文档内容
2026年菁优中考数学解密之解答题
一．解答题（共25小题）
1．（2025•徐汇区模拟）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，联结AC、BD，△ABC是等边三角形，
DE∥BC，DE与AC交于点E，∠ADB＝2∠DBC．
（1）求证：△ADE∽△DBC；
（2）求证：点E是线段AC的黄金分割点．
2．（2025•花都区二模）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构
成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺
展开了测量物体高度的学习．
（1）如图，若垂直于地面的标杆OP＝2米，它的影长OG＝1米，同一时刻，旗杆的影长HN＝6米，
则旗杆MN的高度为 米；
（2）如图，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆AB的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量
电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆OC的端点C的影子
恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点E，测得OE＝2.2米；②把标杆缩短为1.2米，记作OD，
过了一段时间，标杆OD的端点D的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点F，测得OF＝1.2
米．请求出电线杆AB的高度．
3．（2025•晋中二模）如图，等腰△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，腰 AC的中点为D，
第1页（共64页）k
反比例函数y= (x＞0)的图象经过点D．
x
（1）求这个反比例函数的解析式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点D的另外2个格点，再画出反比例函数的图象．
（3）将等腰△ABC沿y轴方向向下平移，当点A落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离a．
4．（2025•晋中二模）综合与实践
问题情境：山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承
载着深厚的历史记忆和地域文化．图 1是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，图 2是某装修公司承
揽窑洞装修任务后设计出的窑洞内部墙面及顶部装修示意图．
数学建模：
如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽 AB为4m，
窑洞顶部最高点O离地面3.75m，点A离地面2.25m．
（1）在图3中画出以点O为原点，平行于AB的直线为x轴、竖直方向为y轴的平面直角坐标系，并
求抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面3m的C，D处安装吊顶，若窑洞的深度为8m，求吊顶
所需材料的面积（结果精确到1m2，参考数据：√2≈1.414）；
（3）小红想在装修完工后为窑洞增添一些装饰．她计划从点A到点D，从点C到点B各拉一条彩带，
并在C，D两处悬挂彩灯CD，CM，DN（M，N在彩带上，CM⊥CD，DN⊥CD）．试计算小红需要购
买彩灯的总长度（结果精确到0.1m）．
第2页（共64页）5．（2025•金水区校级四模）【了解概念】
定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为60°的等线四边形叫做强等
线四边形．
【理解运用】
（1）下列四边形中，一定是等线四边形的是 （只填序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
【拓展提升】
（2）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向△ACB外作菱形ACFG和菱形ABDE，
且∠CAG＝∠BAE＝60°，连接CG，BE，GE．
①求证：四边形BCGE是强等线四边形；
②若 AB＝4，∠BAC＝30°，P，Q 分别是 BC，GE 的中点，连接 PQ，直接写出 PQ 的长．
6．（2025•徐汇区模拟）已知：在直角坐标系中直线y＝ax+b与x轴、y轴相交于点A、B．当ax+b的值
1
小于0时，x的值大于4，且该直线与x轴的夹角为45°．抛物线y=- x2+bx+c经过点A和点B．
2
（1）【问题提出】如何求抛物线解析式
观察条件“当ax+b的值小于0时，x的值大于4”，可得当直线小于4时，x的值 （选填
“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图象可能是 （选填“A”或“B”），其中与x轴交点
A的坐标为 ．继续阅读条件，“该直线与x轴的夹角为45°”告诉我们其与y轴的交点的
坐标B是 ，代入抛物线，列出方程组 ，解得b＝ ，c
＝ ．
（2）【综合运用】
P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线PQ翻折，点
O的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标．
第3页（共64页）7．（2025•徐汇区模拟）如图，已知在 Rt△ABC中，∠C＝90°，P是边 BC上一点，∠APC＝45°，
PD⊥AB，垂足为点D，AB＝4√5，BP＝4．
（1）求线段PD的长；
（2）如果∠C的平分线CQ交线段PD的延长线于点Q，求∠CQP的正切值；
（3）过点D作Rt△ABC的直角边的平行线，交直线AP于点E，作射线CE，交直线PD于点F，求
CE
EF
的值．
8．（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示．
x … ﹣2 0 1 …
y … ﹣2 ﹣2 1 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的
差为5，请直接写出n的值．
第4页（共64页）9．（2025•曾都区校级模拟）公司购进某种休闲食品，成本价为20元/kg，经过市场调研发现，这种休闲
食 品 在 未 来 40 天 的 销 售 单 价 y （ 元 /kg ） 与 时 间 x （ 天 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ：
{0.25x+30(1≤x≤20)
y=
，且它的日销售量 m（kg）与时间 x（天）之间的函数关系为：m＝﹣
35(20＜x≤40)
2x+144．
（1）求第4天公司的销售利润；
（2）哪一天公司的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）公司决定每销售1kg商品就为当地捐款n元利润（n＜4）用于购买新冠疫情防控物资，后发现：
当1≤x≤20时，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x增大而增大，求n的取值范围．
10．（2025•平谷区一模）矩形ABCD中，点E是DC上一点，连接AE、BE，过点A作BE的平行线，过
点B作AE的平行线，两条平行线交于点F，∠DAE＝∠BEC．
（1）求证：四边形AFBE是矩形；
（2）连接EF，若∠DAE＝30°，DE＝1，求EF的长．
11．（2025•溧阳市校级模拟）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文
明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长 100cm，宽40cm的展板上展出介
第5页（共64页）绍四大发明的海报，每幅海报面积均为640cm2，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为
xcm的彩色纸带，求彩色纸带的宽度．
4
12．（2025•阳泉模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y= 图象的一支交于A（1，
x
m），B（n，1）两点．
（1）求点A，B的坐标及直线AB的函数表达式．
（2）连接BO并延长，交反比例函数图象的另一支于点C，连接AC，求△ABC的面积．
1 k
13．（2025•旌阳区二模）如图，正比例函数y =- x与反比例函数y = (x＜0)的图象交于点A（m，
1 2 2 x
2）．
（1）求反比例函数的解析式；
1 k
（2）把直线y =- x向上平移3个单位长度与y = (x＜0)的图象交于点B，连接AB，OB，求
1 2 2 x
△AOB的面积．
第6页（共64页）14．（2025•老河口市校级模拟）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内
的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在
OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明
理由（假设船底与水面齐平）．
1 3-m m-2
15．（2025•阳泉模拟）（1）化简：( + )÷ ．
m+1 1-m2 m+1
{
3x＜x+4
（2）解不等式组 x-3 2x-1 ，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
≤ -1
2 3
16．（2025•福建模拟）如图，已知四边形ABCD是矩形，连接对角线AC，过点B作BE⊥AC于点E，过
点D作DF⊥AC于点F．求证：AE＝CF．
17．（2025•阳泉模拟）第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CNTE2025”）将于
2025年6月12日﹣14日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取了七、八年级的部分同
第7页（共64页）学进行了“国防知识知多少”的测试，规定满分为10分，8分及以上为优秀．
【数据整理】李丽同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图：
【数据分析】李丽同学对两个年级的成绩进行了如下分析：
平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率
七年级 a 8 c 72.5%
八年级 8.375 b 9 d
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ．
（2）小颖同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是 8分，在我们年级属于中游水平．”你认
为小颖同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由．
（3）若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请你估计七年级测试成绩高于平均数的
人数．
18．（2025•蚌埠模拟）如图1，AB是 O的直径，点D为AB下方 O上一点，点C为^ABD的中点，连
结CD，CA，AD． ⊙ ⊙
（1）求证：OC平分∠ACD．
（2）如图2，延长AC，DB相交于点E．
①求证：OC∥BE．
②若CE=4√5，BD＝6，求 O的半径．
⊙
第8页（共64页）19．（2025•崂山区一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，
对“等对四边形”进行研究．
定义：对角线相等的四边形是等对四边形．
（1）判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是 ；
①矩形②菱形③正方形④平行四边形
（2）操作：如图1是6×8方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为2√10的等
对四边形，要求四个顶点均在格点上；
（3）推理：如图 2，已知△ABC中，以AB和AC为边在△ABC的外侧分别作等腰直角△ABD和
△ACE，连结DE．求证：四边形BCED是等对四边形．
20．（2025•阳泉模拟）综合与实践
问题情境
如图1，窑洞是黄土高原独特的居住形式，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息．为响应国家乡
村振兴战略，协助当地村民改善居住环境，留住文化底蕴．当地政府计划将窑洞现有的纱布糊窗统一
改为玻璃窗户，并将门上方的窗户换为断桥窗户，进一步提升窑洞的采光和通风．
方案设计
小明对窑洞进行了测量并绘制了如图 2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形
ABCD和抛物线组成的封闭图形．已知AB＝4米，BC＝2米，窑洞口的最高点P到地面CD的距离为4
米，其中点H，G在AB上，点E，F在抛物线上．
方案实施
第9页（共64页）在图2中，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．请按照以上方
法解决问题：（1）请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式．
（2）当FG＝2EF时，求EF和FG的长．
（3）如图3，在矩形EFGH两侧分别作两个正方形HIJK和正方形LMNG，其中，点J，M在抛物线上，
点K，L在AB上，点I，N分别在EH和FG上．若将抛物线和AB构成的封闭区域内的线段定制为木
质框架（不含抛物线和AB，不考虑木质框架宽度），当矩形EFGH所需的木质框架总长度最长时，请
直接写出封闭区域内木质框架的总长度．
21．（2025•旌阳区二模）如图1， O为△ABC的外接圆，点B为^ABC的中点，点F为劣弧AC上除弧
中点外一动点，连接AF，∠AFB⊙＝60°，连接BF交AC于D点，过F点作 O的切线交直线AC于E
点，连接BE． ⊙
（1）连接OA，OB，则∠AOB＝ °，若AB＝3，则 O的面积＝ ；
（2）判断△DEF的形状，并进行证明； ⊙
（3）已知 O的半径为r，如图2，取AC延长线上一点G，连接BG，且BC平分∠GBF．
①求AF•B⊙G；（结果用r表示）
1 1
② - 是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用r表示）
CD CG
22．（2025•湖北三模）如图，AB为 O的直径，点C是 O上一点，CD平分∠ACB交 O于点D，过
点D作直线EF∥AB分别交CA，CB⊙的延长线于点E，F⊙． ⊙
（1）求证：EF是 O的切线；
（2）若AC＝6，B⊙C＝8，求EF的长．
第10页（共64页）k
23．（2025•湖北三模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝ax+b与反比例函数y = 的图象
1 2 x
在第一、第三象限分别交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，且m+n＝3，C是x轴正半轴上一点，
AC⊥BC．
（1）求一次函数与反比例函数解析式；
（2）求∠ABC的度数．
24．（2025•湖北三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0），和直线l：y＝
kx+b，点A（﹣3，﹣5），B（1，﹣1）均在直线l上．
（1）若抛物线C与直线l有交点，求出a的取值范围；
（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的
值：
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
25．（2025•合肥一模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）如图1，在菱形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，将△AED沿AE翻折到△AEF，延长AF交
BC于点P，请写出图中的所有“筝形”；
PC
（2）如图2，将（1）中的“菱形ABCD”改为“正方形ABCD”，其他条件不变，求 的值；
PB
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，E是边DC的中点，连接AE，将△AED沿AE翻折到
△AEF，点P是线段BC上一点，若四边形PCEF是“筝形”，请直接写出CP的长．
第11页（共64页）第12页（共64页）2026年菁优中考数学解密之解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共25小题）
1．（2025•徐汇区模拟）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，联结AC、BD，△ABC是等边三角形，
DE∥BC，DE与AC交于点E，∠ADB＝2∠DBC．
（1）求证：△ADE∽△DBC；
（2）求证：点E是线段AC的黄金分割点．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；梯形；黄金分割．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】（1）证明∠ADE＝∠DBC，∠AED＝∠DCB＝120°可得结论；
（2）利用等边三角形的性质以及相似三角形的性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠CAB＝60°，
∵CD∥AB，DE∥BC，
∴∠DCB＝∠CAB＝60°，∠DEC＝∠ACB＝60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴DE＝DC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵∠ADB＝2∠DBC，
∴∠ADE＝∠EDB＝∠DBC，
∵∠AED＝∠DCB＝120°，
∴△ADE∽△DBC；
（2）∵△ADE∽△DBC，
第13页（共64页）AE DE
∴ = ，
DC BC
∵△DEC，△ABC都是等边三角形，
∴DE＝EC＝DC，AC＝BC，
∴EC2＝AE•AC，
∴点E是线段AC的黄金分割点．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，黄金分割，解题的关键是正
确寻找相似三角形解决问题．
2．（2025•花都区二模）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构
成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺
展开了测量物体高度的学习．
（1）如图，若垂直于地面的标杆OP＝2米，它的影长OG＝1米，同一时刻，旗杆的影长HN＝6米，
则旗杆MN的高度为 1 2 米；
（2）如图，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆AB的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量
电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆OC的端点C的影子
恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点E，测得OE＝2.2米；②把标杆缩短为1.2米，记作OD，
过了一段时间，标杆OD的端点D的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点F，测得OF＝1.2
米．请求出电线杆AB的高度．
【考点】相似三角形的应用．
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【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
第14页（共64页）PO MN
【解答】解：（1）根据题意得， = ，
OG NH
2 MN
∴ = ，
1 6
∴MN＝12，
答：旗杆MN的高度为12米；
故答案为：12；
（2）设OB＝m米，AB＝n米，
由题意得，△OCE∽△BAE，△ODF∽△BAF，
OC OE OD OF
∴ = ， = ，
AB BE AB BF
2 2.2 1.2 1.2
∴ = ， = ，
AB 2.2+OB AB 1.2+OB
解得AB＝10，
答：电线杆AB的高度为10米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3．（2025•晋中二模）如图，等腰△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，腰 AC的中点为D，
k
反比例函数y= (x＞0)的图象经过点D．
x
（1）求这个反比例函数的解析式．
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点D的另外2个格点，再画出反比例函数的图象．
（3）将等腰△ABC沿y轴方向向下平移，当点A落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离a．
【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式．
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【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
8
【答案】（1）y= (x＞0)；
x
第15页（共64页）（2）见解析；
1
（3） ．
3
【分析】（1）根据反比例函数图象经过点D（4，2），解答即可．
（2）利用描点法画图象即可．
8 1
（3）设平移后点A的坐标为（3，3﹣a），将（3，3﹣a）代入反比例函数y= ，得a= ，
x 3
解答即可．
k
【解答】解：（1）由条件可得2= ，
4
∴k＝8，
8
∴这个反比例函数的解析式为y= (x＞0)．
x
（2）描绘格点及反比例函数图象，如下，
8 1
（3）设平移后点A的坐标为（3，3﹣a），将（3，3﹣a）代入反比例函数y= ，得a= ，
x 3
1
∴等腰△ABC向下平移，当点A落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离a为 ．
3
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，描点法画图象，平移，熟练掌握待定系数法，平移是解题
的关键．
4．（2025•晋中二模）综合与实践
问题情境：山西的窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承
载着深厚的历史记忆和地域文化．图 1是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图，图 2是某装修公司承
揽窑洞装修任务后设计出的窑洞内部墙面及顶部装修示意图．
数学建模：
如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽 AB为4m，
窑洞顶部最高点O离地面3.75m，点A离地面2.25m．
第16页（共64页）（1）在图3中画出以点O为原点，平行于AB的直线为x轴、竖直方向为y轴的平面直角坐标系，并
求抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面3m的C，D处安装吊顶，若窑洞的深度为8m，求吊顶
所需材料的面积（结果精确到1m2，参考数据：√2≈1.414）；
（3）小红想在装修完工后为窑洞增添一些装饰．她计划从点A到点D，从点C到点B各拉一条彩带，
并在C，D两处悬挂彩灯CD，CM，DN（M，N在彩带上，CM⊥CD，DN⊥CD）．试计算小红需要购
买彩灯的总长度（结果精确到0.1m）．
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；应用意识．
3
【答案】（1）y=- x2 ；
8
（2）吊顶所需材料的面积约为23m2；
（3）小红需要购买彩灯的总长度约为4.1m．
【分析】（1）根据题意画出平面直角坐标系，找到点 A的坐标为（﹣2，﹣1.5），点B的坐标为
（2，﹣1.5）．设抛物线的函数表达式为y＝ax2．代入坐标即可求解；
（2）根据题意求得点 C 的坐标为(-√2，-0.75)，点 D 的坐标为(√2，-0.75)．进而可求
CD=2√2．即可求出吊顶所需材料的面积；
（3）过点 A 作 AQ⊥CD，交 DC 的延长线于点 Q．由题意，得 AQ＝0.75，QD=2+√2．证明
DC CM
△DCM∽△DQA．得 = ，求得CM≈0.62．进而可求答案．
DQ QA
【解答】解：（1）如图3所示，建立，平面直角坐标系，
第17页（共64页）∵窑洞顶部最高点O离地面3.75m，点A离地面2.25m，
∴3.75﹣2.25＝1.5，
∴点A，B的纵坐标为﹣1.5，
∵AB＝4，
∴点A的坐标为（﹣2，﹣1.5），点B的坐标为（2，﹣1.5），
∵点O为抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2．
∵把A（﹣2，﹣1.5）代入y＝ax2得﹣1.5＝4a，
3
解得a=- ，
8
3
∴y=- x2 ，
8
（2）∵CD离地面3m，
∴3.75﹣3＝0.75．
∴点C，D的纵坐标为﹣（+0.75）＝﹣0.75．
3
∵点C，D在抛物线y=- x2 上，
8
3 3
∴将y＝0.75代入y=- x2 ，得- x2=-0.75，
8 8
解得x =-√2，x =√2．
1 2
∴C(-√2，-0.75)，D(√2，-0.75)，
∴CD=2√2，
∴8×2√2=16√2≈23(m2 )，
第18页（共64页）答：吊顶所需材料的面积约为23m2．
（3）如图2，过点A作AQ⊥CD，交DC的延长线于点Q．
由题意，得AQ＝0.75，QD=2+√2，
∵AQ⊥CD，CM⊥CD，
∴CM∥AQ，
∴△DCM∽△DQA，
DC CM 2√2 CM
∴ = ，则 = ，
DQ QA 2+2√2 0.75
∴CM≈0.62，
∴CM+DN+CD＝0.62×2+2√2≈4.1（m），
答：小红需要购买彩灯的总长度约为4.1m．
【点评】本题考查二次函数的应用：用到的知识点为：待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与
一元二次方程的关系．理解题意选择恰当的方法是正确解答此题的关键．
5．（2025•金水区校级四模）【了解概念】
定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为60°的等线四边形叫做强等
线四边形．
【理解运用】
（1）下列四边形中，一定是等线四边形的是 ②④ ； （只填序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
【拓展提升】
（2）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向△ACB外作菱形ACFG和菱形ABDE，
且∠CAG＝∠BAE＝60°，连接CG，BE，GE．
①求证：四边形BCGE是强等线四边形；
②若 AB＝4，∠BAC＝30°，P，Q 分别是 BC，GE 的中点，连接 PQ，直接写出 PQ 的长．
第19页（共64页）【考点】四边形综合题．
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【专题】几何综合题；新定义；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能
力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等线四边形的定义即可得出答案；
（2）①连接BG、CE，交于点O，设CE交AB于点N，证明△BAG≌△EAC（SAS），根据全等三角形
的性质得BG＝EC，∠ABG＝∠AEC，求出∠BOE＝∠BAE＝60°，即可得出结论；
②可得△ACG、△ABE 都是等边三角形，则∠GAE＝∠CAG+∠BAC+∠BAE＝150°，推出
∠CGE+∠BEG＝∠AGC+∠AEB﹣（∠AGE+∠AEG）＝90°，连接PQ、CE，取CE的中点M，连接
1 1
PM、QM，根据三角形的中位线得 PM= BE＝2，PM∥BE，QM= CG=√3，QM∥CG，可得
2 2
∠CMQ+∠CMP＝∠CGE+∠CEG+∠CEB＝90°，利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）解：一定是等线四边形的是②矩形；④正方形．理由如下：
①平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形；
②矩形对角线相等，它一定是等线四边形；
③菱形对角线互相垂直平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形；
④正方形对角线相等，它一定是等线四边形，
故答案为：②④；
（2）①证明：连接BG、CE，交于点O，设CE交AB于点N，如图：
第20页（共64页）菱形ACFG和菱形ABDE中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝60°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△BAG和△EAC中，
{
AB=AE
∠GAB=∠CAE，
AG=AC
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴BG＝EC，∠ABG＝∠AEC，即∠OBN＝∠AEN，
∵∠OBN十∠BNO+∠BOE＝∠AEN+∠ENA+∠BAE＝180°，∠BNO＝∠ENA，
∴∠BOE＝∠BAE＝60°，即BG、CE所夹锐角为60°，
∴四边形BCGE是强等线四边形；
②解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠BAC＝30°，
√3
∴AC＝AB•cos∠BAC＝4× =2√3，
2
菱形ACFG和菱形ABDE中，AC＝AG＝2√3，AE＝AB＝4，∠CAG＝∠BAE＝60°，
∴△ACG、△ABE都是等边三角形，
∴∠GAE＝∠CAG+∠BAC+∠BAE＝150°，
∴CG＝AC＝2√3，BE＝AB＝4，∠AGC＝∠AEB＝60°，
∠AGE+∠AEG＝180°﹣∠GAE＝30°，
∴∠CGE+∠BEG＝∠AGC+∠AEB﹣（∠AGE+∠AEG）＝90°，
连接PQ、CE，取CE的中点M，连接PM、QM，如图：
∵分别是BC，GE的中点，
∴PM、QM分别是△BCE、△CGE的中位线，
1
∴PM= BE＝2，PM∥BE，
2
1
QM= CG=√3，QM∥CG，
2
∴∠CMP＝∠CEB，∠MQE＝∠CGE，
第21页（共64页）∵∠CMQ＝∠MQE+∠CEG，
∴∠CMQ＝∠CGE+∠CEG，
∴∠CMQ+∠CMP＝∠CGE+∠CEG+∠CEB＝90°，
在Rt△PQM中，由勾股定理得，
PQ=√PM2+QM2=√22+(√3) 2=√7，
即PQ的长为√7．
【点评】本题是四边形综合题，考查了新定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，
菱形的性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，理解等线四边形，强等线四边形的定义并运用是本
题的关键．
6．（2025•徐汇区模拟）已知：在直角坐标系中直线y＝ax+b与x轴、y轴相交于点A、B．当ax+b的值
1
小于0时，x的值大于4，且该直线与x轴的夹角为45°．抛物线y=- x2+bx+c经过点A和点B．
2
（1）【问题提出】如何求抛物线解析式
观察条件“当ax+b的值小于0时，x的值大于4”，可得当直线小于4时，x的值 大于 （选填“大
于”或“小于”）0，该条直线的大致图象可能是B （选填“A”或“B”），其中与x轴交点A的坐标
为 （ 4 ， 0 ） ．继续阅读条件，“该直线与x轴的夹角为45°”告诉我们其与y轴的交点的坐标B是
{ 1
- ×16+4b+c=0
（ 0 ， 4 ） ，代入抛物线，列出方程组 2 ，解得b＝ 1 ，c＝ 4 ．
c=4
（2）【综合运用】
P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线PQ翻折，点
O的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数几何综合题；运算能力．
第22页（共64页）{ 1
- ×16+4b+c=0
【答案】（1）大于，B，（4，0），（0，4）， 2 ，1，4；
c=4
（2）P（2√2，0）．
【分析】（1）根据图中直接可得前四个空的答案，再将点A和B的坐标代入抛物线的解析式，解方程
组即可解答；
（2）设点P的坐标为（t，0），证明△AOB，△OPQ是等腰直角三角形，则OP＝OQ＝t，再证明四
边形OPDQ是正方形，得D（t，t），代入抛物线的解析式即可解答．
【解答】解：（1）“当ax+b的值小于0时，x的值大于4”，可得当直线小于4时，x的值大于0，该
条直线的大致图象可能是B（选填“A”或“B”），其中与x轴交点A的坐标为（4，0），与y轴的交
点的坐标B是（0，4），
{ 1
1 - ×16+4b+c=0
将A（4，0），B（0，4）代入抛物线y=-- x2+bx+c中得： 2 ，
2
c=4
{b=1
解得： ；
c=4
{ 1
- ×16+4b+c=0
故答案为：大于，B，（4，0），（0，4）， 2 ，1，4；
c=4
（2）设点P的坐标为（t，0），
∵A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
第23页（共64页）∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PQ∥AB，
∴∠OPQ＝∠OAB＝45°，
∴△OPQ是等腰直角三角形，
∴OP＝OQ＝t，
由折叠得：OP＝PD＝t，OQ＝DQ＝t，
∴OP＝OQ＝PD＝DQ，
∵∠POQ＝90°，
∴四边形OPDQ是正方形，
∴D（t，t），
∵点D在抛物线上，
1
∴- t2+t+4＝t，
2
解得：t=±2√2，
∴P（2√2，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，正方形的性
质和判定，等腰直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．
7．（2025•徐汇区模拟）如图，已知在 Rt△ABC中，∠C＝90°，P是边 BC上一点，∠APC＝45°，
PD⊥AB，垂足为点D，AB＝4√5，BP＝4．
（1）求线段PD的长；
（2）如果∠C的平分线CQ交线段PD的延长线于点Q，求∠CQP的正切值；
（3）过点D作Rt△ABC的直角边的平行线，交直线AP于点E，作射线CE，交直线PD于点F，求
CE
EF
的值．
第24页（共64页）【考点】相似形综合题．
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【专题】几何综合题；推理能力．
4√5
【答案】（1） ；
5
1
（2） ；
3
CE 2 13
（3） 的值为 或 ．
EF 3 3
【分析】（1）设AC＝CP＝x，在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，构建方程求出x，再利用相似三角形
的性质求出PD；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，设CQ交AB于点J，过点J作JM⊥C于点M，JN⊥CB于点N．想办法
求出CH，HJ，证明∠Q＝∠HCJ，可得结论；
（3）分两种情形：如图2中，当DE∥BC时，设DE交AC于点K．求出DE，可得结论．如图3中，
当DE∥AC时，连接CD交AE于点R，DE交AB于点T．证明DT：DE＝2，CR：RD＝5：3，把图3中
△CDE提出来，见右图，过点E作EM∥CD交DF的延长线于点M，交CT的延长线于点N．利用平行
线的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠APC＝45°，
∴AC＝CP，
设AC＝CP＝x，
在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
∴x2+（x+4）2＝（4√5）2，
解得x＝4或﹣8（舍去），
∴AC＝CP＝4，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB＝∠C＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDP∽△BCA，
PD PB
∴ = ，
AC AB
PD 4
∴ = ，
4 4√5
4√5
∴PD= ；
5
第25页（共64页）（2）过点C作CH⊥AB于点H，设CQ交AB于点J，过点J作JM⊥C于点M，JN⊥CB于点N．
∵CQ平分∠ACB，JM⊥AC，JN⊥CB，
∴JM＝JN，
1
⋅AC⋅JM
S AJ 2 CA 1
∴ △ACJ = = = = ，
S BJ 1 CB 2
△BCJ ⋅CB⋅JN
2
1 4√5
∴AJ= AB= ，
3 3
1 1
∵ •AB•CH= •CA•CB，
2 2
4×8 8√5
∴CH= = ，
4√5 5
√ 8√5 4√5
∴AH=√AC2-CH2= 42-( ) 2= ，
5 5
4√5 4√5 8√5
∴JH＝AJ﹣AH= - = ，
3 5 15
∵DQ⊥AB，CH⊥AB，
∴CH∥DQ，
∴∠Q＝∠HCJ，
HJ 1
∴tan∠CQP＝tan∠HCJ= = ；
CH 3
（方法二，设CQ交AP于点G，证明△ADP∽△QGP可得结论）．
第26页（共64页）（3）如图2中，当DE∥BC时，设DE交AC于点K．
AC PD 1
∵tanB= = = ，
CB DB 2
8√5
∴BD＝2PD= ，
5
8√5 12√5
∴AD＝AB﹣BD＝4√5- = ，
5 5
∵DK∥CB，
AK AD DK
∴ = = ，
CA AB CB
12√5
∴AK 5 DK，
= =
4 4√5 8
12 24
∴AK= ，DK= ，
5 5
∵∠AEK＝∠CPA＝45°，∠AKD＝∠ACB＝90°，
12 12
∴AK＝KE= ，DE＝DK﹣KE= ，
5 5
∵DE∥CP，
12
∴EF DE 5 3，
= = =
CF CP 4 5
CE 2
∴ = ；
EF 3
第27页（共64页）如图3中，当DE∥AC时，连接CD交AE于点R，DE交AB于点T．
∵DE∥AC，
DT BT BD
∴ = = ，
AC BC BA
8√5
∴DT BT 5 ，
= =
4 8 4√5
8 16
∴DT= ，BT= ，
5 5
16 4
∴PT＝BP﹣BT＝4- = ，
5 5
ET PT
∴ = ，
AC AC
4
∴ET 5 ，
=
4 4
4
∴ET= ，
5
∴DT：ET＝2：1，
8 4
+
∵DR DE 5 5 3，
= = =
RC AC 4 5
把图3中△CDE提出来，见右图，过点E作EM∥CD交DF的延长线于点M，交CT的延长线于点N．
设DR＝3k，CR＝5k，
EN ET 1
∵ = = ，
CD DT 2
∴EN＝4k，
MN NP EN
∵ = = ，
CD PC CR
第28页（共64页）MN 4k
∴ = ，
8k 5k
32
∴MN= k，
5
32 12
∴EM＝MN﹣EN= k﹣4k= k，
5 5
12
k
∴EF EM 5 3 ，
= = =
CF CD 8k 10
CE 13
∴ = ．
EF 3
CE 2 13
综上所述， 的值为 或 ．
EF 3 3
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关
键是学会添加辅助线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考常考题型．
8．（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示．
x … ﹣2 0 1 …
y … ﹣2 ﹣2 1 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的
差为5，请直接写出n的值．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性
质；二次函数图象上点的坐标特征．
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第29页（共64页）【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣2；（2）顶点坐标为（﹣1，﹣3），作图见解析；（3）n＝1+√5或n＝4
-√5．
-2+0
【分析】（1）依据题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x= =-1，则可设二次
2
函数为y＝a（x+1）2+k，结合图象过（0，﹣2），（1，1），可得﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a
（1+1）2+k，进而求出a，k后即可判断得解；
（2）依据题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3，可得顶点坐标为（﹣1，﹣3），进而可以作图得解；
（3）依据题意，由二次函数的图象向右平移n个单位长度后，则新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3，故此
时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上，然后分三种情形分别讨论计算，进而可以得解．
-2+0
【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x= =-1．
2
∴可设二次函数为y＝a（x+1）2+k．
又∵图象过（0，﹣2），（1，1），
∴﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a（1+1）2+k．
∴a＝1，k＝﹣3．
∴二次函数为y＝（x+1）2﹣3，即y＝x2+2x﹣2．
（2）由题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）．
作图如下．
（3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后，
∴新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3．
第30页（共64页）∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上．
∴①当3≤n﹣1时，即n≥4，
∴当x＝0时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最小值为（4﹣n）2﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1﹣n）2﹣3﹣（4﹣n）2+3＝5．
10
∴n= ＜4，不合题意．
3
②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4，
∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3或（4﹣n）2﹣3；当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1﹣n）2﹣3+3＝5或（4﹣n）2﹣3+3＝5．
∴n＝1+√5或n＝1-√5（不合题意，舍去）或n＝4+√5（不合题意，舍去）或n＝4-√5．
③当n﹣1≤0时，即n≤1，
∴当x＝0时，y取最小值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最大值为（4﹣n）2﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（4﹣n）2﹣3﹣（1﹣n）2+3＝5．
5
∴n= ＞1，不合题意．
3
综上，n＝1+√5或n＝4-√5．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、
二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是
关键．
9．（2025•曾都区校级模拟）公司购进某种休闲食品，成本价为20元/kg，经过市场调研发现，这种休闲
食 品 在 未 来 40 天 的 销 售 单 价 y （ 元 /kg ） 与 时 间 x （ 天 ） 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ：
{0.25x+30(1≤x≤20)
y=
，且它的日销售量 m（kg）与时间 x（天）之间的函数关系为：m＝﹣
35(20＜x≤40)
2x+144．
（1）求第4天公司的销售利润；
（2）哪一天公司的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）公司决定每销售1kg商品就为当地捐款n元利润（n＜4）用于购买新冠疫情防控物资，后发现：
当1≤x≤20时，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x增大而增大，求n的取值范围．
第31页（共64页）【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用．
【答案】（1）第4天公司的销售利润为1496元；
（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；
（3）2≤n＜4．
【分析】（1）先求出第四天的销量，然后根据利润＝售价﹣成本，即可求解；
（2）分别写出当1≤x≤20时与当20＜x≤40时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可
求解；
（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴
16+2n＞19.5，求解即可．
【解答】解：（1）第4天的销量为：m＝﹣2×4+144＝136（kg），
第4天公司的销售利润为：136×（0.25×4+30﹣20）＝1496（元），
∴第4天公司的销售利润为1496元；
（2）设日销售利润为w，根据题意得：
当1≤x≤20时，
销售利润：w＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，
此时，当x＝16时，销售利润最大，最大值为1568元；
当20＜x≤40时，
销售利润：w＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，
此时，当x＝21时，销售利润最大，最大值为w＝﹣30×21+2160＝1530元；
综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，
根据题意可得：P＝﹣0.5x2+16x+1440﹣n（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+（16+2n）x+1440﹣144n，
其对称轴为：x＝16+2n，
∵抛物线开口向下，且当1≤x≤20时，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x增大而增大，且x只能取
整数，
∴16+2n≥20，解得n≥2，
∵n＜4，
∴n的取值范围是：2≤n＜4．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．
10．（2025•平谷区一模）矩形ABCD中，点E是DC上一点，连接AE、BE，过点A作BE的平行线，过
第32页（共64页）点B作AE的平行线，两条平行线交于点F，∠DAE＝∠BEC．
（1）求证：四边形AFBE是矩形；
（2）连接EF，若∠DAE＝30°，DE＝1，求EF的长．
【考点】矩形的判定与性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）EF的长为4．
【分析】（1）由AF∥BE，BF∥AE，证明四边形AFBE是平行四边形，由矩形的性质得∠D＝90°，由
∠DAE＝∠BEC，推导出∠AED+∠BEC＝∠AED+∠DAE＝90°，则∠AEB＝90°，即可证明四边形AFBE
是矩形；
（2）连接EF，由∠DAE＝30°，∠BAD＝∠AEB＝∠D＝90°，推导出∠ABE＝∠DAE＝30°，则AE＝
2DE＝2，所以AB＝2AE＝4，因为四边形AFBE是矩形，所以EF＝AB＝4．
【解答】（1）证明：∵AF∥BE，BF∥AE，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵∠DAE＝∠BEC，
∴∠AED+∠BEC＝∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠AED+∠BEC）＝90°，
∴四边形AFBE是矩形．
（2）解：连接EF，
∵∠DAE＝30°，∠BAD＝∠AEB＝∠D＝90°，DE＝1，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝∠DAE＝30°，
∵AE＝2DE＝2，
∴AB＝2AE＝4，
∵四边形AFBE是矩形，
第33页（共64页）∴EF＝AB＝4，
∴EF的长为4．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，
推导出∠AED+∠BEC＝90°，进而证明四边形AFBE是矩形是解题的关键．
11．（2025•溧阳市校级模拟）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文
明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长 100cm，宽40cm的展板上展出介
绍四大发明的海报，每幅海报面积均为640cm2，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为
xcm的彩色纸带，求彩色纸带的宽度．
【考点】一元二次方程的应用；列代数式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】将图中的四个名著平移在一起，则长为（100﹣5x）cm，宽为（40﹣2x）cm，然后根据每幅
海报面积均为640cm2，可以列出方程（100﹣5x）（40﹣2x）＝640×4，再求解即可．
【解答】解：由题意可得，
（100﹣5x）（40﹣2x）＝640×4，
解得x ＝4，x ＝36（不符合题意，舍去），
1 2
答：彩色纸袋的宽度为4cm．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
第34页（共64页）4
12．（2025•阳泉模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y= 图象的一支交于A（1，
x
m），B（n，1）两点．
（1）求点A，B的坐标及直线AB的函数表达式．
（2）连接BO并延长，交反比例函数图象的另一支于点C，连接AC，求△ABC的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
4
【分析】（1）分别代入点A，B的坐标到y= ，求出m，n的值，设直线AB的函数表达式为y＝
x
kx+b，代入点A，B的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）过点A作AD∥y轴交BC于点D，先求出直线OB的函数表达式，得出点D的坐标，再根据反比
例函数的性质求出点C的坐标，最后利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）由条件可得m＝4，
4
代入B（n，1）到y= ，得n＝4，
x
∴A（1，4），B（4，1），
设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，
{k+b=4
代入A（1，4），B（4，1）得， ，
4k+b=1
{k=-1
解得： ，
b=5
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+5．
（2）过点A作AD∥y轴交BC于点D，
第35页（共64页）设直线OB的函数表达式为y＝mx，
由条件可得，4m＝1，
1
解得：m= ，
4
1
∴直线OB的函数表达式为y= x，
4
1
令x＝1，则y= ，
4
1
∴D(1， )，
4
1 15
∴AD=4- = ，
4 4
由条件可知点C与点B关于原点对称，
∴C（﹣4，﹣1），
1 1 15
∴S = AD⋅|x -x |= × ×8=15，
△ABC 2 B c 2 4
∴△ABC的面积为15．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函
数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
1 k
13．（2025•旌阳区二模）如图，正比例函数y =- x与反比例函数y = (x＜0)的图象交于点A（m，
1 2 2 x
2）．
（1）求反比例函数的解析式；
1 k
（2）把直线y =- x向上平移3个单位长度与y = (x＜0)的图象交于点B，连接AB，OB，求
1 2 2 x
△AOB的面积．
第36页（共64页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力．
8
【答案】（1）y =- ；
2 x
（2）6．
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点B坐标，根据平行线间的距离可得S ＝S ，
△AOB △ADO
代入数据计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（m，2）在正比例函数图象上，
1
∴-2= m，解得m＝﹣4，
2
∴A（﹣4，2），
∵A（﹣4，2）在反比例函数图象上，
∴k＝﹣8，
8
∴反比例函数解析式为y =- ，
2 x
1
（2）把直线向上平移3个单位得到解析式为y=- x+3，
2
令x＝0，则y＝3，
∴记直线与y轴交点坐标为D（0，3），连接AD，
第37页（共64页）8
{ y=-
x
联立方程组 ，
1
y=- x+3
2
{ x=8 {x=-2
解得 （舍去）， ，
y=-1 y=4
∴B（﹣2，4），
由题意得：BD∥AO，
∴△AOB，△AOD同底等高，
1 1
∴S =S = OD⋅x = ×3×4=6．
△AOB △ADO 2 A 2
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移
等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．
14．（2025•老河口市校级模拟）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内
的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在
OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明
理由（假设船底与水面齐平）．
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B（4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）
2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可．
【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B（4，4），点O（0，0），
第38页（共64页）设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O（0，0）代入函数表达式，
1
解得：a=- ，
4
1
∴二次函数的表达式为y=- （x﹣4）2+4，
4
1
即y=- x2+2x（0≤x≤8）；
4
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
1
由题意得：工人距O点距离为0.4+ ×1.2＝1，
2
1
∴将x＝1代入y=- x2+2x，
4
7
解得：y= =1.75
4
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头．
【点评】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．
1 3-m m-2
15．（2025•阳泉模拟）（1）化简：( + )÷ ．
m+1 1-m2 m+1
{
3x＜x+4
（2）解不等式组 x-3 2x-1 ，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
≤ -1
2 3
【考点】解一元一次不等式组；分式的混合运算；在数轴上表示不等式的解集．
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【专题】分式；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
2
【答案】（1） ；
m-1
（2）﹣1≤x＜2，
【分析】（1）根据分式的运算法则计算即可；
（2）先分别求解各个不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可．
第39页（共64页）1 3-m m-2
【解答】解：（1）( + )÷
m+1 1-m2 m+1
m-1-(3-m) m+1
= ×
(m+1)(m-1) m-2
2(m-2) m+1
= ×
(m+1)(m-1) m-2
2
= ；
m-1
（2）解不等式3x＜x+4得，x＜2，
x-3 2x-1
解不等式 ≤ -1得，x≥﹣1，
2 3
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查了分式的化简、求一元一次不等式组的解集，熟练掌握分式的运算法则和解不等式
组的步骤是解题的关键．
16．（2025•福建模拟）如图，已知四边形ABCD是矩形，连接对角线AC，过点B作BE⊥AC于点E，过
点D作DF⊥AC于点F．求证：AE＝CF．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
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【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据矩形性质的AB＝CD，AB∥CD，则∠BAE＝∠DCF，再根据∠BEA＝∠DFC＝90°即可依
据“AAS”判定△BEA和△DFC全等，然后根据再全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，
第40页（共64页）在△BEA和△DFC中，
{∠BEA=∠DFC=90°
∠BAE=∠DCF ，
AB=CD
∴△BEA≌△DFC（AAS），
∴AE＝CF．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三
角形的判定和性质是解决问题的关键．
17．（2025•阳泉模拟）第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CNTE2025”）将于
2025年6月12日﹣14日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取了七、八年级的部分同
学进行了“国防知识知多少”的测试，规定满分为10分，8分及以上为优秀．
【数据整理】李丽同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图：
【数据分析】李丽同学对两个年级的成绩进行了如下分析：
平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率
七年级 a 8 c 72.5%
八年级 8.375 b 9 d
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 8.07 5 ，b＝ 8. 5 ，c＝ 8 ，d＝ 77.5% ．
（2）小颖同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是 8分，在我们年级属于中游水平．”你认
为小颖同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由．
（3）若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请你估计七年级测试成绩高于平均数的
人数．
【考点】众数；用样本估计总体；条形统计图；中位数．
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【专题】统计的应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）8.075，8.5，8，77.5%
第41页（共64页）（2）小颖同学可能是七年级的学生．理由见解析
（3）估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义直接求解即可；
（2）根据中位数的定义判断即可；
（3）利用样本估计总体求解即可．
4×6+7×7+15×8+10×9+4×10
【解答】解：（1）a= =8.075，
4+7+15+10+4
因为七年级数据中，数据8分出现15次，出现次数最多，所以这组数据的众数是8，
即c＝8，
1
因为八年级数据中，中间的两个数是8，9，所以中位数b= (8+9)=8.5，
2
11+14+6
d= ×100%=77.5%，
40
故答案为：8.075，8.5，8，77.5%；
（2）推测小颖同学可能是七年级的学生．
因为小颖的分数在年级属于中游略偏上，即小颖的分数大于或等于七年级的中位数，所以成绩在中游
略偏上，
故答案为：七；
（3）由原数据可得七年级高于8.075的同学有14（人），
14
估计七年级测试成绩高于平均数的人数约=600× =210（人）．
40
【点评】本题考查了统计表、中位数、众数等知识，熟练掌握中位数、众数的定义，用样本估计总体
等知识是解答此题的关键．
18．（2025•蚌埠模拟）如图1，AB是 O的直径，点D为AB下方 O上一点，点C为^ABD的中点，连
结CD，CA，AD． ⊙ ⊙
（1）求证：OC平分∠ACD．
（2）如图2，延长AC，DB相交于点E．
①求证：OC∥BE．
②若CE=4√5，BD＝6，求 O的半径．
⊙
第42页（共64页）【考点】圆的综合题．
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【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由点C为^ABD的中点，得^AC=^DC，所以AC＝DC，由垂径定理得OC⊥AD，即可根
据等腰三角形的“三线合一”证明OC平分∠ACD；
（2）由AB是 O的直径，得∠ADB＝90°，由OC⊥AD，BE⊥AD，得OC∥BE；
②连结BC，则⊙∠ACB＝90°，由OC＝OA，∠OAC＝∠OCA，由平行线的性质得∠OCA＝∠E，则
∠OAC＝∠E，所以EB＝AB，而BC⊥AE，则CA＝CE＝4√5，所以AE＝8√5，设 O的半径为r，则
EB＝AB＝2r，DE＝6+2r，由勾股定理得（2r）2﹣62＝（8√5）2﹣（6+2r）2＝AD2，⊙求出符合题意的r
值即可．
【解答】（1）证明：∵点C为^ABD的中点，
∴^AC=^DC，
∴AC＝DC，OC⊥AD，
∴OC平分∠ACD．
（2）①证明：
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴BE⊥AD，
∵OC⊥AD，BE⊥AD，
∴OC∥BE．
②解：如图2，连结BC，则∠ACB＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵OC∥BE，
∴∠OCA＝∠E，
第43页（共64页）∴∠OAC＝∠E，
∴EB＝AB，
∵BC⊥AE，
∴CA＝CE＝4√5，
∴AE＝2CE＝8√5，
设 O的半径为r，则EB＝AB＝2r，
∵B⊙D＝6，
∴DE＝BD+EB＝6+2r，
∵AB2﹣BD2＝AE2﹣DE2＝AD2，
∴（2r）2﹣62＝（8√5）2﹣（6+2r）2，
整理得r2+3r﹣40＝0，
解得r ＝5，r ＝﹣8（不符合题意，舍去），
1 2
∴ O的半径长为5．
⊙
【点评】此题重点考查垂径定理、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定、平行线的判定与性
质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难
度较大，属于考试压轴题．
19．（2025•崂山区一模）在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，
对“等对四边形”进行研究．
定义：对角线相等的四边形是等对四边形．
（1）判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是 ①③ ；
①矩形②菱形③正方形④平行四边形
（2）操作：如图1是6×8方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为2√10的等
对四边形，要求四个顶点均在格点上；
（3）推理：如图 2，已知△ABC中，以AB和AC为边在△ABC的外侧分别作等腰直角△ABD和
△ACE，连结DE．求证：四边形BCED是等对四边形．
第44页（共64页）【考点】四边形综合题．
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【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①③；
（2）见解析；
（3）见解析．
【分析】（1）根据矩形和正方形的性质以及等对四边形的定义即可得到结论；
（2）根据题意画出四边形ABCD即可；
（3）证明：连接BE，CD，根据等腰直角三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝
90°，求得∠DAC＝∠BAE，根据全等三角形的性质得到BE＝CD，于是得到四边形BCED是等对四边
形．
【解答】（1）解：∵矩形和正方形的对角线相等，
∴矩形和正方形是等对四边形，
故答案为：①③；
（2）解：如图所示，四边形ABCD即为所求；
（3）证明：连接BE，CD，
第45页（共64页）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠BAC+∠CAE，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ABE与△ADC中，
{
AD=AB
∠BAE=∠DAC，
AE=AC
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，
∴四边形BCED是等对四边形．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
正确地作出图形是解题的关键．
20．（2025•阳泉模拟）综合与实践
问题情境
如图1，窑洞是黄土高原独特的居住形式，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息．为响应国家乡
村振兴战略，协助当地村民改善居住环境，留住文化底蕴．当地政府计划将窑洞现有的纱布糊窗统一
改为玻璃窗户，并将门上方的窗户换为断桥窗户，进一步提升窑洞的采光和通风．
方案设计
小明对窑洞进行了测量并绘制了如图 2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形
ABCD和抛物线组成的封闭图形．已知AB＝4米，BC＝2米，窑洞口的最高点P到地面CD的距离为4
米，其中点H，G在AB上，点E，F在抛物线上．
第46页（共64页）方案实施
在图2中，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．请按照以上方
法解决问题：（1）请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式．
（2）当FG＝2EF时，求EF和FG的长．
（3）如图3，在矩形EFGH两侧分别作两个正方形HIJK和正方形LMNG，其中，点J，M在抛物线上，
点K，L在AB上，点I，N分别在EH和FG上．若将抛物线和AB构成的封闭区域内的线段定制为木
质框架（不含抛物线和AB，不考虑木质框架宽度），当矩形EFGH所需的木质框架总长度最长时，请
直接写出封闭区域内木质框架的总长度．
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；应用意识．
1
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=- x2+2；
2
（2）EF=4√5-8，FG=8√5-16；
（3）封闭区域内木质框架的总长度为(4√7-3)米．
【分析】（1）根据题意画出坐标系，利用待定系数法求解即可；
1
（2）由题意设EF＝HG＝2d，则点F的坐标为（d，4d），再代入y=- x2+2，求得d=2√5-4，据
2
此求解即可；
1
（3）设F(m，- m2+2)，则矩形EFGH所需的木质框架总长度＝EF+2FG＝﹣（m﹣1）2+5≤5，求
2
得当m＝1，矩形EFGH所需的木质框架总长度有最大值为5，再设正方形HIJK和正方形LMNG的边
1
长为n，得到M（1+n，n），代入y=- x2+2，求得n的值，据此求解即可．
2
【解答】解：（1）坐标系如图所示，
第47页（共64页）由题意得，抛物线的顶点坐标为P（0，2），B（2，0），
则设抛物线的函数表达式为y＝ax2+2，
将B（2，0）代入得0＝a•22+2，
1
解得a=- ，
2
1
∴抛物线的函数表达式为y=- x2+2；
2
（2）由题意得四边形EFGH为矩形，设EF＝HG＝2d，
∵FG＝2EF，
∴FG＝4d，
∴E（﹣d，4d），F（d，4d），
1
∵点F（d，4d）在抛物线y=- x2+2上，
2
1
∴4d=- d2+2，
2
解得d=2√5-4或d=-2√5-4（舍去），
∴EF=4√5-8，FG=8√5-16；
（3）如图，设H（﹣m，0），G（m，0），
第48页（共64页）1
∵四边形EFGH为矩形，且点E和F在抛物线y=- x2+2上，
2
1 1
∴E(-m，- m2+2)，F(m，- m2+2)，
2 2
1
∴矩形EFGH所需的木质框架总长度＝EF+2FG＝2m+2（- m2+2）＝﹣（m﹣1）2+5≤5，
2
∴当m＝1，
∴矩形EFGH所需的木质框架总长度有最大值，最大值为5，
此时H（﹣1，0），G（1，0），
设正方形HIJK和正方形LMNG的边长为n，则J（﹣1﹣n，n），M（1+n，n），
1
将M（1+n，n）代入y=- x2+2，
2
1
得n=- (1+n) 2+2，
2
解得n=√7-2或n=-√7-2（舍去），
∴JK+JI+MN+MJ＝4n＝4√7-8，
∴封闭区域内木质框架的总长度=4√7-8+5=(4√7-3)米，
即，封闭区域内木质框架的总长度为(4√7-3)米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，正方形的性质，正
确地求得二次函数的解析式是解题的关键．
21．（2025•旌阳区二模）如图1， O为△ABC的外接圆，点B为^ABC的中点，点F为劣弧AC上除弧
中点外一动点，连接AF，∠AFB⊙＝60°，连接BF交AC于D点，过F点作 O的切线交直线AC于E
点，连接BE． ⊙
第49页（共64页）（1）连接OA，OB，则∠AOB＝ 12 0 °，若AB＝3，则 O的面积＝ 3 ；
（2）判断△DEF的形状，并进行证明； ⊙ π
（3）已知 O的半径为r，如图2，取AC延长线上一点G，连接BG，且BC平分∠GBF．
①求AF•B⊙G；（结果用r表示）
1 1
② - 是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（结果用r表示）
CD CG
【考点】圆的综合题．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；
与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）120；3 ；（2）△DEF 的形状是等腰三角形，证明见解析；（3）① 3r2；②
π
1 1
- ，理由见解析．
CD CG
【分析】（1）连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于点H，利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理和
直角三角形的边角关系定理解答即可；
（2）连接BO并延长交AC于点N，连接OC，OF，利用圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定
理，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的判定与性质解答即可；
（3）①连接BO并延长交AC于点N，连接OC，OF，CF，利用（1）的结论得到AB=√3OA，利用等
边三角形的判定与性质得到AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，再利用相似三角形的判定
与性质解答即可得出结论；
②过点C作CH∥AB，交BG于点H，设CD＝m，GC＝n，则AG＝GC+AC＝n+√3r，利用平行线的性
质，全等三角形的判定与性质得到DC＝HC＝m，再利用相似三角形的判定与性质得到m，n的关系式，
将CD，CG代入即可得出结论．
【解答】解：（1）连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于点H，如图，
第50页（共64页）则∠AOB＝2∠AFB＝120°．
∵OA＝OB，OH⊥AB，
1 1 3
∴∠AOH＝∠BOH= ∠AOB＝60°，AH＝BH= AB= ．
2 2 2
在Rt△AOH中，
AH
∵sin∠AOH= ，
OA
3
∴√3 2 ，
=
2 OA
∴OA=√3．
∴ O的面积＝ •OA2＝3 ．
故⊙答案为：120；π 3 ； π
（2）△DEF的形状π是等腰三角形，证明：
连接BO并延长交AC于点N，连接OC，OF，如图，
∵点B为^ABC的中点，
∴^AB=^BC，
∴BN⊥AC，AB＝BC．
∴∠BDN＝90°﹣∠OBD．
∵EF为 O的切线，
∴OF⊥E⊙F，
第51页（共64页）∴∠BFE＝90°﹣∠OFB．
∵OB＝OF，
∴∠OBD＝∠OFB，
∴∠EFB＝∠NDB．
∵∠NDB＝∠FDE，
∴∠BFE＝∠FDE，
∴EF＝ED，
∴△DEF的形状是等腰三角形；
（3）①连接BO并延长交AC于点N，连接OC，OF，CF，如图，
∵点B为^ABC的中点，
∴^AB=^BC，
∴BN⊥AC，AB＝BC．
∵∠ACB＝∠AFB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°．
由（1）知：AB=√3OA．
∵ O的半径为r，
∴A⊙B＝BC＝AC=√3r．
∵BC平分∠GBF，
∴∠FBC＝∠GBC．
∵∠G＝∠ACB﹣∠GBC＝60°﹣∠GBC，∠ABF＝∠ABC﹣∠FBC＝60°﹣∠FBC，
∴∠ABF＝∠G．
∵∠AFB＝∠BAC＝60°，
∴△ABF∽△BGA，
AB AF
∴ = ，
BG AB
第52页（共64页）∴AF•BG＝AB2=(√3r) 2=3r2．
1 1 √3
② - 为定值，定值为 ，理由：
CD CG 3r
过点C作CH∥AB，交BG于点H，如图，
设CD＝m，GC＝n，
由①知：AB＝BC＝AC=√3r，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
则AG＝GC+AC＝n+√3r．
∵CH∥AB，
∴∠HCG＝∠BAC＝60°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB﹣∠HCG＝60°＝∠ACB．
在△BDC和△BHC中，
{∠DBC=∠HBC
BC=BC ，
∠ACB=∠BCH
∴△BDC≌△BHC（ASA），
∴DC＝HC＝m．
∵CH∥AB，
∴△GHC∽△GBA，
CH GC
∴ = ，
AB GA
m n
∴ = ，
√3r n+√3r
∴mn+√3mr=√3nr，
∴√3r（n﹣m）＝mn．
1 1 1 √3
∴ - = = ．
m n √3r 3r
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，等边三角形的
第53页（共64页）判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，含30°角的直
角三角形的性质，角平分线的定义，直角三角形的边角关系定理，圆的切线的性质，连接经过切点的
半径是解决此类问题常添加的辅助线．
22．（2025•湖北三模）如图，AB为 O的直径，点C是 O上一点，CD平分∠ACB交 O于点D，过
点D作直线EF∥AB分别交CA，CB⊙的延长线于点E，F⊙． ⊙
（1）求证：EF是 O的切线；
（2）若AC＝6，B⊙C＝8，求EF的长．
【考点】圆的综合题．
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【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）连接OD，如图1，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵AB为 O的直径，
⊙ 1
∴∠AOD=∠BOD= ×180°=90°，
2
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD为 O的半径，
∴直线E⊙F是 O的切线；
24⊙5
（2）EF= ．
12
【分析】（1）连接OD，根据平分线得∠ACD＝∠BCD，结合圆周角定理得∠AOD＝∠BOD，再结合
第54页（共64页）的直径得OD⊥AB，由平行线得OD⊥DE即可证明；
（2）过点A作AG⊥EF于点G，过点B作BH⊥EF于点H，则四边形AGHB为矩形，有∠CAB+∠EAG
AG EG
＝90°和GH＝AB，证明△EAG∽△ABC有 = ，即可求得EG，同理可证，△BFH∽△ABC，求得
BC AC
FH，由EF＝EG+GH+HF即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵AB为 O的直径，
⊙ 1
∴∠AOD=∠BOD= ×180°=90°，
2
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD为 O的半径，
∴直线E⊙F是 O的切线；
（2）解：如图⊙2，连接OD，过点A作AG⊥EF于点G，过点B作BH⊥EF于点H，
则∠AGH＝∠GHB＝∠HBA＝90°，
∴四边形AGHB为矩形，
∴∠CAB+∠EAG＝90°，GH＝AB，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
第55页（共64页）∴∠EAG＝∠ABC，
∴△EAG∽△ABC，
AG EG
则 = ，
BC AC
在直角三角形ABC中，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB=√AC2+CB2=10，
∴ O的半径为5，
∵⊙AG＝OD＝5，
5 EG
∴ = ，
8 6
15
解得EG= ，
4
FH BH
同理可证，△BFH∽△ABC，则 =
BC AC
FH 5
即 = ，
8 6
20
解得：FH= ，
3
15 20 245
则EF=EG+GH+HF= +10+ = ．
4 3 12
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查直径所对的圆周角为直角、圆周角定理、角平分线的性质、
切线的判定、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟悉圆的性质
和三角形的性质．
k
23．（2025•湖北三模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝ax+b与反比例函数y = 的图象
1 2 x
在第一、第三象限分别交于A（1，m），B（﹣2，n）两点，且m+n＝3，C是x轴正半轴上一点，
AC⊥BC．
（1）求一次函数与反比例函数解析式；
（2）求∠ABC的度数．
第56页（共64页）【考点】反比例函数综合题．
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6
【答案】（1）y ＝3x+3；y = ；
1 2 x
（2）∠ABC＝45°．
【分析】（1）把A、B坐标代入反比例函数解析式得到k＝m＝﹣2n，再结合已知条件求出m、n的值，
再利用待定系数法求解即可；
（2）设C（m，0），则AC2＝m2﹣2m+37，BC2＝m2+4m+13，AB2＝90，利用勾股定理可得方程m2﹣
2m+37+m2+4m+13＝90，解方程可证明AC＝BC，据此可得答案．
k
【解答】解：（1）已知一次函数y ＝ax+b与反比例函数y = 的图象在第一、第三象限分别交于A
1 2 x
（1，m），B（﹣2，n）两点，将点A，点B的坐标分别代入得：
k
{m=
1
，
k
n=
-2
解得：k＝m＝﹣2n，
∵m+n＝3，
∴﹣2n+n＝3，
解得：n＝﹣3，
∴m＝6，
∴k＝6，A（1，6），B（﹣2，﹣3），
6
∴反比例函数解析式为y = ，
2 x
把点A，点B的坐标分别代入y ＝ax+b得：
1
{ a+b=6
，
-2a+b=-3
第57页（共64页）{a=3
解得： ，
b=3
∴一次函数解析式为y ＝3x+3；
1
（2）设C（m，0），
∵A（1，6），B（﹣2，﹣3），
∴AC2＝（1﹣m）+（6﹣0）2＝m2﹣2m+37，BC2＝（﹣2﹣m）+（﹣3﹣0）2＝m2+4m+13，
AB2＝（﹣2﹣1）+（﹣3﹣6）2＝90，
∵AC⊥BC，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴m2﹣2m+37+m2+4m+13＝90，
解得m＝4或m＝﹣5（不合题意，舍去），
∴AC2＝42﹣2×4+37＝45，BC2＝42+4×4+13＝45，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，两点距离计
算公式，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
24．（2025•湖北三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0），和直线l：y＝
kx+b，点A（﹣3，﹣5），B（1，﹣1）均在直线l上．
（1）若抛物线C与直线l有交点，求出a的取值范围；
（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的
值：
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
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1
【答案】（1）a≤ 且a≠0；
4
（2）m的值为﹣3或3；
2 1
（3） ≤a＜ 或a≤﹣2．
9 4
【分析】（1）利用待定系数法求出直线l的解析式，联立方程组并整理得ax2+x+1＝0，由抛物线C与
直线l有交点得出ax2+x+1＝0有实数根，然后利用根的判别式求解即可；
第58页（共64页）（2）先求出抛物线的对称轴为x＝1，然后分m+3＜1，m≤1≤m+3，m＞1三种情况讨论，利用二次函
数的性质求解即可；
（3）分a＞0，a＜0两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0），和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣5），B
（1，﹣1）均在直线l上．将点A，点B的坐标分别代入得：
{-3k+b=-5
，
k+b=-1
{ k=1
解得： ，
b=-2
∴直线解析式为y＝x﹣2，
{ y=x-2
联立得： ，
y=ax2+2x-1
整理得：ax2+x+1＝0，
∵抛物线C与直线l有交点，
∴ax2+x+1＝0（a≠0）有实数根，
{Δ=1-4a≥0
依题意得： ，
a≠0
1
解得：a≤ 且a≠0；
4
（2）当a＝﹣1时，二次函数解析式y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，
∴对称轴为直线x＝1，
当m+2＜1，即m＜﹣1时，则当m≤x≤m+2时，y随x的增大而增大，
∴当x＝m+2时，y有最大值为﹣（m+2﹣1）2，
∴﹣（m+2﹣1）2＝﹣4，
解得：m ＝﹣3，m ＝1（不合题意，舍去）；
1 2
当m≤1≤m+2，即﹣1≤m≤1时，则当x＝1时，y有最大值为0，不合题意，舍去；
当m＞1时，y随x的增大而减小，则当x＝m时，y有最大值为﹣（m﹣1）2，
∴﹣（m﹣1）2＝﹣4，
解得：m ＝3，m ＝﹣1（不合题意，舍去）；
1 2
综上所述，m的值为﹣3或3；
2 1
（3）a的取值范围为 ≤a＜ 或a≤﹣2．理由如下：
9 4
第59页（共64页）当a＞0时，
{
a+2-1≥-1
由题意，得： 9a-6-1≥-5，
Δ=1-4a＞0
2 1
解得： ≤a＜ ；
9 4
当a＜0时，
{
a+2-1≤-1
由题意得： 9a-6-1≤-5，
Δ=1-4a＞0
解得：a≤﹣2；
2 1
综上所述， ≤a＜ 或a≤﹣2．
9 4
【点评】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法及二次函数的对称，熟
练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．
25．（2025•合肥一模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）如图1，在菱形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，将△AED沿AE翻折到△AEF，延长AF交
BC于点P，请写出图中的所有“筝形”；
PC
（2）如图2，将（1）中的“菱形ABCD”改为“正方形ABCD”，其他条件不变，求 的值；
PB
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，E是边DC的中点，连接AE，将△AED沿AE翻折到
△AEF，点P是线段BC上一点，若四边形PCEF是“筝形”，请直接写出CP的长．
【考点】四边形综合题．
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【答案】（1）ABCD，AFED，PCEF；理由见解答过程；
1
（2） ；
3
第60页（共64页）9
（3）CP的长为 ；理由见解答过程．
5
【分析】（1）由折叠的性质得到AD＝AF，DE＝EF，即四边形AFED是“筝形”；再根据菱形的性
质结合折叠的性质得到∠EFC＝∠BCD，连接CF，由E是DC的中点，得到DE＝EF＝CE，推出
∠EFC＝∠ECF，求出∠PCF＝∠PFC，得到PF＝PC，即四边形PCEF是“筝形”；
（2）同理（1）可证四边形PCEF是“筝形”，设DE＝EF＝x，则正方形ABCD边长为2x，利用勾股
定理求出AE=√5x，连接 PE，证明△APE 是直角三角形，利用正切的定义可得 tan∠DAE＝
tan∠EAP，求出PE，勾股定理求出PC，即可得解；
（3）延长AF交BC于点Q，连接PF，QE，同理（1）可证四边形QCEF是“筝形”，当P，Q重合
时，四边形 PCEF 是“筝形”，同理（2）得△AQE 是直角三角形，∠QAE＝∠DAE，
DE QE
tan∠DAE= =tan∠QAE= ，求出QE，勾股定理求出QC，即可得到此时CP的长．
AD AE
【解答】解：（1）图中的“筝形”有ABCD，AFED，PCEF；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，即四边形ABCD是“筝形”；
∵将△AED沿AE翻折到△AEF，
∴AD＝AF，DE＝EF，
即四边形AFED是“筝形”；
∵将△AED沿AE翻折到△AEF，
∴∠D＝∠AFE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD+∠D＝180°，
∴∠BCD+∠AFE＝180°，
∵∠EFP+∠AFE＝180°，
∴∠BCD＝∠EFP，
连接CF，如图1，
第61页（共64页）∵E是DC的中点，
∴DE＝EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴∠PCF+∠ECF＝∠PFC+∠EFC，即∠PCF＝∠PFC，
∴PF＝PC，即四边形PCEF是“筝形”；
综上所述，图中的“筝形”有ABCD，AFED，PCEF；
（2）同理（1）得：四边形PCEF是“筝形”，
设DE＝EF＝CE＝x，则CD＝2x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝2x，
在直角三角形ADE中，由勾股定理得：AE=√AD2+DE2=√5x，
连接PE，如图2，
∵四边形PCEF是“筝形”，
∴EF＝CE，PC＝PF，
在△EFP和△ECP中，
{EF=EC
PF=PC，
EP=EP
∴△EFP≌△ECP（SSS），
第62页（共64页）∴∠PEF＝∠PEC，
由折叠的性质得：∠AED＝∠AEF，∠DAE＝∠PAE，
∵∠AED+∠AEF+∠PEF+∠PEC＝180°，即∠AEF+∠PEF＝90°，
∴△APE是直角三角形，
∴∠PAE+∠AEF＝∠AEF+∠PEF＝90°，
∴∠PAE＝∠PEF，
∴∠PAE＝∠PEF＝∠DAE，
DE x 1 PE PE
∴tan∠DAE= = = =tan∠PAE= = ，
AD 2x 2 AE √5x
√5
∴PE= x，
2
1
∴PC=√PE2-CE2= x，
2
3
∴PB=BC-PC= x，
2
1
x
PC 2 1
∴ = = ；
PB 3 3
x
2
9
（3）CP的长为 ．理由如下：
5
延长AF交BC于点Q，连接PF，QE，如图3，
同理（1）可证四边形QCEF是“筝形”，
当P，Q重合时，四边形PCEF是“筝形”，
同理（2）得△AQE是直角三角形，∠QAE＝∠DAE，
DE QE
∴tan∠DAE= =tan∠QAE= ，
AD AE
在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，E是边DC的中点，
第63页（共64页）1 1
∴DE=CE= CD= AB=3，
2 2
由勾股定理得：AE=√AD2+DE2=√34，
3 QE
∴ = ，
5 √34
3√34
∴QE= ，
5
9
∴QC=√QE2-CE2=
，
5
9
∴此时CP= ，
5
9
故CP的长为 ．
5
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，解直角三角
形，勾股定理，正确作出辅助线，理解“筝形”的定义是解题的关键．
第64页（共64页）
