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专题 4.2 一元二次方程中求值问题八大类型
【人教版】
【类型1 根据一元二次方程的定义求值】..............................................................................................................1
【类型2 已知一元二次方程的解直接代入求值】.................................................................................................2
【类型3 已知一元二次方程的解，整体思想求值（直接代入）】.....................................................................3
【类型4 已知一元二次方程的解，整体思想求值（变系数）】.........................................................................5
【类型5 已知一元二次方程的解，整体思想求值（降次）】.............................................................................6
【类型6 由根与系数关系求代数式的值】...........................................................................................................10
【类型7 一元二次方程的解与根与系数关系综合求值】...................................................................................12
【类型8 由根与系数关系构造方程求值】...........................................................................................................15
【类型1 根据一元二次方程的定义求值】
1．（2023秋•辉县市校级月考）当m 时，方程（m2﹣m﹣2）x2﹣mx+3＝0为关于x的一元二次方
程．
【分析】根据一元二次方程的定义可得：m2﹣m﹣2≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：m2﹣m﹣2≠0，
（m﹣2）（m+1）≠0，
解得m≠﹣1且m≠2．
故答案为：≠﹣1且m≠2．
2．（2023秋•信阳期末）方程(a−2)xa2−2+3x=0是关于x的一元二次方程，则a的值为
．
【分析】根据一元二次方程的定义（一个未知数且未知数的最高次数是2的方程）解决此题．
【解答】解：由题意得，a﹣2≠0且a2﹣2＝2．
∴a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
3．（2024春•启东市校级月考）若方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
【分析】根据一元二次方程的定义及绝对值的性质进行列式、求解．
【解答】解：由题意得|m﹣1|＝2，
∴m﹣1＝±2，解得m＝3或m＝﹣1，
∵m+1≠0，即m≠﹣1，
∴m＝3，
故答案为：3．
4．（2023秋•河池期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．
【分析】常数项为0，即m2﹣3m+2＝0，再根据方程是一元二次方程，须满足m﹣1≠0，问题可求．
【解答】解：由题意，得：m2﹣3m+2＝0①，m﹣1≠0②，
解①得：m＝2或1；解②得：m≠1，∴m＝2．
5．（2023秋•船营区校级月考）关于x的方程(m+1)xm2+1+(m−3)x−1=0．
（1）m取何值时，它是一元二次方程？
（2）m取何值时，它是一元一次方程？
【分析】（1）根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程，可得
答案；
（2）根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次是一次的方程是一元一次方程，可得答案．
【解答】解：（1）(m+1)xm2+1+(m−3)x−1=0是一元二次方程，
m+1≠0，m2+1＝2，
m＝1，
当m＝1时，方程(m+1)xm2+1+(m−3)x−1=0是一元二次方程；
（2）(m+1)xm2+1+(m−3)x−1=0是一元一次方程，
①m+1≠0，m2+1＝1，
m＝0；
②m+1＝0，解得m＝﹣1；
③m2+1＝0且m﹣3≠0，
方程无解．
故当m＝0或m＝﹣1时，方程(m+1)xm2+1+(m−3)x−1=0是一元一次方程．
【类型2 已知一元二次方程的解直接代入求值】
1．（2024春•历下区期末）若一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（）
A．0 B．﹣1 C．1 D．不能确定
【分析】把x＝1代入方程计算求出a+b+c的值．
【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+c＝0，
故选：A．
2．（2024春•海阳市期末）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（
）
A．1 B．0 C．﹣1 D．±1
【分析】先把x＝0代入一元二次方程得到|a|﹣1＝0，解方程得到a＝1或a＝﹣1，然后根据一元二次方
程的定义确定a的值．
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0得|a|﹣1＝0，
解得a＝1或a＝﹣1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故选：C．
3．（2023秋•成武县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是
．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得关于m的方程，然后解
关于m的方程后利用一元二次方程的定义确定m的值．
【解答】解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m ＝1，m ＝﹣1，
1 2
而m﹣1≠0，
所以m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
4．（2024•任城区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为
．
【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值即可．
【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0，得
a﹣1+a2﹣a＝0，
解得：a ＝1，a ＝﹣1，
1 2
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．
【类型3 已知一元二次方程的解，整体思想求值（直接代入）】
1．（2024•九龙坡区二模）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则a2﹣2a+2024的值为 ．
【分析】根据a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，可以得到a2﹣2a＝1，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴a2﹣2a+2024＝1+2024＝2025，
故答案为：2025．
2．（2024•宿迁三模）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2023＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n+1的
值是 ．
【分析】先把x＝1代入一元二次方程得到m+n＝2023，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝1代入一元二次方程mx2+nx﹣2023＝0得m+n﹣2023＝0，
所以m+n＝2023，
所以m+n+1＝2023+1＝2024．
故答案为：2024．
3．（2024春•太湖县期末）若 m是关于x的方程x2﹣2024x﹣1＝0的根，则（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣
2024m+4）的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣16 D．16
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2024m﹣1＝0，变形得出m2﹣2024m＝1，然后整体代
入的方法计算即可．
【解答】解：根据题意可得：m2﹣2024m﹣1＝0，
∴m2﹣2024m＝1，
∴（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣2024m+4）
＝（1﹣4）（1+4）
＝﹣3×5
＝﹣15．
故选：A．
m+1 m2−1
4．（2024 春•泰兴市期末）若 m 是方程 x2﹣3x﹣2＝0 的一个根，则 ⋅(m−3)÷ 的值为
2 m2−m（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【分析】根据一元二次方程的解的定义求得 m2﹣3m＝2；然后把 m2﹣3m＝2 代入化简后的
m+1 m2−1
⋅(m−3)÷ 进行计算即可．
2 m2−m
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣2＝0．
∴m2﹣3m＝2．
∴m（m﹣3）＝2．
m+1 m2−1
∴ ⋅(m−3)÷
2 m2−m
m+1 m(m−1)
= •（m﹣3）•
2 (m+1)(m−1)
m(m−3)
=
2
2
=
2
＝1．
故选：B．
【类型4 已知一元二次方程的解，整体思想求值（变系数）】
1．（2024春•滨江区校级期末）若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为
．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2﹣3a＝6，则﹣3a2+9a﹣5＝﹣3（a2﹣3a）﹣5，然后利用
整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，
∴a2﹣3a﹣6＝0，
∴a2﹣3a＝6，
∴﹣3a2+9a﹣5＝﹣3（a2﹣3a）﹣5＝﹣3×6﹣5＝﹣23．
故答案为：﹣23．
2．（2024春•柯城区校级期中）若m是方程4x2﹣2x﹣7＝0的一个根，则代数式m﹣2m2+3的值是 ．7
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到4m2﹣2m﹣7＝0，则2m2﹣m= ，再把m﹣2m2+3变形为﹣
2
（2m2﹣m）+3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程4x2﹣2x﹣7＝0的一个根，
∴4m2﹣2m﹣7＝0，
7
∴2m2﹣m= ，
2
7 1
∴m﹣2m2+3＝﹣（2m2﹣m）+3=− +3=− ．
2 2
1
故答案为：− ．
2
3．（2024春•大观区校级期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（
）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【分析】把x＝a代入3x2﹣x﹣1＝0，得3a2﹣a＝1，然后把所求式子化为2024﹣2（3a2﹣a）代入计算
即可作答．
【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴3a2﹣a＝1，
∴2022﹣6a2+2a＝2024﹣2（3a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022，
故选：D．
4．（2023秋•北京期末）若x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣4＝0的解，则多项式2024﹣4a﹣2b的值是（
）
A．1010 B．1014 C．2020 D．2028
【分析】先把x＝2代入一元二次方程可得4a+2b＝4，再把2024﹣4a﹣2b变形为2024﹣（4a+2b），然
后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝2代入方程ax2+bx﹣4＝0得4a+2b﹣4＝0，
∴4a+2b＝4，
∴2024﹣4a﹣2b＝2024﹣（4a+2b）＝2024﹣4＝2020．
故选：C．
1
5．（2023 秋•光山县期中）已知 m 是一元二次方程 x2+3x﹣6＝0 的一个根，则− m2−m+3的值是
3
（ ）A．﹣1 B．4 C．1 D．﹣5
【分析】把x＝m代入一元二次方程得到x2+3x﹣6＝0，然后利用代数式变形可得到代数式m2﹣m的
值，最后整体代入即可．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的一个根，
∴m2+3m﹣6＝0，
∴m2+3m＝6，
1 1
∴原式=− （m2+3m）+3 =− ×6+3＝1．
3 3
故选：C．
【类型5 已知一元二次方程的解，整体思想求值（降次）】
1．（2023秋•思明区校级月考）已知m为方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么m3+2m2﹣2026m+2023的值为（
）
A．﹣2023 B．0 C．2023 D．4046
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到 m2＝﹣3m+2023，再用m表示m3得到m2（m+2）﹣2026m
﹣2023，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2023＝0的一个根，
∴m2+3m﹣2023＝0，
∴m2＝﹣3m+2023，m2+3m＝2023，
∴m3＝﹣3m2+2023m，
m3+2m2﹣2026m+2023
＝﹣m2﹣3m+2023
＝﹣（m2+3m）+2023
＝﹣2023+2023
＝0，
故选：B．
2
2．（2024春•淄川区期末）已知k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，则代数式(k2+3k)(k− +2)的值
k
为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
2
【分析】由k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根可得k2+3k与k− 的值，然后整体代入所求式子计算即
k可．
【解答】解：∵k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，
2
∴k2+3k﹣2＝0，显然k≠0，两边同时除以k，得：k+3− =0，
k
2
∴k2+3k＝2，k− =−3，
k
2
∴(k2+3k)(k− +2)=2×(−3+2)=−2，
k
故选：B．
1
3．（2024•顺庆区二模）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，则m2（m﹣3）+2m− +1的值为（
m
）
A．2 B．±❑√6 C．2❑√2 D．±2❑√2
【分析】先根据一元二次解的定义得到m2＝2m+1，然后利用降次的方法化简计算即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
即m2＝2m+1，
1
∴m2（m﹣3）+2m− +1
m
1
＝（2m+1）（m﹣3）+2m− +1
m
1
＝2m2﹣5m− +4
m
1
＝2（2m+1）﹣3m− −2
m
1
＝m−
m
m2−1
=
m
2m+1−1
=
m
＝2．
故选：A．
4．（2024•泉港区三模）若a是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根，则代数式a3+2a2﹣5a的值为 ．【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2＝a+2，再用a表示a3得到a3＝3a+2，然后利用降次的方法
计算．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根，
∴a2﹣a﹣2＝0，
∴a2＝a+2，
∴a3＝a（a+2）＝a2+2a＝a+2+2a＝3a+2，
∴a3+2a2﹣5a＝3a+2+2（a+2）﹣5a＝3a+2+2a+4﹣5a＝6．
故答案为：6．
5．（2024•通州区二模）若m是方程x2+x﹣4＝0的一个实数根，则代数式m3﹣5m+2024的值为 ．
【分析】把x＝m代入方程x2+x﹣4＝0，得出关于m的一元二次方程，再整体代入．
【解答】解：当x＝m时，方程x2+x﹣4＝0为m2+m﹣4＝0，
即m2+m＝4，m2＝4﹣m，
所以，m3﹣5m+2024
＝m（4﹣m）﹣5m+2024
＝4m﹣m2﹣5m+2024
＝﹣（m2+m）+2024
＝﹣4+2024
＝2020，
故答案为：2020．
6．（2024•南岸区自主招生）已知m为方程x2+x﹣3＝0的一个根，则代数式m3+2m2﹣2m+6的值为
．
【分析】先根据方程解的定义，化简关于m的方程，然后整体代入求值．
【解答】解：∵m为方程x2+x﹣3＝0的一个根，
∴m2+m﹣3＝0．
∴m2+m＝3．
∴m3+2m2﹣2m+6
＝m3+m2+m2+m﹣3m+6
＝m（m2+m）+（m2+m）﹣3m+6
＝3m+3﹣3m+6
＝9．
故答案为：9．a2+1
7．（2023秋•漳州期末）已知a是方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，则a3−2023a2+ 的值是 ．
2023
a2+1
【分析】将原方程的根a代入可得a2﹣2023a＝﹣1，a= ，再将所求代数式转化为a（a2﹣2023a）
2023
+a＝﹣a+a即可得到结果．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2023a+1＝0，
a2+1
∴a2﹣2023a＝﹣1，a= ，
2023
a2+1
∴a3−2023a2+ =a（a2﹣2023a）+a＝﹣a+a＝0．
2023
故答案为：0．
2024
8．（2023秋•邻水县期末）已知a是方程x2﹣2024x+1＝0一个根，则a2﹣2023a + 的值为 ．
a2+1
【分析】根据题意可得：把x＝a代入方程x2﹣2024x+1＝0中得：a2﹣2024a+1＝0，从而可得a2+1＝
1 1
2024a，a2＝2024a﹣1，a﹣2024+ =0，进而可得a+ =2024，然后代入式子中进行计算，即可解答．
a a
【解答】解：由题意得：把x＝a代入方程x2﹣2024x+1＝0中得：a2﹣2024a+1＝0，
1
∴a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，a﹣2024+ =0，
a
1
∴a+ =2024，
a
2024 2024 1
∴a2﹣2023a + = 2024a﹣1﹣2023a+ =a﹣1+ =2024﹣1＝2023，
a2+1 2024a a
故答案为：2023．
【类型6 由根与系数关系求代数式的值】
1．（2024•临淄区二模）若m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6
【分析】根据根与系数的关系，可得出mn＝﹣1，m+n＝6，再代入即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，
∴mn＝﹣1，m+n＝6
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×6＝﹣6．
故选：C．2．（2024春•沙坪坝区校级期末）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则
n m
+ 的值为（ ）
m n
5 13 1 17
A． B．− C． D．−
2 2 4 4
3 1
【分析】判断出m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，可得m+n= ，mn=− ，利用整体代入的思想解
2 2
决问题即可．
【解答】解：∵实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，
3 1
∴m+n= ，mn=− ，
2 2
9
+1
n m n2+m2 (m+n) 2−2mn 4 13
∴ + = = = =− ．
m n mn mn 1 2
−
2
故选：B．
3．（2024 春•牟平区期末）已知 m，n 是方程 x2﹣3x﹣4＝0 的两根，则（m2﹣1）（n2﹣1）的值是
（ ）
A．0 B．﹣6 C．﹣7 D．6
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，
∴m+n＝3，mn＝﹣4，
∴（m2﹣1）（n2﹣1）
＝m2n2﹣m2﹣n2+1
＝（mn）2﹣（m+n）2+2mn+1
＝（﹣4）2﹣32+2×（﹣4）+1
＝16﹣9+2×（﹣4）+1
＝16﹣9+（﹣8）+1
＝0．
故选：A．
4．（2024春•海曙区期末）已知x ，x 是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则x3x +x x3的值为（ ）
1 2 1 2 1 221 259 63 133
A． B．− C．− D．−
4 8 8 8
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x +x 和x x ，再利用整体思想即可解决问题．
1 2 1 2
【解答】解：∵x ，x 是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，
1 2
3 7
∴x +x =− ，x x =− ，
1 2 2 1 2 2
7 3 7 259
∴x3x +x x3=x x (x2+x2 )=x x [(x +x ) 2−2x x ]=− ×[(− ) 2−2×(− )]=− ．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 8
故选：B．
1
5．（2024春•霍邱县月考）若一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为 ， ，则√β √α 的
❑ +❑
α β
α β
值为（ ）
1 1
A． B．2024 C．− D．±2024
2024 2024
【分析】判断出 + ＝2024， ＝1，再利用整体代入的思想解决问题．
【解答】解：∵一α元β二次方程α﹣βx2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为 ， ，
∴ + ＝2024， ＝1， α β
α β 1 αβ 1 αβ ❑√αβ 1
= = = =
∴√β √α ❑√αβ ❑√αβ ❑√αβ(β+α) α+β 2024．
❑ +❑ +
α β α β
故选：A．
6．（2024春•鼓楼区校级期末）若m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根，则代数式
（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）的值是 ．
【分析】根据一元二次方程的解得出 m2﹣2022m+2023＝0，n2﹣2022n+2023＝0，继而得到 m2﹣
2021m+2022＝m﹣1，n2﹣2021n+2022＝n﹣1，再根据根与系数的关系得到m+n＝2022，mn＝2023，再
代入化简即可得解．
【解答】解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根，
∴m2﹣2022m+2023＝0，n2﹣2022n+2023＝0，m+n＝2022，mn＝2023，
∴m2﹣2021m+2022＝m﹣1，n2﹣2021n+2022＝n﹣1，
∴（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）＝（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1＝2023﹣2022+1＝
2，
故答案是：2．【类型7 一元二次方程的解与根与系数关系综合求值】
1．（2024•大冶市模拟）若m，n是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则m2+3m+n的值为（ ）
A．2023 B．﹣2022 C．2024 D．2022
【分析】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出 m2+2m﹣2024＝0，m+n＝﹣2，将其
代入原式中即可求出结论．
【解答】解：∵m，n是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，
∴m2+2m﹣2024＝0，m+n＝﹣2，
∴m2+2m＝2024，
∴m2+3m+n
＝m2+2m+m+n
＝2024﹣2
＝2022．
故选：D．
2．（2023秋•曲阳县期末）已知 、 是方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则 2﹣4 ﹣2 ﹣2的值是（
） α β α α β
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
【分析】利用一元二次方程的解，可得出 2﹣2 ＝2022，利用根与系数的关系，可得出 + ＝2，再将
其代入 2﹣4 ﹣2 ﹣2＝（ 2﹣2 ）﹣2（α+ ）α﹣2中，即可求出结论． α β
【解答】α解：α∵ β是方程x2α﹣2x﹣α2022＝0α的β实数根，
∴ 2﹣2 ﹣2022＝α 0，
∴α2﹣2α＝2022．
∵α、 是α 方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，
∴α+ β＝2，
∴α2﹣β4 ﹣2 ﹣2＝（ 2﹣2 ）﹣2（ + ）﹣2＝2022﹣2×2﹣2＝2016．
故α选：Aα． β α α α β
3．（2024春•庐阳区校级期中）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（
）
A．2023 B．2025 C．2026 D．2027
【分析】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，将其代
入原式中即可求出结论．
【解答】解：∵m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，∴m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，
∴m2+4m＝3，
∴m2+5m+n+2024
＝m2+4m+m+n+2024
＝3﹣4+2024
＝2023．
故选：A．
4．（2024春•杭州月考）已知x ，x 是方程x2﹣x﹣11＝0的两个实数根，则代数式x3−11x +x2的值是
1 2 1 1 2
．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及整体思想即可解决问题．
【解答】解：因为x ，x 是方程x2﹣x﹣11＝0的两个实数根，
1 2
所以x2−x −11=0，x +x =1，x x =−11，
1 1 1 2 1 2
则x2=x +11，
1 1
所以x3−11x +x2
1 1 2
=x2 ⋅x −11x +x2
1 1 1 2
=x (x +11)−11x +x2
1 1 1 2
=x2+x2
1 2
=(x +x ) 2−2x x
1 2 1 2
＝12﹣2×（﹣11）
＝1+22
＝23．
故答案为：23．
5．（2024春•鹿城区校级期中）已知一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x ，x ，则8x2−3x −x 的值为
1 2 1 1 2
．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出两个之和，再将 x＝x 代入原方程，利用整体思想即
1可解决问题．
【解答】解：因为一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x ，x ，
1 2
−2 1
所以8x2−2x −15=0，x +x =− = ，
1 1 1 2 8 4
1 59
所以8x2−3x −x =8x2−2x −(x +x )=15− = ．
1 1 2 1 1 1 2 4 4
59
故答案为： ．
4
6．（2024春•昆明校级期末）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣3m+n+2024的值是
．
【分析】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出 m2+m﹣3＝0，m+n＝﹣1，将其代入
原式中即可求出结论．
【解答】解：∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝﹣m+3，
∴﹣m2＝m﹣3．
∴m3＝m2•m＝﹣m2+3m＝m﹣3+3m＝4m﹣3，
∴m3﹣3m+n+2024
＝4m﹣3﹣3m+n+2024
＝m+n+2021
＝﹣1+2021
＝2020．
故答案为：2020．
a3+a2b
7．（2024•成都模拟）若a，b是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则 的值为 ．
3a+2
【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出a2+a﹣2020＝0，a+b＝﹣1，求出a2+a＝2020，
再代入求出即可．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，
∴a+b＝3，a2﹣3a﹣2＝0．
∴a2＝3a+2．
a3+a2b a2 (a+b)
则 = =a+b＝3．
3a+2 a2故答案为：3．
【类型8 由根与系数关系构造方程求值】
1．（2024春•宁阳县期末）设x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且
1 2
（x +1）（x +1）＝13，则m的值为（ ）
1 2
A．2 B．4 C．2或﹣4 D．﹣2或4
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x +x 与x •x 的值，再代入代数式进行计算即可．
1 2 1 2
【解答】解：∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝2（m+1），x •x ＝m2+2，
1 2 1 2
∵（x +1）（x +1）＝13，
1 2
∴x •x +x +x +1＝13，即x •x +（x +x ）﹣12＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴m2+2+2（m+1）﹣12＝0，
∴（m﹣2）（m+4）＝0，
解得m ＝2，m ＝﹣4．
1 2
检验：当m＝2时，原方程可化为x2﹣6x+6＝0，
∵Δ＝36﹣4×1×6＝36﹣24＝12＞0，
∴方程有实数根，符合题意；
当m＝﹣4时，原方程可化为x2+6x+18＝0，
∵Δ＝62﹣4×1×18＝36﹣72＝﹣36＜0，
∴方程无实数根，不符合题意．
故选：A．
2．（2024•金乡县三模）已知关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x 和x ，若6x +x ＝0，则k的值为
1 2 1 2
（ ）
2 1 11
A．﹣2 B．− C．− D．−
3 2 12
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，再由6x +x ＝0可求出x ，进而得出x ，最后用k表示出
1 2 1 2
两根之积即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x 和x ，
1 2
−5 5 k
所以x +x =− = ，x x = ；
1 2 3 3 1 2 3
又因为6x +x ＝0，
1 2
5
所以5x + =0，
1 31
解得x =− ，
1 3
5 1
所以x = −(− )=2，
2 3 3
k 1
所以 =− ×2，
3 3
解得k＝﹣2．
故选：A．
3．（2024春•芝罘区期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣3＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x ，x ，若（x ﹣1）（x ﹣1）+x2x2=15，求k的值．
1 2 1 2 1 2
【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到22﹣4（k﹣3）≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x +x ＝﹣2，x x ＝k﹣3，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
1 2 1 2
【解答】解：（1）解：∵一元二次方程x2+2x+k﹣3＝0有实数根．
∴Δ≥0，即22﹣4（k﹣3）≥0，
解得k≤4；
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣3＝0的两个实数根分别为x ，x ，，
1 2
∴x +x ＝﹣2，x x ＝k﹣3，
1 2 1 2
∵(x −1)(x −1)+x2x2=15，
1 2 1 2
∴x x −(x +x )+1+x2x2=15，
1 2 1 2 1 2
∴k﹣3+2+1+（k﹣3）2＝15，
解得k＝6或k＝﹣1，
∵k≤4，
∴k＝﹣1
4．（2024春•沂源县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0
（1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根为x ，x ，且（x ﹣x ）2﹣10m＝2，求m的值．
1 2 1 2
【分析】（1）根据判别式即可求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0，∴﹣4m+5≥0，
5
∴m≤ ；
4
（2）由题意可知：x +x ＝1﹣2m，x x ＝m2﹣1，
1 2 1 2
∵（x ﹣x ）2﹣10m＝2，
1 2
∴（x +x ）2﹣4x x ﹣10m＝2，
1 2 1 2
∴（1﹣2m）2﹣4（m2﹣1）﹣10m＝2，
3
解得：m= ；
14
5．（2024春•双流区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
x x
（2）若 2+ 1=x2+2x −1，求k的值．
x x 1 2
1 2
【分析】（1）由关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根，得到判别式非负，解不等式即可得到答
案；
x x
（2）根据根与系数关系得到x +x ＝2，x x ＝k﹣1，代入 2+ 1=x2+2x −1，解方程得k＝2或5，再
1 2 1 2 x x 1 2
1 2
由（1）中k≤2即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得a＝1，b＝﹣2，c＝k﹣1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＝8﹣4k≥0，
解得k≤2；
（2）由根与系数的关系得x +x ＝2，x x ＝k﹣1，x 2−2x +k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x 2=2x ﹣k+1，
1 1
x x
∵ 2+ 1=x2+2x −1，
x x 1 2
1 2
(x +x ) 2−2x x
∴ 1 2 1 2=2(x +x )−k，
x x 1 2
1 2
4
∴ =6−k，
k−1解得k＝2或5，
由（1）知k≤2，则k＝2．
6．（2024春•海阳市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根分别为x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）若（x ﹣x ）2＝|x |+|x |，求m的值．
1 2 1 2
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+3）≥0，然后解不等式即可；
（2）先利用根与系数的关系得x +x ＝2（m+1），x x ＝m2+3，再利用m＞1得到x +x ＞0，x x ＞0，
1 2 1 2 1 2 1 2
从而得到x ＞0，x ＞0，则去绝对值和利用完全平方公式变形得到（x +x ）2﹣4x x ＝x +x ，所以4
1 2 1 2 1 2 1 2
（m+1）2﹣4（m2+3）＝2（m+1），然后解关于m的方程得到满足条件的m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+3）≥0，
解得m≥1，
即m的取值范围为m≥1；
（2）根据根与系数的关系得x +x ＝2（m+1），x x ＝m2+3，
1 2 1 2
∵m≥1，
∴x +x ＝2（m+1）＞0，x x ＝m2+3＞0，
1 2 1 2
∴x ＞0，x ＞0，
1 2
∵（x ﹣x ）2＝|x |+|x |，
1 2 1 2
∴（x ﹣x ）2＝x +x ，
1 2 1 2
∴（x +x ）2﹣4x x ＝x +x ，
1 2 1 2 1 2
即4（m+1）2﹣4（m2+3）＝2（m+1），
5
解得m= ，
3
∵m≥1，
∴m的值为．
