文档内容
21.1 一元二次方程
【考点归纳】
考点一：一元二次方程的判断
考点二：一元二次方程的定义求参数问题
考点三：一元二次方程一般形式
考点四：一元二次方程的解
考点五：由一元二次方程的解求代数值
考点六：一元二次方程的综合问题
【知识梳理】
知识点一 一元二次方程的定义
（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元
二次方程．
（2）注意以下3点：
①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③等号两边都是整式．
知识点二 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 (a≠0)．
其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
知识点三 一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定
义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方
程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
【题型探究】
题型一：一元二次方程的判断1．（2024九年级上·江苏）在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这
四个条件者为正确答案．
【详解】解：① ，是一元二次方程，故本小题正确；
② 时是一元二次方程，故本小题错误；
③ ，整理后得 ，即 是一元二次方程，故本小题符合题意；
④ ，是一元二次方程，故本小题符合题意．
故选：C．
2．（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知
数，并且所含未知数的项的最高次数是 的整式方程叫一元二次方程．
根据一元二次方程的定义即可解答．
【详解】解：A、 当 时是一元一次方程，而不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B、 ，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
C、 ，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、 ，不是一元二次方程，故本选项不合题意．
故选： ．
3．（23-24九年级上·江西吉安·期末）下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐
一判断即可．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式； ②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
【详解】解：A、当 时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
B、是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、不是方程，故此选项不合题意；
D、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意．
故选：B．
题型二：一元二次方程的定义求参数问题
4．（23-24九年级上·全国·单元测试）关于 的方程 是一元二次方程，则 （ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的定义，属于基础题，比较简单，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件．
根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即 ，且 ，解出m的值即可．
【详解】解：由题意得 ，
解得 ，
故选C．
5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）若方程 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． 且 D． 为任意实数
【答案】A
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由定义可得 ，从而可得答案．
【详解】解： 方程 是关于 的一元二次方程，
∴ ，解得 ，故选：A．
6．（23-24九年级上·江西赣州·期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值是
（ ）
A．3 B． C．3或 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方
程，其一般形式为： ；根据一元二次方程的概念得 ，且 ，即可得m的值．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴ ，且 ，
∴ ；
故选：B．
题型三：一元二次方程一般形式
7．（23-24九年级上·全国·单元测试）一元二次方程 化一般形式 后（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．先将一元二次方程
化一般形式 ，即可得出a，b，c的值．
【详解】解：一元二次方程 化为一般形式为： ，
∴ ， ， ．
故选：A．
8．（23-24九年级上·广东汕头·期末）方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．5，6，1 B．5， ， C．5，6， D．5， ，1
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．注意一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常
数且 )，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此即可解答．【详解】解：由原方程得： ，
∴二次项系数为5，一次项系数为 ，常数项为 ，
故选：B．
9．（23-24九年级上·浙江台州·期中）将方程 化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，
一次项系数、常数项分别是（ ）
A． 、 B． 、10 C．8、 D．8、10
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．
【详解】解： 化为一元二次方程的一般形式 ，
其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是8，10，
故选：D．
题型四：一元二次方程的解
10．（2024九年级上·全国·专题练习）若x=2是方程 的一个解，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】D
【分析】题目主要考查一元二次方程的解，把x=2代入方程求出m即可．
【详解】解：∵x=2是方程 的一个解，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
11．（2024·江苏南通·二模）若关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则 的值
是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．
把 代入原方程，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 的一个解是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故选：A．
12．（2024·山西阳泉·二模）已知关于 的一元二次方程 ，其中一次项系数被墨迹污染了．若这个方
程的一个根为 ，则一次项系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的解，一元二次方程的定
义是解题的关键．
设一元二次方程为 ，将 代入，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：设一元二次方程为 ，
将 代入得， ，
解得， ，
∴一次项系数为 ，
故选：C．
题型五：由一元二次方程的解求代数值
13．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知 是方程 的一个根，则代数式 的值为
（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识，由题意，得到 ，恒等变形，整体代
入代数式 即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键．
【详解】解： 是方程 的一个根，
，即 ，
，
故选：A．
14．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程 的根，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简分式，再结合
代入计算即可．【详解】解：
，
，
故选：B．
15．（23-24九年级上·河南漯河·期末）已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式
的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及已知式子的值，求代数式的值：先把 代入 ，得
，再把 代入 ，即可作答．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴把 代入 ，
得 ，则 故选：A
题型六：一元二次方程的综合问题
16．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于 的方程 ．
(1)当 取何值时，此方程为一元一次方程 并求出此方程的根．
(2)当 取何值时，此方程为一元二次方程 并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
【答案】(1) (2) ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为
【分析】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的相关概念；掌握一元二次方程 中，
a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．是解决本题的关键．
（1）根据一元一次方程的定义得出 ，即可求出k的值；（2）根据一元二次方程的定义得出 ，则 ，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的
定义，即可解答．
【详解】（1）解：∵原方程为一元一次方程，
∴ ，
解得： ．
（2）解：∵原方程为一元二次方程，
∴ ，
解得： ，
该方程的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
17．（2023·广东中山·三模）先化简，再求值： ，其中 是方程 的根．
【答案】化简结果为 ，原式值为1．
【分析】先根据分式化简规则进行化简计算，再根据方程解的性质求解式子的值．
【详解】解：原式
．
是方程 的根，
．
．
原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，分式化简过程需要先因式分解后上下约分，注意最后形式中不保留括号（除
因式分解外任何计算结果都不保留括号）．正确的计算是解题的关键．
18．（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】
【定义】如果关于 的方程 （ 是常数）与 （ 是
常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足 ， ，则这两个方程
互为“对称方程”．【举例】求方程 的“对称方程”，这样思考：由方程 可知， ， ，
根据 ，求出 就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
(1)写出方程 的“对称方程”是______；
(2)若关于 的方程 与 互为“对称方程”，求 的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二
次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义．
（1）根据“对称方程”的定义解答即可；
（2）根据“对称方程”的定义可得 ，求出 的值，代入计算即可．
【详解】（1）解： ， ，
方程 的“对称方程”是 ，
故答案为： ；
（2）解：由 ，移项可得： ，
方程 与 为对称方程，
，
解得： ，
．
【高分演练】
一、单选题
19．（2024九年级上·全国·专题练习）将一元二次方程 化成 的形式，则a，b的值分别是
（ ）
A． ，21 B． ，11 C．4，21 D． ，69【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据完全平方公式、移项把原方程化为一般形式，即可得到答案．
【详解】解： ，
则 ，
∴ ，
由题意得： ，
解得： ，
故选：A．
20．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）一元二次方程 有一个根是 ，则 的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，使得方程两边相等的未知数的值是方程的解，理解定义是解题的关
键．
根据一元二次方程的解的定义，把 代入方程 可得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】把 代入 得 ，
解得 ．
故选：D．
21．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如果关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则代数式
的值为（ ）
A． B． C．2023 D．2025
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
利用一元二次方程解的定义得到 ，然后把 变形为 ，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把 代入方程 得 ，
所以 ，
所以 ．
故选：C．
22．（2024·安徽滁州·模拟预测）若关于 的方程 （其中 ）的解是 ， ，且 满足
，则 的值是（ ）A．2或 B．3或 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程解的定义，代数式求值等知识，根据题意，由一元二次方程解的定义得到
也是关于 的方程 （其中 ）的解，从而有 或 ，解得 或
（负值舍去），代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程解的定义是解决问题的关键．
【详解】解： 关于 的方程 （其中 ）的解是 ， ，且 满足
，
也是关于 的方程 （其中 ）的解，
或 ，解得 或 （负值舍去），
，
故选：C．
23．（2024·广东东莞·二模）如果关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则代数式 的
值为（ ）
A． B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的解，把 代入方程求出 ，即可求解，解题的关键是熟记把方程的
解代入原方程，等式左右两边相等．
【详解】解：将 代入原方程得： ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
24．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ，一元二次方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元
二次方程，据此求解即可．
【详解】解：① ，是一元二次方程；
② ，当 时，不是一元二次方程；
③ ，不是整式方程，不是一元二次方程；
④ ，是一元二次方程；
⑤ ，含有两个未知数，不是一元二次方程；；
⑥ ，即 ，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程；
∴一元二次方程有2个，
故选：B．
25．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 的两个根分别为 ，
3，则方程 的两个根分别为（ ）
A． ，3 B． ，3 C． ，2 D． ，2
【答案】C
【分析】根据方程 的两个根分别为 ，3，得到 ，或 ，即可求解，
本题考查了，一元二次方程的解，解题的关键是：理解方程的解．
【详解】解：∵ 的两个根分别为 ，3，
∴ 中， ，或 ，
解得： 或 ，
故选：C．
26．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）关于 的一元二次方程 的两根为 ， ，记 ，
，则 的值为（ ）
A．0 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，解题的根据是理解方程根的定义．根据题意得到 ， ，代入
即可求解．
【详解】∵关于 的一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ， ，
∴
．
故选：A．
二、填空题
27．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）若方程 是关于 的一元二次方程，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如 的方程叫做一元二次方程，由此得出
， ，求解即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得： ， ，
解得： ，
故答案为： ．
28．（2024九年级上·广西·专题练习）若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则
的值为
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解，把 代入方程，进行求解即可．
【详解】解：将 代入原方程得，
，解得k=1．
故答案为： ．
29．（2024·江苏徐州·模拟预测）关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则代数式 的
值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式求值，根据一元二次方程解的定义得到 ，再整体代入即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的一个根是 ，
∴ ，
则 ，
∴
故答案为：
30．（2024·江苏南京·一模）已知m是方程 （n为常数）的一个根，代数式 的值是
．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，根据m是方程 （n为常数）的一个根，得 ，可
得 ，即可得 ，进行计算即可得，掌握方程的根，能得出
是解题的关键．
【详解】解：∵m是方程 （n为常数）的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
31．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列式子：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中一定是关于x
的一元二次方程的有 （把所有正确选项的序号都填上）【答案】④⑦
【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答此题的关键．根据一元二次方
程的概念：含有一个未知数且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；据此即可判断得解．
【详解】解：① 虽然是只含有一个未知数的整式，并且未知数的最高次数是2，但它不是等式，故不是
方程；
② 不是整式方程；不是一元二次方程；
③ 是整式方程，可整理为 ，符合一元二次方程的概念，故是一元二次方程，但不是
关于x的方程；
④ 整理为 ，是一元二次方程；
⑤ 不一定是一元二次方程，因为当 时，它不是一元二次方程，只有当 时，它是一元二次
方程；
⑥ 整理为 ，它是一元一次方程，不是一元二次方程；
⑦ 可整理为 ，因为 不可能等于0，所以 是一元二
次方程；
⑧ 不是整式方程，不是一元二次方程．
答案：④⑦
32．（2024·湖南长沙·二模）若关于 的一元二次方程 （ ）的解是 ，则 的值是
．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到 ，再把 变形为
，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左
右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了求代数式的值．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 （ ）的解是 ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ 的值是 ．
故答案为： ．
三、解答题
33．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系
数和常数项．
(1) ；
(2) ；
(3)关于 的方程 ．
【答案】(1) ，二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为
(2) ，二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为0
(3) ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键；
（1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
【详解】（1）解：
移项，得 ．
二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为 ．
（2） ，
去括号，得 ；
移项、合并同类项，得 ，
整理，得 ．
二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为0．
（3）移项、合并同类项，得 ．
二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
34．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知a，b是关于x的一元二次方程 的两根．
(1)求n的取值范围；
(2)若等腰三角形的三边长分别为a，b，2，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式、以及等腰三角形的定义，注意要分类讨论．
（1）根据根的判别式列出方程求解即可；
（2）根据等腰三角形的定义，分① 或 ，② 两种情况讨论．
【详解】（1）由题意，得 ．
∵a，b是关于x的一元二次方程 的两根，
∴ ，
∴ ．
（2）∵三角形是等腰三角形，
∴有① 或 ，② 两种情况．
①当 或 时，
∵a，b是关于x的一元二次方程 的两根，
∴ 是方程的一根．
把x=2代入 ，
得 ，
解得 ．
当 时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故 不合题意，舍去；
②当 时，方程 有两个相等的实数根，
∴ ，解得 ．
综上所述， ．35．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值： ，其中x是方程 的根．
【答案】 ，
【分析】本题考查分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，
再整体代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
∵x是方程 的根，
∴ ，
∴原式 ．
36．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值 其中 是方程
的根．
1
【答案】 ，
3
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，
把 代入方程得到 的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：原式∵ 是方程 的根，
∴ ，即 ，
∴原式 ．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
37．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程 的两个根分别为 和 ，则有
和 ．
(1)已知 ， ，请构造一个以 ， 为根的一元二次方程（以 为未知数）；
(2)在（1）的条件下，求 的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题意得出 ， ，构造一个以 ， 为根的一元二次方程（以 为未知
数），即 ，即可作答．
（2）结合 ，得出 ，即可作答．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个根分别为 和 ，则有 和
∴ ， ，构造一个以 ， 为根的一元二次方程（以 为未知数），即
；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ．
38．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）请阅读下列材料：已知方程 ，求一个一元二次方程，使它
的根分别是己知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为 ，则 ，所以 ．把 代入已知方程，得 ．
化简，得 ，故所求方程为 ．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)己知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
(2)已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(3)已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为3， ，求一元二次方程
的两根．
【答案】(1)
(2)
(3)两个实数根分别是 ，4；
【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为 ，则 ，即 ，把 代入已知方程即可；
（2）设所求方程的根为 ，则 ，即 ，把 代入已知方程即可；
（3）一元二次方程整理可得： ，再与一元二次方程 比较即可．
【详解】（1）解：设所求方程的根为 ，则 ，即 ，
把 代入已知方程，得 ，
化简，得 ，
则所求方程为 ；
故答案为： ；
（2）解：设所求方程的根为 ，则 ，即 ，
把 代入已知方程 ，得 ，化简，得 ，
则所求方程为 ；
（3）解：一元二次方程整理可得： ，
令 ，则 ，
则方程 的两根比 的两个实数根大1，
∴ 的两个实数根分别是 ，4；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．
