最小值的差为 ；
（4）由题意得：当 解得 ，
，
当 解得： ，
综上: 或 ．
41．（2024·广东深圳·模拟预测）探究问题1：
（1）若二次函数 （m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．
（2）变式：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数 的图象有两个公共点，则m的取
值范围是 ．
等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数 的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
探究问题2：
（3）若二次函数 的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个公共点，求m的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ； ； ；（3）
【分析】本题考查二次函数与直线的交点问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与直线的交点问题是解题的关键．
（1）二次函数的图象与x轴有两个交点，则 ，即可求出m的取值范围；
（2）联立两个函数解析式可得 ，即 ，根据两个函数图象有两个交点得到 ，
即可求出m的取值范围．由 ，可得 ，从而问题可等价转化为：若二次函数
的图象与一次函数 的图象有两个公共点， ；
（3）所求问题等价于二次函数 的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个公共点时m的
取值范围，结合函数 与 的图象即可解答．
【详解】解：（1）∵二次函数 的图象与x轴有两个公共点，∴ ．
∴ ；
（2）变式：由方程组 得 ，
即 ，
∵二次函数 的图象与一次函数 的图象有两个公共点，
∴ ．
∴ ．
由 ，可得
∴等价转化：若二次函数 的图象与一次函数 的图象有两个公共点，此时 ．
故答案为： ； ； ．
（3）由题意，令 ，
∴ ．
∴二次函数 的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个公共点等价于二次函数
的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个公共点．
由题意， （ ）．
作图如下．∵二次函数 的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个公共点，
结合图象，可得 ，
∴ ．
42．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与
轴交于点 ，抛物线的顶点为 ．
(1)求 的面积；
(2)在 轴上是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在点 ，使 是直角三角形， 点坐标为 或 或 或
【分析】（1）先求出 ， ， ， ，求出直线 的解析式为 ，作
轴交 于 ，则 ， ，再根据 ，即可得解；
（2）设 ，则 ， ， ，分三种情况分别求出点 的坐标即可．
【详解】（1）解：令 ，
解得 或 ，
∴ ， ，
令 ，则 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
作 轴交 于 ，
当 时， ，即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：存在点E，使 是直角三角形，理由如下：
设 ，
∴ ， ， ，
当 为直角三角形的斜边时， ，
解得 ，
∴ 或 ；当 为直角三角形的斜边时， ，
解得 ，
∴ ；
当 为直角三角形的斜边时， ，
解得 ，
∴ ；
综上所述： 点坐标为 或 或 或 ．
