文档内容
21.2.2 公式法
【知识与技能】
1.理解并掌握求根公式的推导过程；
2.能利用公式法求一元二次方程的解.
【过程与方法】
经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.
【情感态度】
用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运
算习惯，培养严谨认真的科学态度.
【教学重点】
用公式法解一元二次方程.
【教学难点】
推导一元二次方程求根公式的过程.
一、情境导入，初步认识
我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配
方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成
ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？
【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程，从而尝试着求
ax2+bx+c=0（a≠0）的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思考时间，让学
生自主探究.
二、思考探究，获取新知
通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
由ax2+bx+c=0(a≠0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+ x=- .配方，
得x2+ x+ =- + ，即 .
至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：
（1）两边能直接开平方吗？为什么？
（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.
【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教学时，
应让学生积极主动思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解.
师生共同完善认知：
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用
Δ表示，即Δ=b2-4ac.从而有：
①当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当
Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，方
程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；
②当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成x=
，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
三、典例精析，掌握新知
例1不解方程，判别下列各方程的根的情况.
(1)x2+x+1=0; (2)x2-3x+2=0; (3)3x2- x=2.
分析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小
关系可得结论.注意：在确定方程中a、b、c的值时，一定要先把方程化为一般式后
才能确定，否则会出现失误.
解：（1）∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解;
(2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数
根；（3）原方程可化为3x2- x-2=0,∴a=3,b=- ,c=-2,∴Δ=b2-4ac=(- )2-
4×3×(-2)=2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.
例2用公式法解下列方程：
(1)x2-4x-7=0; (2)2x2-2 x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; (4)x2+17=8x
分析：将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b2-4ac后，可利用公式
求出方程的解.
【教学说明】以上两例均可让学生自主完成，同时选派同学上黑板演算.教师
巡视，针对学生的困惑及时予以指导，最后共同评析黑板上作业，一方面引导学
生关注其解答是否正确，同时还应注意其解答格式是否规范，查漏补缺，深化理
解.教师接着引导学生阅读第12页有关引言中问题的解答，向学生提问：（1）什么
情况下根的取值为正数？（2）列方程解决实际问题在取值时应注意什么？
四、运用新知，深化理解
1.关于x的方程x2-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 .2.如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等实数根，那么
k的取值范围是（ ）
A.k＞-
B.k＞- 且k≠0
C.k＜-
D.k≥- 且k≠0
3.方程 x2+4 x+6 =0的根是（ ）
A.x = ，x =
1 2
B.x =6, x =
1 2
C.x =2 , x =
1 2
D.x =x =-
1 2
4.关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0，试求m的值.
（注：5~6题为教材第12页练习）
5.解下列方程：
（1）x2+x-6=0; （2）x2- x-14=0; （3）3x2-6x-2=0;
（4）4x2-6x=0; （5）x2+4x+8=4x+11; （6）x(2x-4)=5-8x.
6.求第21.1节中问题1的答案.
【教学说明】通过练习可进一步理解和掌握本节知识，在学中练、练中学的活
动中得到巩固和提高.
【答案】1.m≤1
2.B
3.D
4.把x=0代入方程，得m2+2m-3=0,解得m =1,m =-3,又∵m-1≠0，即m≠1,故
1 2
m的值为-3.
5~6略
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.
【教学说明】在学生回顾与反思本节课的学习过程中，进一步完善认知，师生共同归纳总结.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此在教学设计各环节均围绕
着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计，课堂学习有利于学
生强化运算能力，掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.
2.在教学设计中，引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，在师生讨论
中发现求根公式，并学会利用公式解一元二次方程.
3.整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探索活动，体验到成功
的喜悦.
4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使
解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一
元二次方程得到延续和深化.
