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专题 21.1 一元二次方程的定义及解【八大题型】
【人教版】
【题型1 一元二次方程的识别】..............................................................................................................................9
【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】.......................................................................................11
【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】...................................................................................................12
【题型4 一元二次方程的一般形式】....................................................................................................................13
【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】.......................................................................................................14
【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】...................................................................................................15
【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】...................................................................................17
【题型8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】...........................................................................................18
【知识点1 一元二次方程的定义】
只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程.
【题型1 一元二次方程的识别】
【例1】（2021秋•恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
1
①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x- =0．
x
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方
程叫一元二次方程．
【解答】解：①3x2+7＝0一定是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程；
③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1整理得，3x﹣9＝0，是一元一次方程；
1
④3x- =0是分式方程．
x
故选：A．
【变式1-1】（2021秋•蓬溪县期末）下列方程中，一元二次方程有（ ）1 x
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2- =4；④x2＝1；⑤x2- +3=0
x 3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确；
②方程含有两个未知数，错误；
③不是整式方程，错误；
④符合一元二次方程定义，正确；
⑤符合一元二次方程定义，正确．
故选：B．
【变式1-2】（2021秋•荥阳市校级月考）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的有（ ）
①x2＝0； ②ax2+bx+c＝0； ③a2+a﹣x＝0； ④（x+1）2＝2x2﹣9； ⑤x2﹣y2＝3．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：①x2＝0是一元二次方程，符合题意；
②ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程，不符合题意；
③a2+a﹣x＝0是二元二次方程，不符合题意；
④（x+1）2＝2x2﹣9是一元二次方程，符合题意；
⑤x2﹣y2＝3是二元二次方程，不符合题意意．
故选：A．
【变式1-3】（2021秋•义马市期中）下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2﹣1）2＝1；④3y2﹣2y
1 1
＝﹣1；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数）；⑦ + -2＝0；⑧（x+1）（x﹣
x2 x
1）＝x2﹣1．其中属于一元二次方程的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：①y2+2x＝0含有两个未知数，不是一元二次方程；
②x2＝0是一元二次方程；
③（x2﹣1）2＝1，未知数的最高次数是4次，不是一元二次方程；
④3y2﹣2y＝﹣1是一元二次方程；
⑤2x2﹣5xy+3y2＝0含有两个未知数，不是一元二次方程；
⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数），当a＝0时，不是一元二次方程；
1 1
⑦
+ -2＝0是分式方程；
x2 x
⑧（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，整理后不含未知数，不是一元二次方程．
所以属于一元二次方程的有②④，共2个．
故选：A．
【题型2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】
【例2】（2021秋•龙岗区校级期末）关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范
围是（ ）
A．a≠±1 B．a≠0
C．a 为任何实数 D．不存在
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，
可得a2+1不可能为0，
∴a 为任何实数．
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•河口县期末）已知（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m≠0，n＝2 B．m≠2，n＝2 C．m≠0，n＝3 D．m≠2，n≠0
【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m，n的方程，求出m，n的值即可．
【解答】解：∵（m﹣2）xn﹣3nx+2＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，n＝2，
解得m≠2，n＝2．
故选：B．
【变式2-2】（2021秋•龙江县期末）若方程ax2+2x﹣1＝2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是
．
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义得出a﹣2≠0，求出即可．【解答】解：ax2+2x﹣1＝2x2，
（a﹣2）x2+2x﹣1＝0，
∵关于x的方程ax2+2x﹣1＝2x2是一元二次方程，
∴a﹣2≠0，
即a≠2，
故答案为：a≠2．
【变式2-3】（2022•湘桥区一模）若方程（m﹣1）x2+❑√m•x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范
围是 ．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m的不等式，进而得出答案．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x2+❑√m•x＝1是关于x的一元二次方程，
∴m≥0且m﹣1≠0，
∴m≥0且m≠1，
故答案为：m≥0且m≠1．
【题型3 由一元二次方程的定义求字母的值】
【例3】（2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m
的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
{|m|-1=2
【解答】解：由题意可知： ，
m+3≠0
解得：m＝3，
故选：A．
【变式3-1】（2021秋•望城区期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值
(m-2)xm2-2+4x-7=0
为（ ）
A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
(m-2)xm2-2+4x-7=0
∴{m-2≠0，
m2-2=2解得：m＝﹣2．
故选：C．
【变式3-2】（2021秋•太平区期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值
是（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
【分析】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
【变式3-3】（2022•张家港市一模）已知x＝1是关于x的一元二次方程 的解，则
(m+2)xm2-2-3x-2a=0
m﹣1+a的值为 ．
【分析】根据一元二次方程的定义可得 m的值，再将x＝1代入原方程即可得出a的值，然后代入所求
式子计算即可．
【解答】解：由题意得：
{m+2≠0，
m2-2=2
解得m＝2，
故关于x的一元二次方程为4x2﹣3x﹣2a＝0，
因为x＝1是关于x的一元二次方程 的解，
(m+2)xm2-2-3x-2a=0
所以4﹣3﹣2a＝0，
1
解得a= ，
2
1 1 1
所以m﹣1+a=2-1+ = + =1．
2 2 2
故答案为：1．
【知识点2 一元二次方程的一般形式】
一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，
a≠0）．这
种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项．
【题型4 一元二次方程的一般形式】
【例4】（2021秋•双峰县期末）将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和
常数项分别为（ ）
A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1
【分析】根据一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）判断即可．
【解答】解：将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，
∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，﹣1，
故选：B．
【变式4-1】（2021秋•黔西南州期末）若（1﹣m） 3mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则该方程
xm2+1+
的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．±1 C．﹣3 D．±3
【分析】先根据一元二次方程的定义求m，再求系数．
【解答】解：由题意得：{1-m≠0
m2+1=2
解得：m＝﹣1．
∴该方程的一次项系数为：3m＝﹣3．
故选：C．
【变式4-2】（2021春•花山区校级月考）一元二次方程2x2﹣（a+1）x＝x（x﹣1）﹣1化成一般形式后，
二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】方程整理为一般系数，根据二次项系数为1，一次项系数为﹣1，即可确定出a的值．
【解答】解：方程整理得：x2﹣ax+1＝0，
∵结果一次项系数为﹣1，
∴﹣a＝﹣1，即a＝1．
故选：B．
【变式4-3】（2021秋•宝山区校级月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，
且不含x的一次项，则m ，n＝ ．
【分析】先将已知方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据一元二次方程的定义得到：二次项系
数不为0；结合不含x的一次项知，一次项系数为0．【解答】解：由m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0知，（m2﹣4）x2+（n﹣7）x+4＝0．
根据题意知，m2﹣4≠0，n﹣7＝0，
解得m≠±2，n＝7．
故答案是：≠±2，7．
【知识点3 一元二次方程的解】
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方
程的根．
【题型5 由一元二次方程的解求字母的值】
【例5】（2022春•温州期中）若关于x的方程x2+2ax+4a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（ ）
A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3
【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解关于a的一次方程即可．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，
解得a＝4.5．
故选：B．
【变式5-1】（2021秋•五常市期末）若方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为x＝0，则k的值是（
）
3
A．7 B． C．4 D．﹣7
16
【分析】把x＝0代入方程中，就可以求出k的值．
【解答】解：∵方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为0，
∴把x＝0代入此方程，有：
﹣k﹣7＝0，
∴k＝﹣7．
故选：D．
【变式5-2】（2021秋•海淀区校级期末）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k
为（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0得方程k2﹣1＝0，解关于k的方程，然后利用一元二
次方程的定义确定k的值．
【解答】解：把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0得方程k2﹣1＝0，
解得k ＝1，k ＝﹣1，
1 2而k﹣1≠0，
所以k＝﹣1．
故选：C．
【变式5-3】（2021秋•封丘县期末）关于x的一元二次方程x2+（k﹣2）x+k2﹣1＝0的一个根是0，则k的
值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【分析】把x＝0代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把x＝0代入方程得：k2﹣1＝0，
解得：k＝1或k＝﹣1，
故选：C．
【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】
【例6】（2021秋•开州区期末）已知a是方程2x2﹣x﹣3＝0的一个解，则6a2﹣3a的值为 9 ．
【分析】把x＝a代入方程求得a2﹣a的值，然后根据6a2﹣3a＝3（2a2﹣a）即可求解．
【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2﹣a﹣3＝0，
则2a2﹣a＝3，
则6a2﹣3a＝3（2a2﹣a）＝9．
故答案是：9．
【变式6-1】（2021秋•莲池区期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022
﹣2a+2b的值为 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）得a﹣b＝1，再把2022﹣2a+2b变形为2022﹣2（a﹣
b），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）得a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
∴2022﹣2a+2b
＝2022﹣2（a﹣b）
＝2022﹣2×1
＝2022﹣2
＝2020．
故答案为：2020．
4
【变式6-2】（2021秋•盱眙县期末）若a是方程3x2﹣4x﹣3＝0的一个根，则代数式a2- a+6的值为
3．
4
【分析】根据方程解的定义得到3a2﹣4a﹣3＝0，变形得到a2- a＝1，然后利用整体代入的方法计算．
3
【解答】解：根据题意得3a2﹣4a﹣6＝0，
4
∴a2- a＝1，
3
4
∴a2- a+6＝1+6＝7．
3
故答案为：7．
【变式6-3】（2022•桂林模拟）已知m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则8m﹣2m2+2的值是（
）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2﹣4m＝﹣2，再把8m﹣2m2+2变形为﹣2（m2﹣4m）+2，
然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，
∴m2﹣4m+2＝0，
∴m2﹣4m＝﹣2，
∴8m﹣2m2+2＝﹣2（m2﹣4m）+2＝﹣2×（﹣2）+2＝6．
故选：B．
【题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】
【例7】（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即可．
【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2+3m＝2022，
∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022
＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022
＝2022m﹣2022﹣2022m+2022
＝0．
故选：B．
【变式7-1】（2022春•庐阳区校级期中）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2021的值为（）
A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到a2＝a+1，再用a表示a3得到a3＝2a+1，然后利用整体代入
的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2＝a+1，
∴a3＝a（a+1）＝a2+a＝a+1+a＝2a+1，
∴﹣a3+2a+2021＝﹣（2a+1）+2a+2021＝﹣2a﹣1+2a+2021＝2020．
故选：A．
【变式7-2】（2021秋•泉州期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（
）
A．62 B．63 C．64 D．65
【分析】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的一个根，
∴a2+a﹣8＝0
∴a2+a＝8，
∴a4+a3+8a﹣1＝a2（a2+a）+8a﹣1＝8a2+8a﹣1＝64﹣1＝63，
故选：B．
【变式7-3】（2021秋•石鼓区期末）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为 ．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用
这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：把x＝a代入方程可得，
a2﹣a﹣1＝0，即a2＝a+1，
∴a4﹣3a﹣2＝（a2）2﹣3a﹣2
＝（a+1）2﹣3a﹣2
＝a2﹣a﹣1＝0．
【题型8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】
1
【例8】（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程 x2+3=2x2+b的根为±3，那么关于y的一
20221
元二次方程 （y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝ ．
2022
1
【分析】根据关于x的一元二次方程 x2+3=2x2+b的两个根为±3，可得y2+1＝x2＝9，于是得到
2022
结论．
1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程 x2+3=2x2+b的两个根为±3，
2022
1
∴关于y的一元二次方程 （y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2＝9，
2022
解得y＝﹣2❑√2和2❑√2．
故答案为：﹣2❑√2和2❑√2．
【变式8-1】（2022•启东市二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二
a
次方程 （x+2）2+bx+2b＝1必有一根为（ ）
2
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
a
【分析】一元二次方程 （x+2）2+bx+2b＝1变形为a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，由于关于x的一元二
2
次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝
a
0的一个根是x＝2022，于是可判断一元二次方程 （x+2）2+bx+2b＝1必有一根为2020．
2
a
【解答】解：一元二次方程 （x+2）2+bx+2b＝1变形为a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，
2
所以此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，
因为关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，
所以关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一个根是x＝2022，
即x+2＝2022，
解得x＝2020，
a
所以一元二次方程 （x+2）2+bx+2b＝1必有一根为2020．
2
故选：A．
【变式8-2】（2022春•淄川区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2022，则方程
a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021【分析】对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，设t＝x+1得到at2+bt+5＝0，利用at2+bt+5＝0
有一个根为t＝2022得到x+1＝2022，从而可判断一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一根为x
＝2021．
【解答】解：由a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5得到a（x+1）2+b（x+1）+5＝0，
对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，
设t＝x+1，
所以at2+bt+5＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2022，
所以at2+bt+5＝0有一个根为t＝2022，
则x+1＝2022，
解得x＝2021，
所以一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5有一根为x＝2021．
故选：D．
【变式8-3】（2021秋•泉州期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2021，则
方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt﹣3＝0，利用at2+bt﹣
3＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为
x＝2022．
【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b即a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt﹣3＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt﹣3＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根为x＝2022．
故选：D．
