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九年级期末基础训练（代数1）——一元二次方程
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
训练重点:一元二次方程的定义、四种解法、根的判别式、(图形面积/增长率/利润问题)
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列方程中关于x的一元二次方程是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x2−2y−1=0
C． D．
x2−x(x−2)−1=0 x2−2x−3=0
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关
键；根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方
程），逐一分析各选项是否符合条件即可．
【详解】解：∵一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；
③整式方程，
选项A：ax2+bx+c=0，当a≠0时是一元二次方程，但题中未明确a≠0，故不一定成
立；
选项B：x2−2y−1=0，含有两个未知数x和y，不是一元二次方程；
选项C： ，化简得： ，是一元一次方程；
x2−x(x−2)−1=0 2x−1=0
选项D：x2−2x−3=0，只含未知数x，且最高次数为2，符合定义；
故选D．
2．一元二次方程x2−2x=−1的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．−2和1 B．2和−1 C．−2x和−1 D．−2x和1
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是
，其中， 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次
ax2+bx+c=0(a≠0) ax2 a bx b
项系数；c是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．
将方程化为标准形式ax2+bx+c=0后，再根据一元二次方程的一般形式求解即可．
【详解】解：x2−2x=−1，∴ 移项得x2−2x+1=0，
∴ 一次项系数为−2，常数项为1，
故选：A．
3．用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为（ ）
A． B．
(x+1) 2=6 (x−1) 2=6
C． D．
(x+2) 2=9 (x−2) 2=9
【答案】B
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移
到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
将方程通过配方法变形，转化为完全平方形式即可．
【详解】解：x2−2x−5=0，
移项得 ：x2−2x=5 ，
配方得 ：x2−2x+1=6 ，
即 ．
(x−1) 2=6
故选：B．
4．一元二次方程(x−1)(x+2)=0的两个实数根分别为（ ）
A．1，2 B．1，−2 C．−1，2 D．−1，−2
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，因式分解法进行解方程，每个因式为0进行计算，
即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程(x−1)(x+2)=0，
∴x−1=0,或x+2=0，
解得x=1,或x=−2，
故选：B
5．关于x的方程x2−5x+7=0的根的情况，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个正根和一个负根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟记根的判别式．
先写出各项系数，再求出判别式，根据符号判断根的情况．
【详解】解：x2−5x+7=0，
a=1，b=−5，c=7，
，
Δ=b2−4ac=(−5) 2−4×1×7=25−28=−3<0
所以关于x的方程x2−5x+7=0没有实数根，
故选：D．
4±❑√16+4c
6．以x= 为根的一元二次方程可能是（ ）
2
A．x2−4x−c=0 B．x2+4x−c=0 C．x2−4x+c=0 D．x2+4x+c=0
【答案】A
【分析】根据求根公式逐一判断即可．
4±❑√16+4c
【详解】解：A．此方程的根为x= ，符合题意；
2
−4±❑√16+4c
B．此方程的根为x= ，不符合题意；
2
4±❑√16−4c
C．此方程的根为x= ，不符合题意；
2
−4±❑√16−4c
D．此方程的根为x= ，不符合题意；
2
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式．
7．已知关于x的方程kx2−4x−1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k<4 B．k≥−4 C．k≤4且k≠0 D．k≥4
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当
Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．”是解题的关键．根
据题意当k=0时，方程为−4x+1=0，有实数根，当k≠0时，得出
，解之即可得出结论．
Δ=(−4) 2−4k×(−1)=16+4k≥0
【详解】解：当k=0时，方程为−4x+1=0，有实数根，
当k≠0时，∵关于x的方程kx2−4x+1=0有实数根，
∴ ，
Δ=(−4) 2−4k×(−1)=16+4k≥0
解得：k≥−4，
综上，k的取值范围是k≥−4，
故选：B．
8．4月23日为“世界读书日”，全国国民阅读调查结果发布，2022年和2024年我国成年
国民人均纸质图书阅读量分别为4.65本和4.76本，设平均每年阅读量的增长率为x，那
么可列方程是（ ）
A．4.65(1+x)=4.76
B．
4.65(1+x) 2=4.76
C．4.65(1+2x)=4.76
D．
4.65+4.65(1+x)+4.65(1+x) 2=4.76
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据2022年人均纸质图书阅读量×(1+年
均增长率 年人均纸质图书阅读量列出方程即可．
)
2=2024
本题考查平均增长率问题，需根据连续两年的增长率建立方程．
【详解】解：设每年增长率为 ，可列方程为 ，
x 4.65(1+x) 2=4.76
故选：B．
9．已知x ，x 是方程x2−2x−1=0的两根，则x +x −x x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】直接利用根与系数的关系作答．
此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数
b c
的关系为：x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
【详解】解：∵x ，x 是方程x2−2x−1=0的两根，
1 2
∴x +x =2，x ⋅x =−1，
1 2 1 2∴x +x −x x =2−（−1）=3．
1 2 1 2
故选：C．
10．如图，某摄影爱好者拍摄一张长为12cm，宽为8cm的北盘江大桥风景照，现要在风景
照四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为192cm2的挂图．设风景照四周所镶边的宽为
xcm，则所列方程正确的是（ ）
A．(8+x)(12+x)=192 B．(8+2x)(12+2x)=192
C．(8−2x)(12−2x)=192 D．(8−x)(12−x)=192
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
依题意得，矩形挂图的宽为(8+2x)cm，长为(12+2x)cm，长方形面积公式列方程．
【详解】解：由题意知，矩形挂图的宽为(8+2x)cm，长为(12+2x)cm，
依题意得，面积为(8+2x)(12+2x)=192，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．方程x2−9=0的解是 ．
【答案】x=±3
【分析】本题考查了解一元二次方程，把−9移到右边，再利用直接开平方法解答即可，
掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵x2−9=0，
∴x2=9，
∴x=±3，
故答案为：x=±3．
12．方程3x2=2−5x化成一般形式是 ．
【答案】3x2+5x−2=0
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
根据一元二次方程的一般形式进行变形即可．
【详解】解：方程3x2=2−5x化成一般形式是3x2+5x−2=0．
故答案为3x2+5x−2=0．
13．若一元二次方程x2+3x+k+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
5
【答案】k<
4
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的计算是关键．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到Δ=9−4(k+1)>0，即可求解．
【详解】解：一元二次方程x2+3x+k+1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=9−4(k+1)>0，
5
解得，k< ，
4
5
∴k的取值范围为k< ，
4
5
故答案为：k< ．
4
14．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m+1=0有两个实数根为x ，x ，若x ⋅x =−1，
1 2 1 2
则m的值为 ．
【答案】−2
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与
系数的关系是解题的关键：如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根是x ，x ，那
1 2
b c
么x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
根据一元二次方程的根与系数的关系可得x ⋅x =m+1=−1，由此即可求出m的值．
1 2
【详解】解：对于一元二次方程x2+2x+m+1=0，根据一元二次方程根与系数的关
系可得：
c m+1
x ⋅x = = =m+1=−1，
1 2 a 1
∴m=−2，
故答案为：−2．
15．某商品原售价为5000元/吨，经过连续两次降价后，现售价为3000元/吨．设平均每
次降价的百分率为x，根据题意，列出方程为： ．【答案】
5000(1−x) 2=3000
【分析】本题考查一元二次方程实际应用．根据题意列出方程即可．
【详解】解∶ 设平均每次降价的百分率为x，
∴列式为： ，
5000(1−x) 2=3000
故答案为： ．
5000(1−x) 2=3000
16．方程 的两个根分别为 ， ，则
x2+5x−6=0 x x x2+x2=
1 2 1 2
【答案】37
【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形， 正
确把握根与系数关系是解题关键，根据x +x =−5,x x =−6，结合
1 2 1 2
可得答案．
x2+x2=(x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
【详解】解：∵x ,x 是方程x2+5x−6=0的两根，
1 2
∴x +x =−5,x x =−6，
1 2 1 2
∴x2+x2=(x +x ) 2−2x x =(−5) 2−2×(−6)=25+12=37 ，
1 2 1 2 1 2
故答案为：37．
三、解答题（本题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（16分）用指定方法解下列一元二次方程
(1) （直接开平方法）
3(2x−1) 2−12=0
(2)2x2−4x−7=0（配方法）
(3)x2+x−1=0（公式法）
(4) （因式分解法）
(2x−1) 2−x2=0
3 1
【答案】(1)x = ，x =−
1 2 2 2
3❑√2 3❑√2
(2)x =1+ ，x =1−
1 2 2 2
−1+❑√5 −1−❑√5
(3)x = ，x =
1 2 2 21
(4)x = ，x =1
1 3 2
【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程利用配方法求出解即可；
（3）方程利用公式法求出解即可；
（4）方程利用因式分解法求出解即可．
【详解】（1）解： ，
3(2x−1) 2−12=0
移项，得 ，
3(2x−1) 2=12
两边都除以3，得 ，
(2x−1) 2=4
两边开平方，得2x−1=±2，
移项，得2x=1±2，
3 1
解得：x = ，x =− ；
1 2 2 2
（2）解：2x2−4x−7=0，
7
两边都除以2，得x2−2x− =0，
2
7
移项，得x2−2x= ，
2
9 9
配方，得x2−2x+1= ，即(x−1) 2= ，
2 2
3❑√2
解得：x−1=± ，
2
3❑√2 3❑√2
即x =1+ ，x =1− ；
1 2 2 2
（3）解：x2+x−1=0，
这里a=1，b=1，c=−1，
，
∵b2−4ac=12−4×1×(−1)=5
−1±❑√5
∴x= ，
2×1
−1+❑√5 −1−❑√5
解得：x = ，x = ；
1 2 2 2（4）解： ，
(2x−1) 2−x2=0
方程左边因式分解，得(2x−1+x)(2x−1−x)=0，即(3x−1)(x−1)=0，
1
解得：x = ，x =1．
1 3 2
【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌
握各种解法是解本题的关键．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+9x+20−2k2=0．
(1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)k=±❑√15；−10
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方
程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
（1）只需要证明 即可；
Δ=92−4(20−2k2)>0
（2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得m+1=−9，m⋅1=20−2k2，
据此求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得， ，
Δ=92−4(20−2k2)=8k2+1
∵k2≥0，
∴8k2≥0，
∴Δ=8k2+1≥1，
∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的另一个根为m，
由根与系数的关系可得m+1=−9，m⋅1=20−2k2，
∴m=−10，
∴−10=20−2k2，
解得k=±❑√15．
19．（8分）为满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，今
月3月份阅读公园中有藏书5000册，到今月5月份其中藏书数量增长到7200册．
(1)求阅读公园这两个月藏书的平均增长率．
(2)按照这样的增长方式，请你估算出今月6月份阅读公园的藏书量是多少？【答案】(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率20％
(2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是8640册
【分析】（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的
藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率）2，即可得
出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论；
（2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书
的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量．
【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x，
根据题意，得
5000(1+x) 2=7200
解得x =0.2=20%，x =−2.2（不合题意，舍去）
1 2
该校这两个月藏书的月均增长率为20%；
（2）7200×(1+20%)=8640（册），
所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是8640册．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
20．（10分）如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为35m，15m，现计划对其进行扩充，
将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地，若扩充后的矩形绿地面
积为800m，求新的矩形绿地的长与宽．
【答案】新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
【分析】设绿地的长、宽增加的长度为xm，然后根据扩充后的矩形绿地面积为800m，
列出方程求解即可．
【详解】解：设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为(35+x)m，宽为
(15+x)m，
根据题意得：(35+x)(15+x)=800，
整理得：x2+50x−275=0，
解得：x =5，x =−55（不符合题意，舍去），
1 2
∴35+x=35+5=40，15+x=15+5=20.答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立
方程是解题的关键．
21．（10分）汤圆是宁波的特色美食，某店在销售某品牌汤圆时发现，该品牌汤圆进价为
20元/盒，当销售单价定为33元/盒时，平均每天可售出100盒，为了扩大销售，该店
决定降价经调查发现，每盒汤圆降价1元，平均每天可多售出20盒．
(1)若降价2元，则每盒汤圆盈利 元，平均每天可售出 盒：
(2)若商店该品牌汤圆的日销售利润为1600元，为尽快减少库存，问每盒汤圆销售价定
为多少元合适？
【答案】(1)11，140
(2)28元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
（1）直接计算降价后的单盒利润和销量即可．
（2）建立利润方程并求解，根据库存要求选择合适解．
【详解】（1）解：若降价2元，则每盒汤圆盈利：33−2−20=11（元）
平均每天可售出：100+2×20=140（盒）
故答案为：11；140；
（2）设每盒汤圆销售价降价x元：则平均每天可售出(100+20x)盒，
由题意：得(33−20−x)(100+20x)=1600．
整理，得x2−8x+15=0，
解得x =3，x =5．
1 2
∵为了尽快减少库存．
∴每盒汤圆销售价应降价5元．
∴每盒汤圆销售价定为33−5=28（元）．
答：每盒汤圆销售价定为28元合适．
