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22.2 二次函数与一元二次方程
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点 二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点情况 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
b2-4ac 的根的情况
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x ，0），（x ，0）两 有两个不相等的实数根x ，x
b2-4ac>0 1 2 1 2
点
b2-4ac=0
抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点（ ， 有两个相等的实数根x =x =
1 2
0）
b2-4ac<0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴无公共点 在实数范围内无解
【题型探究】
题型一、抛物线与x轴或y轴的交点
【例1】．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数 的图象与 轴交点的坐标是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
令 ，解方程求出x的值，即可得得答案．
【详解】解：令 ，则 ，
解得 ， ，
∴二次函数的图象与 轴交点的坐标是的图象与 轴交点的坐标是 ， ，
故选：A．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江杭州）抛物线 与y轴交点的坐标为 ，与x轴交点的坐标为 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点坐标，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键；
抛物线与y轴交点满足横坐标为0，把 代入解析式可求得y的值，进而可得交点坐标，
抛物线与x轴交点满足纵坐标为0，把 代入解析式可求得x的值，进而可得交点坐标．
【详解】当 时， ，
抛物线 与y轴交点的坐标为 ；
当 时，由 解得 ， ，
抛物线 与x轴交点的坐标为 ， ；
故答案为： ； ， ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·山东济南·期中）抛物线 与 轴的一个交点的坐标为 ，则
与 轴的另一个交点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了抛物线的性质，正确记忆修改知识点是解题关键．先求出抛物线对称轴为： ，再根
据抛物线的对称轴进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵抛物线 与 轴的一个交点的坐标为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ，
故答案为： ．
题型二、比较函数值的大小或代数的值
【例2】．（24-25九年级上·广东阳江·期中）已知抛物线 经过点 ，则代数式 的值为
（ ）A．24 B．6 C．31 D．19
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数点的坐标特征，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握该知识点是解题的关键．由
题意可知， ，整理为 ，然后代入求值即可．
【详解】解： 抛物线 经过点 ，
故选：C ．
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·山西阳泉·阶段练习）已知点 在抛物线
上，则 的由大到小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算是解题的关键．
将 分别代入 得， ， ，
，由 ，可得 ，然后作答即可．
【详解】解：将 分别代入 得， ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【跟踪训练2】．．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，抛物线 与 轴正半轴只有一个交点，与
轴平行的直线 交抛物线于 、 ，交 轴于点 ．①若抛物线经过 ，则 ．
②若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数与 轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系的应用；
①抛物线 与 轴只有一个交点，则 ，抛物线过点 ，则 ，则故 ，即可求
解；
②设 、 ，则 ，且 ，即可求解．
【详解】解：①抛物线 与 轴只有一个交点，则 ，
抛物线过点 ，则 ，
故 ，解得 舍去正值 ，
故 ，
故答案为 ；
②抛物线 与 轴只有一个交点，则 ，
设 ， 、 点的横坐标分别为 、 ，
则： 、 ，
当 时， ，
则： ， ，
，
解得： ，即 ，
故答案为： ．
题型三、图像法确定一元二次方程根的近似解
【例3】．．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数 （ ， ， ， 为常数）的 与
的部分对应值如表：
判断方程 的一个解 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方
程关系．
仔细看表，可发现 的值 和 最接近 ，再看对应的 的值即可得解．
【详解】解：由表可以看出，当 取 与 之间的某个数时， ，
即这个数是 的一个根，
的一个解 的取值范围为 ．
故选： ．
【跟踪训练1】．．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如表是代数式 的部分值的情况．
1.1 1.2 1.3 1.4
－0.59 0.84 2.29 3.76
根据表格中的数据，则关于方程 的一个正根 的判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的
函数值的符号为一正一负，即可得出结果．
【详解】解：由表格可知： 时， ，
当 时， ，∴当 ，存在一个x的值使 ，
∴关于x的方程 的一个解x的范围是 ；
故选：B．
【跟踪训练2】．．（2025·安徽池州·二模）已知二次函数 中部分 和 的值如下表所示：
则方程 的一个较大的根的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为
解题的关键．
先求得对称轴为直线 ，再根据表格数据得 的较小的根的范围为 ，最后根据二次函
数图象的对称性即可解答．
【详解】解：由表格数据可得：
∵函数 的对称轴为直线 ，
当 时， ；当 时， ；
∴ 的较小的根的范围为 ，
∴ 的较大的根的范围是 ．
故选：C．
题型四、图解法解一元二次不等式
【例4】．．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线 与直线 交于 ，
两点，则关于x的不等式 的解集是（ ）A． 或 B． 或 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，根据抛物线 与直线 交
于 ， 两点，可得直线 与抛物线 交于点 ， 两点，根据图象
即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线 与直线 交于 ， 两点，
∴直线 与抛物线 交于点 ， 两点，
图象如图所示，
当 时， ，
∴ 的解集是 ，
故选：D．
【跟踪训练1】．．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）已知二次函数 的部分图象如图所示，若，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题；求 时， 的取值范围，就是二次函数的图象在 轴下方
时对应的 的范围．
【详解】根据图象可得， ，则 的取值范围是 ，
故选：B．
【跟踪训练2】．．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数 的部分图象，由图象可知下列说法错误
的是（ ）
A． ， B．不等式 的解集是
C． D．方程 的解是 ，
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解
题的关键．由图象判断 ， ，对称轴是 ，再判断出 ，与x轴一个交点是 ，则另一个交点
，结合函数图象即可求解．
【详解】解：由图象得： ， ，对称轴是 ，∴ ，
∴ ，故A正确，不符合题意；
∵对称轴是 ，函数图象与x轴一个交点是 ，
∴另一个交点 ，
∴不等式 的解集是 ，故B错误，符合题意；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴ ，故C正确，不符合题意；
∵函数图象与x轴的两个交点为 和 ，
∴方程 的解是 ， ，故D正确，不符合题意；
故选：B．
题型五、由不等式求自变量或函数值的范围
【例5】．．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数 和一次函数 的图象，观
察图象，当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数 和一次函数 相交
于两点的横坐标分别为 ，1，即可得．
【详解】解：根据图象得，二次函数 和一次函数 相交于两点，两点的横坐标分别为 ，
1，则当 时，x的取值范围为 或 ．
故选：B．
【跟踪训练1】．．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如果 都在二次函数
的图象上，且 ，则m的取值范围（）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质等知识，由 关于对称轴对
称得 ，且 在对称轴左侧， 在对称轴右侧；确定抛物线与 轴交点 ，此交点关于对称轴的对称点
为 ，结合已知确定出 ；再分类讨论： 都在对称轴左边时， 分别在对称轴两侧时，分别列
出不等式进行求解即可，存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键．
【详解】解：∵ 关于对称轴对称，
，
∴ ，且 在对称轴左侧， 在对称轴右侧，
∵抛物线与 轴交点为 ，抛物线对称轴为直线 ，
∴此交点关于对称轴的对称点为 ，
∵ 且 ，
∴ ，
解得： ，
当 都在对称轴左边时，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当 分别在对称轴两侧时，∵
∴ 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
综上所述， 或 ，
故选：B．
【跟踪训练2】．．（2025·四川泸州·二模）已知二次函数 的图象与x轴有两交点，当
且该函数图象与 轴两交点的横坐标 ， 满足： ， 时，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质、利用不等式组求字母取值范围等知识点，熟练掌握二次函数各系
数与图象之间的关系是解题的关键．
中根据开口方向及 ， 的范围可判断出对应y的取值，从而建立不等式组求解即可．
【详解】解：当 时， ，即二次函数开口向上，
∵ ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴当 时， ； 时， ，
∴ ，解得： ，∴ ．
故选：B．
题型六、由二次函数图像确定对于一元二次方程的根
【例6】．．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数 图象的一部分如图所示，点
在该函数图象上，其对称轴为直线 ．则当 时，自变量 的取值范围正确的是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对
称性，由图象过点 ，对称轴为直线 ，可得图象与x轴的另一个交点坐标为 ，再由二次函数图象
性质得出函数值 时，自变量x的取值范围．
【详解】解：∵图象过点 ，对称轴为直线 ，且 ，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为 ，
由二次函数图象性质可知，
当函数值 时，
自变量x的取值范围是 ．
故选：D．
【跟踪训练1】．．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）二次函数 （ ）的部分图象如图，图象过
点 ，下列结论：① ；② ；③ ，④若顶点坐标为 ，则方程 没有实数根．其中正确结
论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，
熟练掌握性质是解题的关键．
根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，抛物线与一元二次方程
的关系等解答即可．
【详解】解：根据图象过点 ，对称轴为直线 ，设抛物线与x轴的另一个交点为 ，
则 ，
解得 ，
故图象过点 ，
故抛物线与x轴有两个不同的交点，即 有两个不同的实数根，
故 ，即 ，故①正确，
∵二次函数 开口向下，
∴ ，
∵对称轴在x轴的正半轴上，
∴ ,
∴ ， ，
∴ ,
故②正确；
根据抛物线的性质，得 时， ，
∴ ，
∴ ,故③错误；
由抛物线的顶点坐标为 ， ，
故该二次函数的最大值为4，即直线 与抛物线有唯一交点，
由 ，
故直线 与抛物线无交点，即方程 没有实数根．
故④正确；
故选：C．
【跟踪训练1】．．（25-26九年级上·浙江杭州）已知二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程
的其中一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，先估计出对称轴右侧图象与x轴交点的横坐标，再利
用对称轴 ，可以估算出左侧交点横坐标．
【详解】解：依题意得二次函数 的抛物线开口向下，图象的对称轴为 ，
而对称轴右侧图象与x轴交点在0与1之间，即
又∵对称轴为 ，
则抛物线与 轴的另一个交点在 与 之间，即一元二次方程 的其中一个解的范围是 ，
故选：B．
题型七：截线长问题
【例7】．．（24-25九年级下·贵州黔东南）二次函数 的图象与x轴交于点 ， ，则关于x的方程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方
程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键．
【详解】解： 二次函数 的图象与x轴交于点 ， ，
关于x的方程 的解为 ， ，
故选：D．
【跟踪训练1】．．（22-23九年级上·江苏·期末）如图，抛物线 （其中a为常数）的对称轴为直
线 ，与x轴交于点A，点B，则 的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得 的值，解方程
，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 （其中a为常数）的对称轴为直线 ，
∴
解得： ，
∴抛物线解析式为： ，
令 ，即 ，
解得： ，∴ ,
∴ ，
∴ ,
故答案为： ．
【跟踪训练2】．．（2023·四川南充·二模）如图，平移抛物线 ，使顶点在线段 上运动，与x轴
交于 ，D两点．若 ， ，四边形 的面积为 ，则 ．
【答案】
【分析】根据梯形面积求出 ，结合一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式之间关系化简即可得到答
案；
【详解】四边形 是梯形，下底 ，高为3，
由 ，得 ，设 ， ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．∴ ①，
又顶点纵坐标 ②，
①÷②，得 ，
∴ ，故答案为 ；
【点睛】本题考查二次函数性质与几何图形应用，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系及
二次函数的性质．
题型八、二次函数与一元二次方程的综合
【例8】．．（22-23九年级上·广东广州·期末）已知抛物线 的顶点坐标是 ，图象与x轴
交于点 和点C，且点B在点C的左侧，那么线段 的长是 ．（请用含字母m的代数式表示）
【答案】
【分析】根据二次函数的对称性求解即可．
【详解】因为二次函数 的图象的顶点的横坐标是1，
所以抛物线对称轴所在直线为 ，交x轴于点C，
所以B，C两点关于对称轴对称，
因为点 ，且点B在点C的左侧，
所以 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的两点间距离的求法，解题的关键是掌握二次函数的对称性．
23．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)若 ，且二次函数象经过点 ，求函数顶点坐标；
(2)若 ，
①求证：二次函数的图象和 轴有两个交点；
②若 ，点 在该二次函数图象上，当 时， 的最小值是 ，求 的值．【答案】(1)
(2)①见解析；②2
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
（1）先利用待定系数法求得函数解析式，再利用性质可得顶点坐标；
（2）①利用判别式证明即可；
②先求得 ，再根据二次函数的性质，分 和 两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，且二次函数象经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴顶点坐标为 ；
（2）①证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴二次函数的图象和 轴有两个交点；
②∵点 在该二次函数图象上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵当 时， 的最小值是 ，
∴当 ，即 时，当 时，n取最小值 ，
∴ ，
整理，得 ，解得 ， （不符合题意，舍去），
当 ，即 时，当 时，n有最小值，
∴ ，
解得 ，不符合题意，舍去；
综上，b的值为2．
【跟踪训练1】．．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知顶点为 的抛物线 经过点
，且与 轴交于 ， 两点（点 在点 的右边）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 、 是抛物线上的两点，当 ， 时，均有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象与性质，解不等式组，熟练掌握以上知识点，
数形结合是解题的关键．
（1）利用二次函数的顶点式解题即可；
（2）先求出其开口方向以及对称轴，从而知道 时，其函数值与 时相等，从而推出 ，从而解
得答案．
【详解】（1）解： 不妨设抛物线为： ，代入点 ，
那么有 ，解得 ，
；
（2）解： ，
对称轴为 ，开口向下，
与 关于 对称，
时，其函数值与 时相等，
当 ， 时，均有 ，
，
．
【跟踪训练2】．．（25-26九年级上·江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与抛物线
交于坐标轴上的 ， 两点， 是直线 上一动点(不与点A，C重合)．
(1)求 ， 的值；
(2)将点 向上平移 个单位长度，得到点 ．若抛物线与线段 有公共点，求点 横坐标 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式以及二次函数的最值，熟
练掌握二次函数的有关知识是解决问题的关键．
（1）分别把点 、 的坐标代入抛物线，得到关于 ， 的二元一次方程组，解方程组即可求出结果；
（2）设点 的横坐标为 ，表示出点 的纵坐标，过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，用含 的代数式表
示出点 的纵坐标，求出 的长，当点 与点 重合时，求出对应m的值，再根据抛物线与线段 有公共点即可求出点 横坐标 的取值范围．
【详解】（1）由题意得：对于一次函数 ，
当 时， ，当 时， ，
即 ， ，
分别把点 ， 的坐标代入抛物线 ，
得 ，
解得 ，
， ；
（2）由（1）可知抛物线解析式为： ，
点 的横坐标为 ，则 的纵坐标为 ，
过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，
则点 的坐标为 ，
，
当点 与点 重合时， ，
解得： ， ，
抛物线与线段 有公共点时，点 横坐标 的取值范围为 或 ．
【高分演练】
一、单选题1．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）二次函数 （ ， 为常数）与x轴交于点 ， ，
则关于x的一元二次方程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的
方程的根是关键．根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．
【详解】解：∵二次函数 （ ， 为常数）与x轴交于点 ， ，
∴关于x的方程 的解为 ， ，
故选：C．
2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段练习）二次函数 （ 为常数，且 ）与 轴的一个交点的
横坐标是 、顶点坐标为 ，则下列关于二次函数 的说法中正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与 轴的另一个交点的横坐标是3
C．当 时， 随 的增大而减小
D．二次函数图象与 轴的交点的纵坐标是8
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的顶点
坐标即可得二次函数图象的对称轴是直线 ，则A错误；根据二次函数的对称性可得二次函数图象与 轴的另
一个交点的横坐标是4，则B错误；根据二次函数的对称轴是直线 和 可得当 时， 随 的增大而增
大，则C错误；先设二次函数的解析式为 ，再将点 代入求出 ，则可得二次函数的解析
式，然后将 代入二次函数的解析式求出 的值，由此即可得D正确．
【详解】解：∵二次函数 （ 为常数，且 ）的顶点坐标为 ，
∴二次函数图象的对称轴是直线 ，则选项A错误；∵这个二次函数与 轴的一个交点的横坐标是 ，
∴二次函数图象与 轴的另一个交点的横坐标是 ，则选项B错误；
∵这个二次函数图象的对称轴是直线 ，且 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，则选项C错误；
∵二次函数 （ 为常数，且 ）的顶点坐标为 ，
∴设二次函数的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
将 代入 得： ，
∴二次函数图象与 轴的交点的纵坐标是8，则选项D正确；
故选：D．
3．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知二次函数 的图象在x轴上方，则k的取值范围
是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】A
【分析】本题主要考查函数图象与x轴交点的特点，掌握相关知识是解题的关键．根据二次函数
的图象在x轴上方，得出函数图象与x轴无交点且抛物线开口向上，即可得出方程
的判别式 ， ，即可求解．
【详解】解：∵二次函数 的图象在x轴上方，
∴抛物线的开口向上，抛物线与x轴无交点，
∴ ，
解得： ，
故选：A．4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，二次函数 的图象经过点 ， ，下列说
法正确的是（ ）
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
根据抛物线 与y轴交点的位置、开口方向、对称轴位置即可判断A选项；根据抛物线与x轴有两个
交点即可判断B选项；由图象可知，当 时，对应点在x轴的上方可知 ，可判断C选项；根据图象
经过点 两点，即可得出对称轴为直线 ，可判断D选项．
【详解】解：A、由抛物线开口向上，可知 ，二次函数 的图象与 轴交于正半轴，则 ，对
称轴为直线 ， ，所以 ，所以 ，故A错误，不符合题意；
B、二次函数 的图象与 轴有两个交点， ，故B错误，不符合题意；
C、由图可知，图象上横坐标为 的点在 轴上方，即 ，故C错误，不符合题意；
D、二次函数 的图象经过点 ， ，则对称轴为直线 ，故D正确，符合题意；
故选：D．
5．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）二次函数 的图象与x轴交点为 ，则方程
的解是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，得到二次函数 的图象与二次函数
的图象关于y轴对称是解题的关键．根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点的横坐标求得即
可解答．
【详解】解：∵二次函数 的对称轴为直线 ，二次函数 的对称轴为
，
∴二次函数 的图象与二次函数 的图象关于y轴对称，
∵二次函数 的图象与x轴交点为 ，
∴二次函数 的图象与x轴交点为 ，
∴方程 的解是 ，
故选：D．
6．（2025·湖北孝感·三模）已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 ，
对称轴为直线 ．对于下列结论：① ；② ；③多项式 可因式分解为 ；
④当 时，关于 的方程 无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可．
本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌
握性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 开口向下，
∴ ，
∵抛物线 的图象与y轴的交点在正半轴上，
∴ ；
∵对称轴为直线 ，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
故①正确；
根据抛物线的图象得，直线 与抛物线的交点在第一象限，
∴ ，
∴ ,
故②正确；
设抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
解得 ，
故 的两个根分别是 ，
故多项式 可因式分解为 ，
故③不正确；根据题意，得 ， 即 ，
根据题意，当 时，抛物线有最大值，且为 ，
故当 时，在抛物线顶点的上方，
故关于 的方程 无实数根．
故④正确；
故选：C．
7．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）二次函数 的部分对应值如表：以下结论不正确的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为 B．与 轴的交点坐标为
C．与 轴的交点坐标为 和 D．当 时，对应的函数值 为
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
由表格可知，二次函数 的图象的对称轴为直线 ，则可得抛物线的顶点坐标为 ；
由表格可知，当 时， ，则抛物线与 轴的交点坐标为 ；由表格可知，当 时， ，则抛
物线与 轴的一个交点坐标为 ，结合抛物线的对称性可得抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ；结合抛
物线的对称性可知， 对应的函数值与 对应的函数值相等，则可得当 时，对应的函数值 为 ．
【详解】解：由表格可知，二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
当 时， ，
抛物线的顶点坐标为 ．故A选项正确，不符合题意；
由表格可知，当 时， ，
与 轴的交点坐标为 ．故B选项正确，不符合题意；
由表格可知，当 时， ，
抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
抛物线与 轴的交点坐标为 和 ，故C选项不正确，符合题意；
抛物线的对称轴为直线 ，
对应的函数值与 对应的函数值相等，
由表格可知，当 时， ，
当 时，对应的函数值 为 ．故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
8．（25-26九年级上·广东·期中）如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，对
称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④当 时， ．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方
向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．
根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与 轴交点的位置可对 的符号进行判断，进而可对结论
进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点 的位置进行判定，进而可
对结论 进行判断；根据二次函数的图象与 轴的两个交点坐标可对结论 ，结论 进行判断，据此可得出此
题的答案．
【详解】解： 二次函数图象的开口向上，
，
二次函数图象的顶点在第三象限，
，
，，
二次函数图象与 轴的交点在 轴的负半轴上，
，
，故结论 正确，符合题意；
对于 ，当 时， ，
点 在二次函数的图象上，
二次函数的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为 ，
二次函数的图象与 轴的另一个交点为 ，
点 在 轴下方的抛物线上，
，故结论 正确，符合题意；
二次函数的图象与 轴的两个交点坐标分别为 ， ，
，消去 得： ，故结论 正确，符合题意；
二次函数图象的开口向上，与 轴的两个交点坐标分别为 ， ，
当 时，二次函数图象的在 轴的下方，
，即： ，故结论 错误，不符合题意；
综上所述：结论 正确，
故选： ．
二、填空题
9（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）若抛物线 与直线 的交点坐标为 和 ，则一元二次
方程 的根为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系：即抛物线与直线交点的横坐标，是对应一元二次方程的根，
据此可由抛物线和直线的交点横坐标得出方程的根．
【详解】解：∵一元二次方程 的解可以看作抛物线 与直线 的交点的横坐标，联立方程组 ，
把①代入②得： ，
即： ，
又∵抛物线 与直线 的交点坐标为 和 ，
∴一元二次方程 的根为 ．
10．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知方程 的两根为2和 ，则抛物线 的
对称轴是直线 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的两个交点的横坐标即为其对应
的一元二次方程的两个实数根，据此可得抛物线 与x轴的两个交点的坐标分别为 ，再
根据对称轴计算公式求解即可．
【详解】解：∵方程 的两根为2和 ，
∴抛物线 与x轴的两个交点的坐标分别为 ，
∴抛物线 的对称轴是直线 ，
故答案为： ．
36．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线
， 则 时，该函数的自变量x的取值范围是
【答案】 或
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数与不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．抛物线对称轴为直线 ， 由图象可知二次函数过 和 ，结合图像数形结合即可解决题目．
【详解】解：∵对称轴为直线
由图象知，二次函数过 和 ，
∵抛物线开口向下，
∴当 时， 或 ．
故答案为： 或 ．
11．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线
，则下列结论：① ；② ；③ ；④当 时， ，其中正确的
为 ．
【答案】①
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的相关性质，运用数形结合思想是解题的关键；
根据开口方向，对称轴，抛物线与y轴的交点可以判断①，②，根据作差法即可判断③， 函数图象在x轴的
下方，结合图象即可判断④．
【详解】解：由图可知，该抛物线图象开口向下，且对称轴为直线 ，
， ，
，
抛物线交y轴于正半轴，
，
，故①正确，符合题意；
对称轴为直线 ，
，
，
，故②不正确，不符合题意；， ，
，
，故③不正确，不符合题意；
由图象可知，当 时， 或 ，故④不正确，不符合题意；
综上所述，正确的为①，
故答案为：①．
12．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，
对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③当 时， ；④
其中正确结论的本数为 （填序号）
【答案】①②③④
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二
次函数的相关知识是解题的关键．
根据二次函数开口向上，与 轴交于 轴负半轴， ，根据对称轴为直线 可得 ，由此即可
判断①；求出二次函数与 轴的另一个交点坐标为 ，进而得到当 时， ，由此即可判断②；根据
时， ，即可判断④；利用图象法即可判断③．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与 轴交于 轴负半轴，
，
∵二次函数的对称轴为直线 ，
，
，
∴ ，故①正确；
∵二次函数 的图象与 轴的一个交点坐标为 ，∴二次函数 的图象与 轴的另一个交点坐标为 ，
∴当 时， ，
∴ ，故②正确；
时， ，
，
∴ ，即 ，故④正确；
由函数图象可知，当 时， ，故③正确；
综上所述，其中正确的结论有①②③④，
故答案为：①②③④．
三、解答题
13．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知二次函数 的图象经过点 ， ．
(1)求该函数的解析式．
(2)利用图象直接写出，当 取什么值时，函数值 大于 ：______．
【答案】(1) ；
(2) 或
【分析】本题主要考查了二次函数与 轴交点问题、利用二次函数图象解不等式等内容，熟练掌握相关知识是解题
的关键．
（1）利用待定系数法即可得解；
（2）令 ，求出二次函数图象与x轴的交点，再根据图象直接可得解．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象分别经过点 ， ．
∴ ，解得
函数的解析式 ；
（2）解：令 ，则 ，
解得 ， ，
∴该二次函数图象与x轴的交点为 ， ，
由图象可得当 或 时， ，
故答案为： 或 ．
14．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数 ，函数 与自变量 的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 0 3 4 3 …
(1)求这个二次函数的关系式；
(2)若 ，求 的取值范围：
(3)若 、 两点均在该函数的图象上，当 时，试比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正确求得函数关系式是解答的关键．
（1）选择表格中两组数据，代入 中求解即可；
（2）根据该函数图象与x轴的交点坐标，以及开口方向即可求解；
（3）先求得 ，再根据已知得到 ，进而可得 ．
【详解】（1）解：由表格数据知，当 时， ，当 时， ，∴ ，解得 ，
∴这个二次函数的关系式为
（2）解：由 得 ， ，
∴该函数的图象与x轴的交点坐标为 ， ，
∵该二次函数图象开口向下，
∴若 ，则 的取值范围为 ；
（3）解：∵ 、 两点均在该函数的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ．
15．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数 的图象如图所示．
(1)该抛物线的顶点坐标是________；
(2)当x________时，y的值随x值的增大而减小；
(3)当 时，y的取值范围是________；
(4)若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是________．
【答案】(1)
(2)
(3)(4)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据 的顶点坐标为 ，进行作答即可；
（2）根据函数 的开口方向和对称轴进行作答即可；
（3）先得二次函数 的开口方向向下，最大值为5，分别算出当 时和 时所对应的函数值，
然后进行比较，即可作答．
（4）依题意，将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，故平移后的二次函数的顶点的纵坐标为 ，即可作
答．
【详解】（1）解：∵二次函数 的顶点坐标是 ，
故答案为： ；
（2）解：∵二次函数 中的
∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线 ，
当 时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为： ；
（3）解：与（2）同理得二次函数 的开口方向向下，最大值为5，
把 代入 ，
得 ，
把 代入 ，
得 ，
当 时，y的取值范围是 ，
故答案为： ．
（4）解：∵将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，
∴平移后的二次函数的顶点的纵坐标为 ，
即平移后的函数解析式是 ，故答案为： ．
16．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数 的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题：
(1)直接写出该二次函数的解析式为 ___________；
(2)不等式 的解集是 ___________；
(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 ___________；
(4)若关于x的方程 有两个不相等的实根，则k的取值范围是 ___________．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
(4)
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的
关系．
（1）设抛物线交点式 ，将 代入解析式求解．
（2）根据抛物线与x轴交点坐标及开口方向判断．
（3）由抛物线与x轴交点坐标可得抛物线对称轴为直线 ，然后根据开口方向进行判断．
（4）将抛物线解析式化为顶点式求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ，
将 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ，故答案为： ．
（2）解：由图象可得 或 时， ，
故答案为： 或 ．
（3）解：∵图象经过 ， ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵抛物线开口向下，
∴ 时，y随x的增大而减小，
故答案为： ．
（4）解：∵ ，
∴ ，
∴ 时， 有两个不相等的实根，
故答案为： ．
17．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）【阅读理解】
我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数 ，令
，可得 ，我们就说1是函数 的零点值，点 是函数 的零点．
【问题解决】
(1)求二次函数 的零点值；
(2)若二次函数 两个零点都是整数，求出整数k的值．
【答案】(1) ，3
(2) ，
【分析】（1）令 ，求解二次方程即可得到二次函数的零点值；
（2）令 ，对得到的二次方程进行因式分解，求出两个根，根据两根是整数即可求出k的值．
本题考查了二次函数相关知识及一元二次方程，理解零点值的定义、掌握一元二次方程的解法是解题关键．
【详解】（1）解：当 时，解得 或 ．∴二次函数 的零点值为 和3．
（2）解：当 时， ，
由题可知 ，
∴方程的根为 或 ．
∵二次函数 的两个零点都是整数，
∴ 是整数，
∴ 或 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
．
∴ 或 ．
