文档内容
22.2 二次函数与一元二次方程
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点 二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点情况 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
b2-4ac 的根的情况
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x ，0），（x ，0）两 有两个不相等的实数根x ，x
b2-4ac>0 1 2 1 2
点
b2-4ac=0
抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点（ ， 有两个相等的实数根x =x =
1 2
0）
b2-4ac<0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴无公共点 在实数范围内无解
【题型探究】
题型一、抛物线与x轴或y轴的交点
【例1】．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数 的图象与 轴交点的坐标是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·浙江杭州）抛物线 与y轴交点的坐标为 ，与x轴交点的
坐标为 ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·山东济南·期中）抛物线 与 轴的一个交点的坐标为 ，则
与 轴的另一个交点坐标是 ．
题型二、比较函数值的大小或代数的值
【例2】．（24-25九年级上·广东阳江·期中）已知抛物线 经过点 ，则代数式 的值为
（ ）
A．24 B．6 C．31 D．19【跟踪训练1】．（24-25九年级上·山西阳泉·阶段练习）已知点 在抛物线
上，则 的由大到小关系是 ．
【跟踪训练2】．．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，抛物线 与 轴正半轴只有一个交点，与
轴平行的直线 交抛物线于 、 ，交 轴于点 ．
①若抛物线经过 ，则 ．
②若 ，则 ．
题型三、图像法确定一元二次方程根的近似解
【例3】．．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数 （ ， ， ， 为常数）的 与
的部分对应值如表：
判断方程 的一个解 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练1】．．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如表是代数式 的部分值的情况．
1.1 1.2 1.3 1.4
－0.59 0.84 2.29 3.76
根据表格中的数据，则关于方程 的一个正根 的判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】．．（2025·安徽池州·二模）已知二次函数 中部分 和 的值如下表所示：则方程 的一个较大的根的范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型四、图解法解一元二次不等式
【例4】．．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线 与直线 交于 ，
两点，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【跟踪训练1】．．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）已知二次函数 的部分图象如图所示，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【跟踪训练2】．．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数 的部分图象，由图象可知下列说法错误
的是（ ）A． ， B．不等式 的解集是
C． D．方程 的解是 ，
题型五、由不等式求自变量或函数值的范围
【例5】．．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数 和一次函数 的图象，观
察图象，当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
【跟踪训练1】．．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如果 都在二次函数
的图象上，且 ，则m的取值范围（）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【跟踪训练2】．．（2025·四川泸州·二模）已知二次函数 的图象与x轴有两交点，当
且该函数图象与 轴两交点的横坐标 ， 满足： ， 时，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． 或 D．
题型六、由二次函数图像确定对于一元二次方程的根
【例6】．．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数 图象的一部分如图所示，点
在该函数图象上，其对称轴为直线 ．则当 时，自变量 的取值范围正确的是（ ）
A． B． 或 C． D．
【跟踪训练1】．．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）二次函数 （ ）的部分图象如图，图象过
点 ，下列结论：
① ；② ；③ ，④若顶点坐标为 ，则方程 没有实数根．其中正确结
论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【跟踪训练2】．．（25-26九年级上·浙江杭州）已知二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程
的其中一个解的范围是（ ）A． B．
C． D．
题型七：截线长问题
【例7】．．（24-25九年级下·贵州黔东南）二次函数 的图象与x轴交于点 ， ，则关于x
的方程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【跟踪训练1】．．（22-23九年级上·江苏·期末）如图，抛物线 （其中a为常数）的对称轴为直
线 ，与x轴交于点A，点B，则 的长度为 ．
【跟踪训练2】．．（2023·四川南充·二模）如图，平移抛物线 ，使顶点在线段 上运动，与x轴
交于 ，D两点．若 ， ，四边形 的面积为 ，则 ．题型八、二次函数与一元二次方程的综合
【例8】．．（22-23九年级上·广东广州·期末）已知抛物线 的顶点坐标是 ，图象与x轴
交于点 和点C，且点B在点C的左侧，那么线段 的长是 ．（请用含字母m的代数式表示）
23．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)若 ，且二次函数象经过点 ，求函数顶点坐标；
(2)若 ，
①求证：二次函数的图象和 轴有两个交点；
②若 ，点 在该二次函数图象上，当 时， 的最小值是 ，求 的值．
【跟踪训练1】．．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知顶点为 的抛物线 经过点
，且与 轴交于 ， 两点（点 在点 的右边）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 、 是抛物线上的两点，当 ， 时，均有 ，求 的取值范围．
【跟踪训练2】．．（25-26九年级上·江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与抛物线
交于坐标轴上的 ， 两点， 是直线 上一动点(不与点A，C重合)．(1)求 ， 的值；
(2)将点 向上平移 个单位长度，得到点 ．若抛物线与线段 有公共点，求点 横坐标 的取值范围．
【高分演练】
一、单选题
1．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）二次函数 （ ， 为常数）与x轴交于点 ， ，
则关于x的一元二次方程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段练习）二次函数 （ 为常数，且 ）与 轴的一个交点的
横坐标是 、顶点坐标为 ，则下列关于二次函数 的说法中正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与 轴的另一个交点的横坐标是3
C．当 时， 随 的增大而减小
D．二次函数图象与 轴的交点的纵坐标是8
3．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知二次函数 的图象在x轴上方，则k的取值范围
是（ ）
A． B． C． 且 D． 且4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，二次函数 的图象经过点 ， ，下列说
法正确的是（ ）
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
5．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）二次函数 的图象与x轴交点为 ，则方程
的解是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·湖北孝感·三模）已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 ，
对称轴为直线 ．对于下列结论：① ；② ；③多项式 可因式分解为 ；
④当 时，关于 的方程 无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）二次函数 的部分对应值如表：以下结论不正确的是（ ）A．抛物线的顶点坐标为 B．与 轴的交点坐标为
C．与 轴的交点坐标为 和 D．当 时，对应的函数值 为
8．（25-26九年级上·广东·期中）如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，对
称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④当 时， ．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9（25-26九年级上·浙江衢州·阶段练习）若抛物线 与直线 的交点坐标为 和 ，则一元二次
方程 的根为 ．
10．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）已知方程 的两根为2和 ，则抛物线 的
对称轴是直线 ．
36．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线
， 则 时，该函数的自变量x的取值范围是
11．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：① ；② ；③ ；④当 时， ，其中正确的
为 ．
12．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，
对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③当 时， ；④
其中正确结论的本数为 （填序号）
三、解答题
13．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知二次函数 的图象经过点 ， ．
(1)求该函数的解析式．
(2)利用图象直接写出，当 取什么值时，函数值 大于 ：______．
14．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数 ，函数 与自变量 的部分对应值如下表：… 0 1 2 …
… 0 3 4 3 …
(1)求这个二次函数的关系式；
(2)若 ，求 的取值范围：
(3)若 、 两点均在该函数的图象上，当 时，试比较 与 的大小．
15．（25-26九年级上·湖北武汉）已知二次函数 的图象如图所示．
(1)该抛物线的顶点坐标是________；
(2)当x________时，y的值随x值的增大而减小；
(3)当 时，y的取值范围是________；
(4)若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是________．
16．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数 的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题：
(1)直接写出该二次函数的解析式为 ___________；
(2)不等式 的解集是 ___________；
(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 ___________；
(4)若关于x的方程 有两个不相等的实根，则k的取值范围是 ___________．17．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）【阅读理解】
我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点．例如，对于函数 ，令
，可得 ，我们就说1是函数 的零点值，点 是函数 的零点．
【问题解决】
(1)求二次函数 的零点值；
(2)若二次函数 两个零点都是整数，求出整数k的值．
