文档内容
21.2 解一元二次方程
【考点归纳】
考点一：直接开平方法解一元二次方程
考点二、配方法解一元二次方程
考点三、根据判别式判断一元二次方程根的情况
考点四、根据一元二次方程根的情况求参数
考点五、公式法解一元二次方程
考点六、因式分解法解一元二次方程
考点七、换元法解一元二次方程
考点八：用合适的方法解一元二次方程
考点九：解一元二次方程的综合问题
【知识梳理】
知识点一 直接开平方法
（1）依据平方根的意义，将形如 的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程．
（2）步骤：
①将方程转化为 （或 ）的形式；
②分三种情况降次求解：
（ⅰ）当 时， ， ；
（ⅱ）当 时， ；
（ⅲ）当 时，方程无实数根．
知识点二 配方法
（1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
（2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移：将常数项移到方程等号的右边．
二除：如果二次项系数不是 ，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为 ．
三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式．
四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根．
（3）配方法解一元二次方程：①配方后，化为 型的方程，当 时，可用直接开方法求解．
②若 时，方程有两相等的根，即 ，而不是一个根 ．
③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错
误的情况．
知识点三 公式法
（1）一元二次方程根的判别式：
一般地，式子 叫做方程 根的判别式，通常用希腊字母 表示，即 ．
①当 >0时，方程 有两个不相等的实数根，即 ．
②当 =0时，方程 有两个相等的实数根，即 ．
③当 <0时，方程 没有实数根．
（2）求根公式：当 时，方程 的实数根可写为 的形式，这个式子
叫做一元二次方程 的求根公式．
（3）公式法解一元二次方程的步骤：
①把方程化为一般形式；
②确定 、 、 的值；
③计算 的值；
④当 时，把 、 、 的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当 时，方程
没有实数根．
知识点四 因式分解法
（1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式．
（2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为 ．
（3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解．知识点五 选择合适的方法解一元二次方程
方法名称 理论依据 适用范围
直接降次法 平方根的意义
形如 或 的一元二次方程
配方法 完全平方公式 所有一元二次方程
公式法 配方法 所有一元二次方程
若 ，则 一边为 ，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二
因式分解法
或 次方程
⑴在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法．
⑵如果二次项系数为 ，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法．
【题型探究】
题型一：直接开平方法解一元二次方程
1．（24-25九年级上·全国）方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南南阳·模拟预测）若一元二次方程 的两个根分别是 和 ，则 的值是
（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（23-24九年级上·天津河西·期末）运用直接开平方法解下列方程：
(1) ； (2) ．
题型二、配方法解一元二次方程
4．（23-24九年级上·福建漳州·期末）用配方法解一元二次方程 ，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·山东潍坊·模拟预测）用配方法解一元二次方程 时，将它化为 的形式，则
的值为（ ）A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·全国）用配方法解下列方程：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
题型三、根据判别式判断一元二次方程根的情况
7．（2024·广西·模拟预测）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
8．（2024·河南商丘·模拟预测）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程 ，下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若c是方程 的一个实数根，则一定有 成立
C．若方程 没有实数根，则方程 必有两个不相等的实数根
D．若m是方程 的一个实数根，则
题型四、根据一元二次方程根的情况求参数
10．（2024九年级上·河南）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
11．（2024·云南大理·一模）若关于x的方程 有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
12．（2024·河南周口·模拟预测）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a的值是（ ）
A．4 B． C．16 D．
题型五、公式法解一元二次方程
13．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程 时，正确代入求根公式的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024·河北石家庄·一模）若 是一元二次方程 的根，则 （ ）
A． B．4 C．2 D．0
15．（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
题型六、因式分解法解一元二次方程
16．（24-25九年级上·全国）下列方程，不适合用因式分解法求解的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2024·浙江·三模）若方程 有一个解为 ，则方程 的解为 ．
18．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程：
(1) ．(2) (3)
题型七、换元法解一元二次方程
19．（2024九年级上·江苏）方程 ，如果设 ，那么原方程可变形为（ ）A． B． C． D．
20．（2024九年级上·全国·专题练习）已知方程 的解是 ， ，则给出另一个方程
，它的解是（ ）
A． 或3 B．1或3 C． 或 D．1或
21．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程 可将方程变形为
然后设 ，则 ．
例： ，
解：令 ，原方程化为 ，解得 ， ，
当 时， （无意义，舍去）
当 时， ，解得 ，
原方程的解为 ， ．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问
题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
题型八：用合适的方法解一元二次方程
22．（23-24七年级下·山东·期末）解方程．
(1) （公式法）；(2) （配方法）；(3) （因式分解法）．
23．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）用适当的方法解下列方程：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
24．（2024九年级上·全国）用指定方法解下列一元二次方程．
(1) (直接开平方法)
(2) (配方法)
(3) (公式法)
(4) (因式分解法)
题型九：解一元二次方程的综合问题
25．（23-24八年级下·广西贺州·期末）已知关于x的方程 ．
(1)求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
26．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足 ，试求
的值．
解：设 ，则原方程变为 ，整理得 ， ，
∴ ，∵ ，∴ ，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母
代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设 ， 满足等式 ，求 的值；
(2)若四个连续正整数的积为 ，求这四个连续正整数．27．（23-24八年级下·山东济南·期末）阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程
求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将 变形为 ，
．
．
．
．
或 ．
原方程有三个根： ， ， ．
②换元法求解特殊的四次方程：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ，解得 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．
【应用新知】
（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法） ；
②（换元法） ；
【拓展延伸】
（2）已知： ，且 ，请综合运用以上方法，通过“降次”求 的值．
【高分演练】
一、单选题28．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）用配方法解方程 ，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2024·甘肃金昌·模拟预测）关于 的一元二次方程 有实数根，则 可取的最小整数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
30．（23-24八年级下·河北张家口·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：
每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁
31．（23-24八年级下·河北张家口·期末）利用公式解可得一元二次方程式 的两解为a、b，且 ，
则a的值为（ ）
A． B． C． D．
32．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以 为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
33．（2024九年级上·江苏·专题练习）如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那
么k的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
34．（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程 ，则 的值是（ ）A． B．1 C． 或1 D．3或
35．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知关于y的多项式 是四次三项式，关于x的一元二次方
程 有实数根为a，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
36．（23-24九年级上·四川广安·期末）用配方法解方程 ，若配方后结果为 ，则 的值为
．
37．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则m的值为 ．
38．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知a，b为常数，若方程 的两个根与方程 的两个
根相同，则 ．
39．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得 ，则该一元二次方程
是 ．
40．（2024九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程 的解为 ，则关于y的一
元二次方程 的解为 ．
三、解答题
41．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）解下列方程：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
42．（23-24九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
43．（23-24九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解方程：
(1) ．(2) ．(3) ．(4) ．
44．（2024·甘肃金昌·三模）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)当 时，求方程的解；
(2)若该方程有实数根，求 的取值范围．
45．（2024九年级上·江苏）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根；
(2)当a取何整数时，关于x的方程 的两个实数根均为负整数．
46．（2024九年级上·全国）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，求 的值．
