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21.2.3 因式分解法解一元二次方程
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1．（2025•东区校级一模）一元二次方程x2＝2x的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0且x＝2
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x2＝2x，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0，x﹣2＝0，
x＝0或2，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，
难度适中．
2．（2025•盐城一模）已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
【分析】先利用因式分解法解方程得到x ＝5，x ＝2，根据等腰三角形的性质，等腰△ABC的三边长可
1 2
以为5、5、2或5、5、5或2、2、2，然后分别计算对应的△ABC的周长．
【详解】解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣5）（x﹣2）＝0，
x﹣5＝0或x﹣2＝0，
所以x ＝5，x ＝2，
1 2
当等腰△ABC的边长分别为5、5、2时，△ABC的周长为5+5+2＝12；
当等腰△ABC的边长分别为5、5、5时，△ABC的周长为5+5+5＝15；
当等腰△ABC的边长分别为2、2、2时，△ABC的周长为2+2+2＝6，
综上所述，△ABC的周长为6或12或15．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．3．（2024秋•滨城区期中）我们解一元二次方程x2﹣1＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为（x﹣
1）（x+1）＝0，得到两个一元一次方程：x﹣1＝0，x+1＝0从而得到原方程的解为x ＝1，x ＝﹣1．这
1 2
种解法体现的数学思想是（ ）
A．公理化思想 B．模型思想
C．函数思想 D．转化思想
【分析】由题意可知，题目中所给的解方程的方法是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，由此解
答即可．
【详解】解：由题意得，这种把一元二次方程转化为两个一元一次方程的解法体现的数学思想是转化思
想．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方
程，运用了转化的数学思想是解题的关键．
4．（2021秋•洪湖市校级月考）设m是方程x2+5x＝0的一个较大的根，n是方程x2﹣x﹣6＝0的一个较小
的根，则m+n的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．2
【分析】先解方程求出两个方程的解，再得出m、n的值，最后求出答案即可．
【详解】解：x2+5x＝0，
x（x+5）＝0，
x＝0或x+5＝0，
解得：x＝0或﹣5，
∵m是方程x2+5x＝0的一个较大的根，
∴m＝0，
解方程x2﹣x﹣6＝0得：x＝3或﹣2，
∵n是方程x2﹣x﹣6＝0的一个较小的根，
∴n＝﹣2，
∴m+n＝0+（﹣2）＝﹣2，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
5．（2023秋•莎车县校级月考）一个菱形两条对角线长的和是 10cm，面积是12cm2，则菱形的周长为（
）
A．2❑√13cm B．4❑√13cm C．2❑√37cm D．4❑√37cm【分析】设菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OA＝OC＝x cm，OB＝OD＝y cm，则AC+BD＝
1
2x+2y ＝ 10cm ， 所 以 x+y ＝ 5 ； 由 S 菱 形 ABCD = ×2x×2y ＝ 12cm2 ， 得 xy ＝ 6 ， 则 AB
2
（cm），所以菱形的周长为 4 cm，于是得到问
=❑√OA2+OB2=❑√x2+ y2=❑√(x+ y) 2−2xy=❑√13 ❑√13
题的答案．
【详解】解：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则OA＝OC，OB＝OD，
设OA＝OC＝x cm，OB＝OD＝y cm，则AC+BD＝2x+2y＝10cm，
∴x+y＝5；
1
∵S菱形ABCD = ×2x×2y＝12cm2，
2
∴xy＝6，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴AB （cm），
=❑√OA2+OB2=❑√x2+ y2=❑√(x+ y) 2−2xy=❑√52−2×6=❑√13
∴AB+BC+CD+AD＝4AB＝4❑√13cm，
∴菱形的周长为4❑√13cm，
故选：B．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、菱形的面积公式、整式的乘法等知识，正确地求出 AB
的长是解题的关键．
6．用因式分解法解方程．
（1）3x（x+2）＝5（x+2）
（2）（3x+1）2﹣5＝0
（3）4x2﹣4x+1＝0
（4）（y+2）（2y+3）＝6
（5）（3x+2）（2x﹣1）＝0（6）❑√2y2=3y
（7）x2+2x+1＝0
（8）（2y﹣1）2﹣9＝0．
【分析】各方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：（1）3x（x+2）＝5（x+2），
方程变形得：3x（x+2）﹣5（x+2）＝0，
分解因式得：（3x﹣5）（x+2）＝0，
5
解得：x = ，x ＝﹣2；
1 2
3
（2）（3x+1）2﹣5＝0，
因式分解得：（3x+1−❑√5）（3x+1+❑√5）＝0，
−1+❑√5 −1−❑√5
解得：x = ，x = ；
1 2
3 3
（3）4x2﹣4x+1＝0，
分解因式得：（2x﹣1）2＝0，
1
解得：x ＝x = ；
1 2
2
（4）（y+2）（2y+3）＝6，
整理得：2y2+7y＝0，
分解因式得：y（2y+7）＝0，
解得：y ＝0，y ＝﹣3.5；
1 2
（5）（3x+2）（2x﹣1）＝0，
可得3x+2＝0或2x﹣1＝0，
2 1
解得：x =− ，x = ；
1 2
3 2
（6）❑√2y2＝3y，
变形得：❑√2y2﹣3y＝0，即y（❑√2y﹣3）＝0，
3❑√2
解得：y ＝0，y = ；
1 2
2
（7）x2+2x+1＝0，
分解因式得：（x+1）2＝0，
解得：x ＝x ＝﹣1；
1 2（8）（2y﹣1）2﹣9＝0，
分解因式得：（2y﹣1+3）（2y﹣1﹣3）＝0，
解得：y ＝2，y ＝﹣1．
1 2
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
知识点2 用合适的方法解一元二次方程
7．（2020秋•商河县校级期末）解一元二次方程（x﹣1）2＝2（x﹣1）最适宜的方法是（ ）
A．直接开平方 B．公式法
C．因式分解法 D．配方法
【分析】观察方程的左右两边知，方程两边都有（x﹣1），据此可得答案．
【详解】解：解一元二次方程（x﹣1）2＝2（x﹣1）最适宜的方法是因式分解法，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方
法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
8．（2024秋•鲤城区校级期末）下面是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解答过程：
∵x2﹣2x+1＝4，（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝±2，∴x ＝3或x ＝﹣1．
1 2
上述解法用到的方法是（ ）
A．直接开平方法 B．因式分解法
C．公式法 D．配方法
【分析】根据解一元二次方程的方法得出答案即可．
【详解】解：解方程x2﹣2x﹣3＝0的方法是配方法．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能熟记解一元二次方程的方法是解此题的关键，注意：解一元二
次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
9．（2024春•萧山区期中）（1）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是 丁 ．
甲 乙
两边同时除以（x﹣1） 移项得x（x﹣1）+3（x﹣1）＝
0，
得到x＝3．
∴（x﹣1）（x+3）＝0
∴x﹣1＝0或x+3＝0，
∴x ＝1，x ＝﹣3
1 2
丙 丁
整理得x2﹣4x＝﹣3， 整理得x2﹣4x＝﹣3，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝28， 配方得x2﹣4x+4＝1，
4±❑√28 ∴（x﹣2）2＝1
∴x= =2±❑√7，
2
∴x﹣2＝±1，
∴x
1
=2+❑√7，x
2
=2−❑√7 ∴x
1
＝1，x
2
＝3．
（2）选择合适的方法解方程8x2﹣10x+3＝0．
【分析】（1）分别利用解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答；
（2）利用解一元二次方程因式分解法解答即可．
【详解】解：（1）甲的解法错误，方程两边不能同时除以（x﹣1），这样会漏解；
乙的解法错误，移项时3（x﹣1）没有变号；
丙的解法错误，就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以c的值错误；
丁利用配方法解方程，计算正确；
故选：丁．
（2）选择合适的方法解方程8x2﹣10x+3＝0．
解：（2x﹣1）（4x﹣3）＝0
2x﹣1＝0或4x﹣3＝0
1 3
x = ，x = ．
1 2 2 4
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，配方法，一元二次方程的一般形式，熟练
掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【易错警示】
易错点：1.解一元二次方程时，两边除以含未知数的代数式导致漏解；2.解题中符号出错。
10．（2025春•南湖区期中）小南和小湖两位同学解方程4（x﹣4）＝（x﹣4）2的过程如下框：
小南： 小湖：
移项，得4（x﹣4）﹣（x﹣4）2＝0 两边同除以（x﹣4），得
提取公因式得（x﹣4）（4﹣x﹣4）＝0 4＝x﹣4，
则x﹣4＝0，或4﹣x﹣4＝0， 则x＝8．
解得x ＝4，x ＝0．
1 2
你认为他们的解法是否正确？若正确请在相应框内打“√”；若错误请在相应框内打“×”，并写出你
的解答过程．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：均不对，∵4（x﹣4）＝（x﹣4）2，
∴4（x﹣4）﹣（x﹣4）2＝0，
则（x﹣4）（4﹣x+4）＝0，
∴x﹣4＝0或4﹣x+4＝0，
解得x ＝4，x ＝8．
1 2
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方
法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
11．（2020 秋•雁江区期末）若实数 x 满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么 x2+2x 的值为
（ ）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
【分析】设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，求出y，即可得出选项．
【详解】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变
量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
12．（2024•新荣区开学）如图，在 ABCD中，∠B＝45°，AE是BC的垂直平分线，且AE的长是一元二
次方程2x2﹣4x＝5（2﹣x）的一个▱根，则 ABCD的周长为（ ）
▱
A．6 B．12 C．4+2❑√2 D．8+4❑√2
【分析】先求出方程的根，确定a的值，利用勾股定理求出AB，根据平行四边形ABCD的周长＝2
（AB+BC）计算即可．
【详解】解：∵2x2﹣4x＝5（2﹣x），
∴2x2+x﹣10＝0∴（x﹣2）（2x+5）＝0，
5
∴x＝2或− ，
2
∵AE是一元二次方程2x2﹣4x＝5（2﹣x）的根，a＞0，
∴AE＝2，
∵∠B＝45°，AE⊥BE，
∴AE＝EB＝2，
∵AE垂直平分线段BC，
∴EB＝EC＝2，
在Rt△ABE中，AB 2 ，BC＝4，
=❑√BE2+AE2= ❑√2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD的周长为2（AB+BC）＝8+4❑√2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、一元一次方程的解、线段的垂直平分线等知识，解题的关键
是理解平行四边形周长的定义，求出AB、BC是突破口，属于基础题，中考常考题型．
13．（2023春•招远市期末）如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的中点，
点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝ 6 ．
【分析】由题意可以知道O是原点，且O是AB的中点，就有A、B表示的数互为相反数，就可以表示
出A点的数，再根据数轴两点间的距离列出方程求出其值即可．
【详解】解：∵O是原点，且是AB的中点，
∴OA＝OB，
∵B点表示的数是x，
∴A点表示的数是﹣x．
∵B是AC的中点，
∴AB＝BC，
∴（x2﹣3x）﹣x＝x﹣（﹣x），
解得：x ＝0，x ＝6．
1 2
∵B异于原点，
∴x≠0，∴x＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了数轴与一元二次方程运用及一元二次方程的解法的运用，解答时用代数式表示出各
个点表示的数是关键．
14．（2023秋•工业园区期中）在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值．
（1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是 4 ．
（2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根恰好等于n，求n的值．
【分析】（1）利用方程的中点值求解，即可解答；
−m
（2）先根据方程的中点值的定义可得 =3，从而可得：m＝6，进而可得x2﹣6x+n＝0，然后把x＝n
−2
代入方程x2﹣6x+n＝0中得：n2﹣6n+n＝0，从而进行计算即可解答．
−8
【详解】解：（1）∵（ ）2﹣3＝42﹣3＝16﹣3＝13＞0，
−2
∴方程x2﹣8x+3＝0的中点值是4，
故答案为：4；
−m
（2）由题意得： =3，
−2
解得：m＝6，
∴方程可化为：x2﹣6x+n＝0，
把x＝n代入方程x2﹣6x+n＝0中得：n2﹣6n+n＝0，
即n2﹣5n＝0，
n（n﹣5）＝0，
解得：n＝0或n＝5．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，一元二次方程的解，理解定义的新运算是解题的关
键．
15．（2021秋•淮滨县月考）阅读材料：解方程x2+2x﹣35＝0我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式x2+2x﹣35，
①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．
②交叉相乘，验中项： 7x﹣5x＝2x．
③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝⇒（x+7）（x﹣5）．（2）根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0，则方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解：x2+2x﹣35＝0方
程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0所以原方程的解为x ＝5，x ＝﹣7．
1 2
（3）试用上述方法和原理解下列方程：
①x2+5x+4＝0；
②x2﹣6x﹣7＝0；
③x2﹣6x+8＝0；
④2x2+x﹣6＝0．
【分析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．
【详解】解：①∵x2+5x+4＝0，
∴（x+1）（x+4）＝0，
则x+1＝0或x+4＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝﹣4；
1 2
②∵x2﹣6x﹣7＝0，
∴（x+1）（x﹣7）＝0，
则x+1＝0或x﹣7＝0，
∴x ＝﹣1，x ＝7；
1 2
③∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x ＝2，x ＝4；
1 2
④∵2x2+x﹣6＝0，
∴（2x﹣3）（x+2）＝0，
则2x﹣3＝0或x+2＝0，
解得x ＝1.5，x ＝﹣2．
1 2
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方
法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
解：①当x﹣1≥0，即x≥1时，x2﹣（x﹣1）﹣1＝x2﹣x＝0，解得x ＝0（不合题意，舍去），x ＝1．
1 2
②当x﹣1＜0，即x＜1时，x2+（x﹣1）﹣1＝x2+x﹣2＝0，解得x ＝1（不合题意，舍去），x ＝﹣2．
3 4综上所述，原方程的解是x＝1或x＝﹣2．依照上述解法，解方程x2+2|x+2|﹣4＝0．
【分析】仿照题例，从x+2为非负数、负数两个角度，把含绝对值的方程转化为一般一元二次方程求解
即可．
【详解】解：（1）当x+2≥0，即x≥﹣2时，
x2+2（x+2）﹣4＝0，
即x2+2x＝0，
∴（x+2）x＝0．
解得x ＝0，x ＝﹣2．
1 2
（2）当x+2＜0，即x＜﹣2时，
x2﹣2（x+2）﹣4＝0，
即x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x﹣4）（x+2）＝0．
解得x ＝4（不合题设，舍去），x ＝﹣2（不合题设，舍去）．
1 2
综上所述，原方程的解是x＝0或x＝﹣2．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元二次方程的解法，掌握分类讨论的思想和一元二次方程的解法
是解决本题的关键．
