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21.2.2公式法解一元二次方程
知识点1 一元二次方程根的判别式
1．（2025•管城区模拟）关于x的一元二次方程x2+m＝6x有两个不相等的实数根，则 m的值可能是
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2025春•浙江期中）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+k+3＝0，则下列说法正确的（ ）
A．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
B．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
C．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
D．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
3．（2025•东城区校级模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+3＝0有两个不相等的实数根，则m
的值可以是（ ）
7
A．0 B．1 C． D．3
3
4．（2025•门头沟区一模）如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取
值范围是（ ）
A．k＜4且k≠0 B．k≤4且k≠0 C．k＞4 D．k≥4
知识点2 一元二次方程的求根公式
5．（2025•河北一模）小明在解关于x的一元二次方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）时，把一次项的符号抄成
“+”，得到其中一个根是x＝﹣2，则方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根
D．有一个根是x＝﹣2
b±❑√b2+20
6．（2025春•招远市期中）以x= 为根的一元二次方程可能是（ ）
2
A．x2﹣bx+10＝0 B．x2﹣bx﹣10＝0
C．x2+bx﹣5＝0 D．x2﹣bx﹣5＝07．（2025春•淄川区期中）若 2±❑√b2−4×(−1)a可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次
x=
2×3
方程为（ ）
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
知识点3 公式法解一元二次方程
8．（2024春•桥西区期末）利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，则a
的值为（ ）
2+❑√6 2−❑√6 −2+❑√6 −2−❑√6
A． B． C． D．
2 2 2 2
9．（2025春•萧山区期中）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3．
【易错警示】
易错点：在使用公式时，未将方程化成一般形式而出错。
10．（2022秋•宛城区校级期末）（1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用
配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，对于一元
二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的求根公式是x＝ ，用求根公式解一元
二次方程的方法称为公式法．
（2）小明在用公式法解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21．（第二步）
5±❑√21
∴x= ．（第三步）
2
5+❑√21 5−❑√21
∴x = ，x = ．（第四步）
1 2
2 2
小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（3）请你写出此题正确的解答过程．11．（2024秋•西湖区校级期末）如图，在长方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径作弧与BD交于点
E，以点B为圆心，AB为半径作弧与BD交于点F．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根
是（ ）
A．DF的长 B．BE的长 C．EF的长 D．BD的长
12．（2024秋•威远县校级月考）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名
同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确
C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙不正确
13．（2022•潍城区一模）等腰三角形边长分别为 a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1
＝0的两个根，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．7或8 D．8或9
14．（2024秋•新城区校级月考）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2＝0（a＞0），设方程
的两个实数根分别为x ，x （其中x ＞x ），若y是关于a的函数，且y＝x ﹣ax ，当y＞0时，a的取值
1 2 1 2 1 2
范围为 ．
15．（2022秋•大丰区期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．16．（2023春•富川县期中）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2﹣2cx+（a﹣b）＝0，其中a，b，c分别
为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的一个根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
17．（2023春•北仑区校级期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位
上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的 4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k
＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，
b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一
个“喜鹊数” ；
（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝
0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
