文档内容
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
一、教学目标
【知识与技能】
1.理解并掌握求根公式的推导过程；
2.能熟练应用公式法求一元二次方程的解.
【过程与方法】
经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.
【情感态度与价值观】
用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的
运算习惯，培养严谨认真的科学态度.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】用公式法解一元二次方程.
【教学难点】
推导一元二次方程求根公式的过程.
五、课前准备
课件
六、教学过程
（一）导入新课
1.利用配方法解一元二次方程 （出示课件2）
学生板演如下：
解：移项，得 ，
配方
由此可得 ，
2. 用配方法解一元二次方程的步骤?（出示课件3）
学生口答：
化：把原方程化成 x2＋px＋q = 0 的形式.
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.
x2＋px＋( )2=－q＋( )2
开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.
(x+ )2=－q＋( )2
求解：解一元一次方程.
定解：写出原方程的解.
我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利
用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成
ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？
（二）探索新知
探究一 公式法的概念
教师问：一元二次方程的一般形式是什么？（出示课件5）
学生答：ax2＋bx＋c=0(a≠0).
教师问：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是
不是可以普遍适用呢？
师生共同探究：用配方法解一般形式的一元二次方程(a≠0)
（出示课件6）
解:移项，得ax2+bx=-c.
二次项系数化为1，得x2+ x=- .
配方，得x2+ x+ =- + ，
即 .
教师问：（1）两边能直接开平方吗？为什么？
（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.
师生共同完善认知：（出示课件7）
当
-b+√b2-4ac， -b-√b2-4ac.
x = x =
1 2a 2 2a
出示课件8：由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数
a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).当b2-4ac≥0时，将a，b，c 代入式子x= ，就
得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方
程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
例1用公式法解方程：(1)x2-4x-7=0; （出示课件9）
学生思考后，共同解答如下：
解：∵a=1，b=-4，c=-7,
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
∴
(2)2x2-2 x+1=0;（出示课件10）
教师问：这里的a、b、c的值分别是什么？
解：
则方程有两个相等的实数根：
（3）5x2-3x=x+1;（出示课件11）解：原方程可化为
a=5 ,b=−4 ,c=−1
，
则方程有两个不相等的实数根
（4）x2+17=8x.（出示课件12）
解：原方程可化为 ，
a=1, b=−8,c=17
，
△=b2 −4ac=(−8) 2 −4×1×17=−4＜0,
方程
无实数根.
教师归纳：（出示课件13）
⑴当∆=b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根;
⑵当∆=b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根;
⑶当∆=b2-4ac＜0时，一元二次方程没有的实数根.
教师问：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
学生思考后，共同总结如下：（出示课件14）用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1.将方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
2.求出 ∆ 的值.
3. (1)当 ∆ >0 时，代入求根公式： ，写
出一元二次方程的根.
(2)当∆=0时，代入求根公式： ，写出一
元二次方程的根.
（3）当∆<0时，方程无实数根.
出示课件15：用公式法解方程：
学生自主思考并解答.
解：a=3, b=-6, c=-2,
∆=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.探究二 一元二次方程的根的情况
出示课件16：用公式法解下列方程：
（1）x2＋x－1=0；（2）x2－ ＋3=0；（3）2x2－2x＋1=0.
学生板演后，教师问：观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的
根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根
据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
教师进一步问：（出示课件17）不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴x2＋2x－8=0；
⑵x2=4x－4；
⑶x2－3x=－3.
学生思考后回答：
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
教师问：你有什么发现？
学生答：b2－4ac的符号决定着方程的解.
师生共同总结如下：（出示课件18）ax2 +bx+c=0 （a≠0）
一元二次方程 的根的情况
⑴当b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根：
（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根：
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母
“∆”来表示，即∆＝b2-4ac.
出示课件20，21：例1 不解方程，判断下列方程根的情况：
−x
2
+2√6x−6=0
（1） ；（2）x2+4x=2.
（3）4x2+1=-3x;（4）x²-2mx+4（m-1）=0.
师生共同讨论解答如下：
解：⑴a＝﹣1，b＝ ，c＝﹣6,
∵△= b2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0.
∴该方程有两个相等的实数根.
⑵移项，得 x2+4x-2=0,
a＝1，b＝4 ，c＝﹣2,∵△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0.
∴该方程有两个不相等的实数根.
⑶移项，得4x2+3x+1=0，
a＝4，b＝3 ，c＝1,
∵ △= b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0.
∴该方程没有实数根.
⑷a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,
∵ △= b2-4ac
=（-2m）²-4×1×4（m-1）
=4m2-16（m-1）
=4m2-16m+16
=（2m-4）2≥0.
∴该方程有两个实数根.
选一选：（出示课件22）
（1）下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A.x²=9 B.4x² =3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y² +6y+7=0
（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ）A.b²-4ac＞0 B.b²-4ac＜0
C.b²-4ac≤0 D.b²-4ac≥0
学生口答：⑴D⑵D
出示课件23：例2 m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）
x+2m2-1=0：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
学生思考后，教师板演解题过程：
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0，∴m＞
；
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0，∴m=
；（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0, ∴m＜
.
∴当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时，方程有两个相
等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根.
出示课件24：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）
=0恒有两个不相等的实数根.
学生自主思考并解答.
解：b2−4ac=[−(m−1)]2−4[−3(m+3)]
=m2+10m+37
=m2+10m+52−52+37
=(m+5)2+12.
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0,
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.
（三）课堂练习（出示课件25-29）
1.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值
范围是（ ）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
2.解方程x2﹣2x﹣1=0．
3.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根 D.没有实数根
4.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围
是（ ）
A.k>-1 B.k>-1且k≠ 0
C.k<1 D.k<1且k≠0
5.已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等
的实数根.
参考答案：
1.D
2.解：a=1，b=﹣2，c=﹣1， △=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
3.B4.B
5.证明：∵没有实数根，
∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.
x2 mx 2m 1 0
对于方程 x2＋mx＝1-2m ，即 .
，∵ ，∴△>0.
∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
（四）课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.
（五）课前预习
预习下节课（21.2.3）的相关内容。
七、课后作业
1.教材12页练习1,2
2.配套练习册内容
八、板书设计：九、教学反思：
1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此在教学设计各环节均围
绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计，课堂学习有利
于学生强化运算能力，掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.
2.在教学设计中，引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，在师生讨论
中发现求根公式，并学会利用公式解一元二次方程.
3.整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探索活动，体验到成功
的喜悦.
4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使
解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解
一元二次方程得到延续和深化.
