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21.2.2公式法解一元二次方程
知识点1 一元二次方程根的判别式
1．（2025•管城区模拟）关于x的一元二次方程x2+m＝6x有两个不相等的实数根，则 m的值可能是
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】先把方程化为一般式，再根据根的判别式的意义得到 Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，解不等式得到m
的取值范围，然后对各选项进行判断．
【详解】解：方程化为x2﹣6x+m＝0，
根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，
解得m＜9．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无
实数根．
2．（2025春•浙江期中）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+k+3＝0，则下列说法正确的（ ）
A．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
B．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
C．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
D．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
【分析】先计算出根的判别式的值得到Δ＝（k+2）2≥0，根据根的判别式的意义可对C选项进行判断；
由于k＝﹣2时，Δ＝0，则根据根的判别式的意义可对A、D选项进行判断；利用求根公式得到x ＝
1
k+3，x ＝1，从而可对B选项进行判断．
2
【详解】解：∵Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（k+3）
＝k2+8k+16﹣4k﹣12
＝k2+4k+4
＝（k+2）2，
∵（k+2）2≥0，即Δ≥0，
∴无论k为何值，方程总有两个实数根，所以C选项不符合题意；当k＝﹣2时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，所以A、D选项不符合题意；
k+4±(k+2)
∵x= ，
2×1
∴x ＝k+3，x ＝1，
1 2
∴无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根1，所以B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系，
当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，
方程无实数根．
3．（2025•东城区校级模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+3＝0有两个不相等的实数根，则m
的值可以是（ ）
7
A．0 B．1 C． D．3
3
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+3＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝42﹣4×（m﹣1）×3＞0且m﹣1≠0，
7
解得m＜ 且m≠1，
3
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根的判别式及一元二次方程的定义，熟知一元二次方程根的判别式及一元二次
方程的定义是解题的关键．
4．（2025•门头沟区一模）如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取
值范围是（ ）
A．k＜4且k≠0 B．k≤4且k≠0 C．k＞4 D．k≥4
【分析】方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范
围．
【详解】解：方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，
16﹣4k＞0，
k＜4且k≠0．
故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．⇔注意到二次项系数不等于0这
一条件是解⇔题的关键． ⇔
知识点2 一元二次方程的求根公式
5．（2025•河北一模）小明在解关于x的一元二次方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）时，把一次项的符号抄成
“+”，得到其中一个根是x＝﹣2，则方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根
D．有一个根是x＝﹣2
【分析】根据题意得出m与n之间的等量关系，再结合一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：由题知，
x＝﹣2是关于x的一元二次方程2mx2+nx+2＝0（m≠0）的一个根，
所以8m﹣2n+2＝0，
即4m＝n﹣1．
因为方程为2mx2﹣nx+2＝0（m≠0），
所以Δ＝（﹣n）2﹣16m＝n2﹣4（n﹣1）＝n2﹣4n+4＝（n﹣2）2≥0，
所以此方程有两个实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
b±❑√b2+20
6．（2025春•招远市期中）以x= 为根的一元二次方程可能是（ ）
2
A．x2﹣bx+10＝0 B．x2﹣bx﹣10＝0
C．x2+bx﹣5＝0 D．x2﹣bx﹣5＝0
【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．
b±❑√b2−40
【详解】解：A、x= ，故该选项不正确，不符合题意；
2
b±❑√b2+40
B、x= ，故该选项不正确，不符合题意；
2
−b±❑√b2+20
C、x= ，故该选项不正确，不符合题意；
2b±❑√b2+20
D、x= ，故该选项正确，符合题意；
2
故选：D．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．
7．（2025春•淄川区期中）若 2±❑√b2−4×(−1)a可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次
x=
2×3
方程为（ ）
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
−b±❑√b2−4ac
【分析】根据一元二次方程的求根公式x= ，即可解答．
2a
【详解】解：∵ 2±❑√b2−4×(−1)a可以表示一元二次方程的根，
x=
2×3
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
知识点3 公式法解一元二次方程
8．（2024春•桥西区期末）利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，则a
的值为（ ）
2+❑√6 2−❑√6 −2+❑√6 −2−❑√6
A． B． C． D．
2 2 2 2
【分析】利用公式法即可求解．
【详解】解：2x2﹣4x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
4±❑√24 2±❑√6
∴x= = ，
2×2 2
∵一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，
2+❑√6
∴a的值为 ．
2故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
9．（2025春•萧山区期中）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）2x（x﹣3）+x＝3．
【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
x﹣2＝±❑√2，
∴x ＝2+❑√2，x ＝2−❑√2；
1 2
（2）2x（x﹣3）+x＝3，
2x2﹣6x+x﹣3＝0，
2x2﹣5x﹣3＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）＝25+24＝49，
5±❑√49 5±7
∴x= = ，
2×2 4
1
∴x ＝3，x =− ．
1 2
2
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，关键是掌握解一元二次方程的方法．
【易错警示】
易错点：在使用公式时，未将方程化成一般形式而出错。
10．（2022秋•宛城区校级期末）（1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用
配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，对于一元
−b±❑√b2−4ac
二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式是x＝ ，用求
2a
根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
（2）小明在用公式法解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21．（第二步）
5±❑√21
∴x= ．（第三步）
2
5+❑√21 5−❑√21
∴x = ，x = ．（第四步）
1 2
2 2
小明解答过程是从第 一 步开始出错的，其错误原因是 方程没有化成一般式 ．
（3）请你写出此题正确的解答过程．
【分析】（1）利用求根公式解方程的方法称为公式法；
（2）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案；
（3）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的根是：x
−b±❑√b2−4ac
= ．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
2a
−b±❑√b2−4ac
故答案为： ；
2a
（2）小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式．
故答案为：一，方程没有化成一般式；
（3）方程化为x2﹣5x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
5±❑√29
∴x= ．
2
5+❑√29 5−❑√29
∴x = ，x = ．
1 2
2 2
【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握应用公式法的条件和要求．
11．（2024秋•西湖区校级期末）如图，在长方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点
E，以点B为圆心，AB为半径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根
是（ ）A．DF的长 B．BE的长 C．EF的长 D．BD的长
【分析】利用公式法求出方程的根，并结合AB＝a，AD＝b对正根对应的线段进行判断即可．
【详解】解：由题知，
解方程x2+2ax＝b2得，
−2a±❑√4a2+4b2
x= ，
2
所以方程的正根为x＝﹣a ．
+❑√a2+b2
在Rt△ABD中，
BD ．
=❑√AB2+AD2=❑√a2+b2
又因为BF＝AB＝a，
所以x＝﹣BF+BD＝DF．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法及矩形的性质，熟知矩形的性质及公式法解一元二次
方程的步骤是解题的关键．
12．（2024秋•威远县校级月考）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名
同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确
C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙不正确
【分析】根据根的判别式的定义得到Δ＝b2+4a，根据特例和根的判别式的意义可对甲的条件进行判断；
若a＝b+1，则Δ＝（b+2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对乙的条件进行判断；若a＝﹣b+1，Δ＝
（b﹣2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行判断．
【详解】解：Δ＝b2+4a，
若a、b同号，a＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以甲的条件不满足方程
总有实数根；
若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以乙的条件满足方程总有实数根；
若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足
方程总有实数根；
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无
实数根．
13．（2022•潍城区一模）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1
＝0的两个根，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．7或8 D．8或9
【分析】由三角形是等腰三角形，得到①a＝2，或b＝2，②a＝b①当a＝2，或b＝2时，得到方程
的根x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n+1＝0即可得到结果；②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+1＝0有两个相等
的实数根，由Δ＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0可得结果．
【详解】解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a＝2，或b＝2，②a＝b两种情况，
①当a＝2，或b＝2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，
∴x＝2，
把x＝2代入x2﹣6x+n+1＝0得，22﹣6×2+n+1＝0，
解得：n＝7，
当n＝7，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n＝7不合题意，
②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0
解得：n＝8，
综上所述，n＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，注意分类讨论
思想的应用．
14．（2024秋•新城区校级月考）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x ，x （其中x ＞x ），若y是关于a的函数，且y＝x ﹣ax ，当y＞0时，a的取值
1 2 1 2 1 2
范围为 0 ＜ a ＜ 3 ．
【分析】利用一元二方程的求根公式求出两根，即可得出结论．
【详解】解：Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣2）＝4＞0，
2(a−1)±2
由求根公式，得x= ，
2a
2
∴x＝1或x=1− ，
a
∵a＞0，x ＞x ，
1 2
2
∴x ＝1，x =1− ，
1 2 a
2
∴y=x −ax =1−a(1− )=1−a+2＞0，
1 2 a
解得a＜3，
∴0＜a＜3，
故答案为：0＜a＜3．
【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式．
15．（2022秋•大丰区期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【分析】（1）根据方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于或等于 0列出关于m的不等式，求出
不等式的解集即可得到m的范围；
（2）找出m范围中的正整数解确定出m的值，经检验即可得到满足题意m的值．
【详解】解：（1）根据题意得：Δ＝4﹣4（2m﹣4）＝20﹣8m≥0，
5
解得：m≤ ；
2
（2）由m为正整数，得到m＝1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±❑√5−2m，
∵方程的解为整数，
∴5﹣2m为完全平方数，
则m的值为2．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题
的关键．
16．（2023春•富川县期中）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2﹣2cx+（a﹣b）＝0，其中a，b，c分别
为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的一个根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把x＝1代入方程，整理后得出a﹣c＝0，求出a＝c，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程得出x2﹣x＝0，再求出方程的解即可．
【详解】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：∵x＝1是方程的根，
∴（a+b）﹣2c+（a﹣b）＝0，
∴a+b﹣2c+a﹣b＝0，
∴a﹣c＝0，
∴a＝c，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如果△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，
原方程可化为：2ax2﹣2ax＝0，
∴x2﹣x＝0，
解得：x ＝0，x ＝1．
1 2
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，等边三角形的性质，一元二次方程的解和解一元二次方程等知
识点，能熟记等腰三角形的判定定理和等边三角形的性质是解此题的关键．
17．（2023春•北仑区校级期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位
上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的 4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k
＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，
b，c所满足的关系式 b 2 ﹣ 4 a c ＝ 0 ；判断241 不是 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并
写出一个“喜鹊数” 12 1 ；
（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的
定义即可得出答案．
【详解】解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121．
故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
1 1
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（ ）2+b（ ）+c＝0，
n n
1
∴将m、 看成是方程ax2+bx+c的两个根，
n
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
1
∴m= ，即mn＝1；
n
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．
