文档内容
23.1 图形的旋转
【考点归纳】
考点一：生活中的旋转现象
考点二：旋转的三要素
考点三：旋转的性质
考点四：旋转中的线段问题
考点五：旋转中的坐标问题
考点六：旋转中的规律问题
考点七：旋转（几何变换）综合
【知识梳理】
知识点一．旋转的概念：
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做__旋转中心，转动的角叫做_
旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的_对应点_．
旋转有三要素：（1）_旋转中心__；（2）_旋转方向_；（3）_旋转角度_．
知识点二．旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
知识点三．旋转作图的基本步骤
（1）明确旋转中心，旋转方向和旋转角．
（2）找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置．
（3）按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形．
【题型探究】
题型一：生活中的旋转现象
1．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）下列现象中属于旋转的有（ ）个．
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了生活中的平移．根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可．
【详解】解：属于旋转的有③④⑤⑥，共4个．
故选：C
2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示
的“遂珍”经过旋转不能得到的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转
角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．由如图图形旋转，分别判断、解答即可．
【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
B．由图形对称而得出，故本选项符合题意；
C．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质和轴对称的定义：（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，
图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．（2）轴对称
的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．能否构成旋转，关键
是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度．
【详解】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到．
故选：C
题型二：旋转的三要素4．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）在如图所示的正方形网格中，四边形 绕某一点旋转某一角度得到四边
形 （所有顶点都是网格线交点），在网格线交点 中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应
点线段的垂直平分线上，连接 ， ，作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心．
【详解】解：连接 ， ， 作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是
点M．如下图：
故选∶A．
5．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图， 是由 绕A点旋转得到的，若 ，
，则旋转角的度数为( )A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了旋转的性质，根据题意得出 是旋转角，即可求解．
【详解】 是由 绕 点旋转得到的，
是旋转角，
， ，
旋转角的度数为 ．
故选：A．
6．（21-22九年级上·江西赣州·期末）如图，在正方形网格中， 绕某点旋转一定的角度得到 ，则旋
转中心是点（ ）
A．O B．P C．Q D．M
【答案】B
【分析】根据旋转中心的定义即可求解．
【详解】解：连接 ， ， ， ， ， 如图所示：， ， ，且 ，
点P是旋转中心，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转中心的定义，熟练掌握旋转中心的定义是解题的关键．
题型三：旋转的性质
7．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在四边形 中， ，边 绕点D顺时针旋转，点C的对应点E
落在线段 上，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理判
断．根据旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质判断即可．
【详解】解：由旋转的性质可知 ，
，，
， ，
，故选项D正确；
不一定平行，
不一定相等， 不一定相等，
不一定相等，故选项A，C错误；
不一定相等，
不一定相等，
，
不一定相等，故选项B错误；
故选：D．
8．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图所示，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转至
处，使点B落在 的延长线上的D点处，则 的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得 ， ，再利用等腰三角形的性质得 ，然
后计算 即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
【详解】解：∵ 绕点A逆时针旋转至 处，使点B落在 的延长线上的D点处，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ．
故选：C．
9．（23-24九年级上·陕西安康·期中）如图，在同一平面内，将 绕点 逆时针旋转得到 ，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由旋转的性质可得 ，则 ，根据 ，计
算求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可得， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．题型四：旋转中的线段问题
10．（23-24九年级上·广东广州·期中）如右图，在 中， ， ， ，将 绕
点 按逆时针方向旋转得到 ，此时点 恰好在边 上，则点 的长度为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质和旋转的性质即可得到结论．
【详解】解：∵将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，此时点 恰好在边 上，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，等边三角形的判定与性质，找到边长之间的关
系是解答本题的关键．
11．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，若线段 ，则
的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由旋转可得： 得 是等边三角形，即可得出答案．
【详解】解： 绕点A顺时针旋转 得到 ，
，
是等边三角形，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
12．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在 中， ， ， ，将 绕点 逆时
针旋转得到 ，点 落在线段 上，则 两点间的距离为（ ）．
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】在 中，由勾股定理可得 ，再根据旋转性质可得 ，， ，易得 ，然后在 中由勾股定理求解即可获得答案．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
又∵将 绕点 逆时针旋转得到 ，点 落在线段 上，
由旋转性质可得， ， ， ，
∴ ，
∴在 中， ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理等知识，理解并掌握旋转的性质是解题关键．
题型五：旋转中的坐标问题
13．（23-24九年级上·湖北恩施·期末）如图，将 绕原点O逆时针旋转 得到 ，则点D的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转前后对应线段的长度不变解答即可．
【详解】由图易知， ， ， ，
∵将 绕原点O逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∵点D在第二象限，
∴点D的坐标是 ．
故选：A．14．（2024·山西长治·三模）如图，将 先绕点C按顺时针方向旋转 ，再向右平移1个单位长度后得到
，则点A的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转变换和平移变换，先根据旋转性质和平移性质画出图形，再根据图形中点
的位置即可求解．
【详解】解：将 先绕点C按顺时针方向旋转 ，再向右平移1个单位长度后得到 如图所示，则点
A的对应点 的坐标为 ，
故选：C．
15．（2023·山东青岛·一模） 在如图所示的平面直角坐标系中，将 向右平移 个单位长度后得到
，再将 绕点 旋转 后得到 ，那么点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平移和旋转，坐标与图形，根据题意，画出图形，即可得出答案，掌握平移、旋转的性质是
解题的关键．
【详解】解：根据题意，可画出如下图形：
∴点 的坐标 ，
故选： ．
题型六：旋转中的规律问题
16．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在x轴上，点 ，点
，将正方形 绕点A逆时针旋转，每次旋转 ，若最后点C的坐标为 ，则旋转次数可以是
（ ）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】此题考查了点的坐标变化规律．每旋转4次则回到原位置，根据点C的坐标为 ，可得图形旋转
次，即可求解．
【详解】解：如图，
由题可知，将正方形 绕点A逆时针旋转，每次旋转 ，
∴每旋转4次则回到原位置，
∵点C的坐标为 ，
∴旋转后点C在第二象限内，
∴图形旋转 次点C的坐标为 ，
∵ ， ， ， ，
∴最后点C的坐标为 ，则旋转次数可以是2025．
故选：C
17．（2024·河南周口·模拟预测）如图，菱形 中， ．将菱形 绕点O顺时针旋转，每次旋转 ，则第65次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（ ， ） B． C．（ ， ） D．
【答案】B
【分析】此题考查菱形的性质，点坐标的规律，根据菱形的性质得到 ， ，求出
， ，推出旋转8次中每次的点A的坐标，由此得到答案，熟练掌握菱形的性
质是解题的关键
【详解】解：过点A作 轴于点D，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵将菱形 绕点O顺时针旋转，每次旋转 ，
∴第一次旋转后，点A的坐标为 ，
第二次旋转后，点A的坐标为 ，第三次旋转后，点A的坐标为
第四次旋转后，点A的坐标为 ，
第五次旋转后，点A的坐标为
第六次旋转后，点A的坐标为 ，
第七次旋转后，点A的坐标为
八次旋转后，点A的坐标为 ，
，
可以发现，每8次为一个循环，
∵ ，
∴第65次旋转结束时，点A的坐标为 ，
故选B
18．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 轴，垂足为点 ，将 绕点 逆时针旋
转到 的位置，使点 的对应点 落在直线 上，再将 绕点 逆时针旋转到 的位置，
使点 的对应点 也落在直线 上，如此下去，……，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转
过程中线段长度的关系是解题的关键．
通过求出点 的坐标， 、 、 的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求
解即可．
【详解】 轴，点 的坐标为 ，
，则点 的纵坐标为3，代入 ，
得： ，则点 的坐标为 ．
， ，
，
由旋转可知， ， ， ，
， ，
，
．
设点 的坐标为 ，
则 ，
解得 或 （舍去），则 ，
点 的坐标为 ．
故选C．
题型七：旋转（几何变换）综合题
19．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在四边形 中， ，连接AC，将 绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重合，得到 ，若 ，
(1)求证： 是等边三角形；
(2)求线段 的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)线段AC的长度是
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转的性质证明
．
（1）由旋转的性质得 ， ， ，根据等边三角形的判定定理即可求证．
（2）由等边三角形的性质可证 ，利用勾股定理求出 即可．
【详解】（1） 是由 旋转得到的，
，
， ， ，
是等边三角形
（2） 是等边三角形，
，
，
，
在 中， ，20．（20-21八年级上·山西晋城·期末）综合与探究
在 中， ， 的角度记为 ．
(1)操作与证明；如图①，点 为边 上一动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转角度 至 位置，连接 ，
．求证： ；
(2)探究与发现：如图②，若 ，点 变为 延长线上一动点，连接 将线段 绕点 逆时针旋转角度 至
位置，连接 ， ．可以发现：线段 和 的数量关系是___________；
(3)判断与思考；判断（2）中线段 和 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3) ，理解见解析
【分析】（1）由旋转的性质得 ， ，从而证明 ，即可得到结论；
（2）同第（1）小题的方法，证明 ，即可得到结论；
（3）由（2）可得 ，从而得 ，进而即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵线段 绕点 逆时针旋转角度 至 位置， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
由旋转可知： ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（3） ，理由如下：
∵ ， ，∴ ，
由（2）可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．掌握三角形全等的证明是解题的
关键．
21．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形 中， ， ， ， ，
， 绕B点旋转，它的两边分别交 ， （或它们的延长线）于E，F．当 绕B点旋转
到 时，如图1，易证 ．（不用证明）
(1)当 绕B点旋转到 时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；
(2)当 绕B点旋转到 时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段 ， ， 又有怎样的
数量关系？请给予证明．
【答案】(1)图2成立， ，证明见解析
(2)图3不成立， 、 、 的关系是 ，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证 是关键．
（1）将 顺时针旋转 ，可得 ，证 ，即可求解；（2）将 顺时针旋转 ，可得 ，证 ，即可求解．
【详解】（1）解：将 顺时针旋转 ，如图，
∵ ， ，
∴A与点C重合，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：不成立，新结论为 ，
将 顺时针旋转 ，如图，∵ ， ，
∴A与点C重合， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【高分演练】
22．（24-25九年级上·全国）下面四个图案（忽略旁边一圈的文字）：是旋转对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查旋转对称图形的定义，根据：“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，
这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，”进行判断即可．
【详解】解：前三个图形是旋转对称图形；第四个图形不是旋转对称图形．
故选：C．
23．（2024·四川攀枝花·模拟预测）如图，一块含 角的直角三角板 绕点 顺时针旋转到 的位置，
使得 、 、 三点在同一条直线上，则三角板 旋转的角度是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角板中的角度计算、旋转的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角板可知，
， ，由旋转的性质可知， ，进而得到 ，即可求出三角板 旋转
的角度．
【详解】解：由三角板可知， ， ，
由旋转的性质可知， ，
，
即三角板 旋转的角度是 ，
故选：D．
24．（2024·辽宁本溪·二模）如图，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，则点 的对应点 的坐
标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查坐标与图形变化 旋转．分别过点 和点 作 轴和 轴的垂线，构造出直角三角形即可解决问
题．
【详解】解：连接 ， ，分别过点 和点 作 轴和 轴的垂线，垂足分别为 和 ，由旋转可知，
， ，
，
．
在 和 中，
，
，
， ，
又 点 的坐标为 ，
， ，
点 的坐标为 ．
故选：D．
25．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到
．当 落在 上时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得 ，
由三角形内角和定理可得出 ，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：由旋转的性质可得出 ，
，
∵ ，
∴，
∴ ，
∴故选：B．
26．（2024·海南海口·模拟预测）如图，在 中， ，将 绕点C逆时针旋转得到 ，连
接 ．当A，D，E三点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A． B． 是等边三角形
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．根据旋转的性质得： ，
，从而得到 是等边三角形，进而得到 ，即可求解．
【详解】解：由旋转的性质得： ， ，故A选项正确，不符合题意；
∴ ，
∴ 是等边三角形，故B选项正确，不符合题意；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故D选项正确，不符合题意；
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
根据条件无法判断 与 的大小，
∴ 不一定等于 ，故C选项错误，符合题意；
故选：C
27．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点C的坐标为 ．以
为边作矩形 ，若将矩形 绕点O顺时针旋转 ，得到矩形 ，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到 ，再由矩形
的性质可得 ，由旋转的性质可得 ， ，据此可得
答案．
【详解】解：∵点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵将矩形 绕点O顺时针旋转 ，得到矩形 ，
∴ ， ，
∴ 轴，
∴点 的坐标为 ，
故选：C．
28．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到
，若点 恰好落在线段 上， ， 交于点 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的旋转．由 绕点 逆时针旋转得到 ，得 ，得
，即可得 ．
【详解】解：∵ 绕点 逆时针旋转得到 ，，
，
．
故选：D．
29．（2024·河北邯郸·三模）如图，将 绕点B顺时针旋转得到 ，使点D落在 边上．设 ，
，则正确的是（ ）．
A． B． C． D．无法比较 与 的大小
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
先由旋转的性质得 ，再由三角形外角性质即可求解．
【详解】解：由旋转可得： ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
故选：A．
30．（2024·河南·三模）如图，菱形 的顶点 ， ， ，若菱形 绕点 顺时针旋转
后得到菱形 ，依此方式，绕点 连续旋转 次得到菱形 ，那么点 的坐标是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质，含 直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，根据题意得到
旋转的规律是解题的关键．
根据题意得到点 与点 重合，在菱形中算出 点坐标，即可解答．
【详解】
解：作 于 ，则 ，
四边形 是菱形， ，
点 的坐标为 ，
若菱形绕点 顺时针旋转 后得到菱形 ，依此方式，绕点 连续旋转 次得到菱形 ，
则菱形 绕点 连续旋转 次，旋转 次为一周，旋转 次为 （周），
绕点 连续旋转 次得到菱形 与菱形 重合，
点 与 重合，
点 的坐标为 ，
故选：D．
二、填空题31．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图 的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，
得到三角形②，则图中 四个点中是其旋转中心的点是 ．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．根据旋转的性质，找出两组
对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B为旋转中心．
故答案为：B．
32．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，将 绕点A按逆时针方向旋转 ，得到 ，若点 在
线段 的延长线上，则 的大小是 度．
【答案】80
【分析】本题主要考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质得到 为等
腰三角形是解题的关键．
由旋转的性质可知 ， ，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得
，从而可求得 ．【详解】解：由旋转的性质可知： ， ， ，
， ，
，
，
，
故答案为：80．
33．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ，将 绕点 逆
时针旋转得到 ，使得点 落在 上，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据旋转的知识得出 ， 的长，再根据勾股定理求解．本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理的应
用是解题的关键．
【详解】解：由旋转得： ， ， ，
， ，
，
，
故答案为： ．
34．（2024·浙江温州·三模）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转后得到 ，此时
点 恰好落在 边上．若 ，则 ．
【答案】 /41度【分析】本题考查旋转，三角形的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，则 ， ，再根据三角形
的内角和，等边对等角，即可．
【详解】∵ 旋转得到 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
35．（2024·云南楚雄·三模）如图，点 是正方形 内部一点，连接 ，将 绕点 旋转一定角度
得到 ，当 三点共线时， 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质以及旋转性质，根据正方形的性质得 ，结合旋转性质得出 ，
，则 为等腰直角三角形，因为点 共线，即可列式进行计算作答．
【详解】解：∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ 由 旋转得到，
∴ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵点 共线，
∴ ，
．
故答案为：三、解答题
36．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，在 中，点E在 边上， ，将线段 绕A点旋转到
的位置，使得 ，连接 ， 与 交于点G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，熟练掌握
三角形全等判定和性质是解题的关键．
（1）利用边角边原理证明即可 ．
（2）利用三角形全等的性质计算即可 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵线段 绕A点旋转到 的位置，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴∵ ，
∴ ．
∴ ．
37．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习） 中， ， ，将 绕点A逆时针旋转 后
至 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，线段 与 ， 分别交于 、 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和，等腰直角三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，勾股定理，
熟练掌握特殊角度的直角三角形的三边关系是解题的关键．
（1）利用旋转的性质和三角形内角和直接求解即可；
（2）过点 作 于点 ，作 于点 ，利用等腰直角三角形的性质，含 角的直角三角形的性
质得出 ， ， ，结合 ，求出 ，得 ，再利用
和 分别是等腰直角三角形和含 角的直角三角形，利用特殊三边关系即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
由旋转知： ，
∴ ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，作 于点 ，由旋转知 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
38．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ．(1)将 先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到 ，画出 ，写出点 的坐标为
___________；
(2)画出 绕点 逆时针旋转 后的图形 ，写出点 的坐标为___________．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
【分析】本题考查作图 旋转变换，作图 平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质找到对应的 ， ， ，连线即可得出答案；
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1所示，△ 即为所求．
由图可得，点 ，故答案为： ；
（2）解：如图2所示， 即为所求．
由图可得，点 ，
故答案为： ．
39．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在 中， ， ，将 绕点 按逆时针方
向旋转 得到 ，连接 ， 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质，得出 ， ， ，再根据 ，得出
，再根据全等三角形的性质，即可得出答案；
（2）根据（1），得出 是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理，求出度数即可．
【详解】（1）证明： 将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，
， ， ，，
，
，
；
（2）解：由（1）知， ， ，
是等腰三角形，
∴ ，
，
即 的度数为 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，
解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
40．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，正方形 ， ．将正方形 绕点 逆时针旋转角度
（ ），得到正方形 ， 交 于点 ，延长 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)顺次连接 ， ， ， ，得到四边形 ．在旋转过程中，四边形 能否为矩形？若能，求出 的
值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)能， ．
【分析】（1）根据正方形的性质及选转的不变性证明 和 即可；
（2）由旋转得： ，故当 互相平分时，四边形 为矩形，设 ，则 ，
， ，在 中，由勾股定理得： ，解方程即可．
【详解】（1）证明：连接∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由旋转得： ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：能，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
由旋转得： ，
故当 互相平分时，四边形 为矩形，
∵ 互相平分，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，∴四边形 为矩形，
设 ，则 ， ，
由（1）知 ，
∴在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，即 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，熟练掌握知识点，正确
添加辅助线是解题的关键．
