文档内容
21.2.4一元二次方程根与系数的关系
【考点归纳】
考点一：一元二次方程根与系数的关系
考点二：由根与系数的关系直接求代数式的值
考点三：由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值
考点四：由方程两根满足关系求字母的值
考点五 ：不解方程由根与系数的关系判断根的问题
考点六 ：根与系数关系中的新定义问题
考点七 ：根与系数的关系和根的判别式的综合应用
【知识梳理】
知识点一： 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
知识点二：一元二次方程根与系数的关系
如果方程 有两个实数根 那么
，
知识点三：有关根与系数的关系的两个重要推论
（1）以 为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是
的两个实数根是 那么
（2）如果方程 ，【题型探究】
题型一：一元二次方程根与系数的关系
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·模拟预测）若关于x的一元二次方程 的一个根为2，则另一个根为（ ）
A． B． C． D．2
2．（23-24八年级下·山东东营·期末）若 ， ，则以 ， 为根的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）设一元二次方程 的两个实数根为 和 ，则下列结论正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：由根与系数的关系直接求代数式的值
4．（23-24九年级上·四川达州·期末）设 、 是一元二次方程 的两个实数根，则 的
值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2024·山东聊城·模拟预测）关于x的一元二次方程 的两个根为 ，且 ，则
的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
6．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）设一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为
（ ）
A． B．1 C． D．5
题型三：由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值
7．（23-24八年级下·安徽池州·期末）已知 ， 是方程 的两个根，则 的值为（ ）A． B． C．2024 D．2025
8．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 、
，且 ，则 的值是（ ）
A． 或 B． 或2 C．2 D．
9．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若 ，且有 ，及 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
题型四：由方程两根满足关系求字母的值
10．（2024·四川南充·二模）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·广东广州·一模）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，且满足
，则 的值是（ ）
A． B． C． D． 或
12．（2024·河南安阳·模拟预测）若 是方程 的两个根，则 （ ）
A． B．16 C． D．20
题型五 ：不解方程由根与系数的关系判断根的问题
13．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程 一个实根为1，则另一个实
根为（ ）
A．2 B．3 C． D．
14．（2024九年级·全国·竞赛）方程 的两根的符号是（ ）
A．都为正 B．都为负 C．一正一负 D．无法确定
15．（2023·江西赣州·一模）设 是关于x的方程 的两根， 是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（ ）
A．1， B．1，3 C． ， D． ，3
题型六 ：根与系数关系中的新定义问题
16．（23-24八年级下·广东湛江·期末）阅读材料：在一元二次方程 中，我们定义方程的判别
式为 ，当 时，方程有两不同的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没
有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为 ，两根之积为 ．
已知关于x的方程：
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围．
(2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值．
(3)若方程的两个实数根为 ，且 ，求m的值．
17．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程
的两个实数根分别为 、 ，那么两个根的关系为
， ．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
小明在探究二次项系数为1的一元二次方程 根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为： ，
．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．
定义：
倍根方程：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外
一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等
于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
(1)请你判断：方程 是______（填“倍根方程”或“方根方程”）；
(2)若一元二次方程 是“倍根方程”，求c的值；
(3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程 ，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
18．（2024·广东汕头·二模）如果关于x 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，且 ，
那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程 的两个根是 ， ， ，则
方程 是“邻近根方程”．
(1)判断方程 是否是“邻近根方程”；
(2)若关于x 的方程 （b，c是常数）是“邻近根方程”，求 的最大值．
题型七 ：根与系数的关系和根的判别式的综合应用
19．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个实数根；
(2)若一元二次方程有两个根 和 ，且 ，求k的值．
20．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为 ，且 ，求m的值．
21．（23-24九年级下·山东烟台·期末）关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)如果 是符合条件的最大整数，且关于 的一元二次方程 与方程 有一个相
同的根，求此时 的值；(3)若方程 的两个实数根为 ，且 ，求此时 的值．
【高分演练】
一：单选题
22．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若方程 的两根为 ， ，则 的值为：（ ）
A．2 B． C． D．
23．（2024九年级上·全国·专题练习）若m，n为方程 的两个实数根，则 （ ）
A． B． C． D．
24．（2024九年级上·全国·专题练习） 中， 的长分别等于一元二次方程 两根之和与
两根之积，则对角线 长的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
25．（2024九年级上·全国·专题练习）若关于x的方程 的两根之和为p，两根之积为q，则关
于y的方程 的两根之积是（ ）
A． B． C． D．
26．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义 为方程 的特征数．若特征数为 的
方程的两实数根的平方和为12，则 的值为（ ）
A． 或4 B． C． D． 或1
27．（2024·内蒙古包头·三模）平行四边形 的两边 ， 的长是关于 的方程 的两个
实数根．若 的长为 ，那么平行四边形 的周长是（ ）
A． B． C． D．
28．（23-24八年级下·浙江·期中）已知关于x的一元二次方程 ，有下列结论：①当 时，方程
有两个不相等的实数根；②当 时，方程不可能有两个异号的实数根；③当 时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
29．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题：
①若 ， 则
②若方程的两根为 和 ， 则
③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根；
④若 是该方程的一个根，则 一定是 的一个根．
其中真命题的个数 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
30．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程 的一个根为 ，则方程的另一个根为 ．
31．（2024·四川成都·模拟预测）若a，b是一元二次方程 的两个实数根，则代数式
的值为 ．
32．（2024九年级上·江苏·专题练习）（1）已知一元二次方程 的两根为 ，则 的值
为 ．
（2）若m、n是方程 的两个实数根，则 的值为 ．
33．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知 、 是关于x的方程 的两实数根，且
，则k的值为 ．
34．（2024·山东济宁·三模）若关于 的方程 为正整数）的两根分别记为 ， ，如：当
时，方程的两根记为 ， ，则 ．35．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有实数根 ， ，且 ，
有下列结论：
① ；
②若 ，则 ；
③关于x的方程 的根为 ， ；
④关于x的方程 的根为2，3．
其中正确结论的有 ．
三、解答题
36．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有两个实数根，求 的取值范围；
(2)若方程的两个根为 ， 且 ，求 的值．
37．（2024九年级上·江苏·专题练习）设 ， 是方程 的两个实数根，不解方程，求下列代数式的
值．
(1) ；(2) ．
38．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程的一个根是 ，求方程的另一个根；
(2)若该一元二次方程的两个根分别为 ， ，当 时，求 的值．
39．（2024九年级上·全国·专题练习）已知 、 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的
实数根
(1)直接写出m的取值范围(2)若满足 ，求m的值．
(3)若 ，求证： ；
40．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有一个根是 ，求k的值．
(2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
(3)若该方程的两个实数根 满足 ，求k的值．
41．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，且
，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程 的两个根是 ， ，
，方程 是“伴根方程”．
(1)判断方程 是否为“伴根方程”；
(2)已知关于x的方程 （m是常数）是“伴根方程”，求m的值．
