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专题 4.2 一元二次方程中求值问题八大类型
【人教版】
【类型1 根据一元二次方程的定义求值】..............................................................................................................1
【类型2 已知一元二次方程的解直接代入求值】.................................................................................................1
【类型3 已知一元二次方程的解，整体思想求值（直接代入）】.....................................................................2
【类型4 已知一元二次方程的解，整体思想求值（变系数）】.........................................................................2
【类型5 已知一元二次方程的解，整体思想求值（降次）】.............................................................................2
【类型6 由根与系数关系求代数式的值】..............................................................................................................3
【类型7 一元二次方程的解与根与系数关系综合求值】.....................................................................................4
【类型8 由根与系数关系构造方程求值】..............................................................................................................4
【类型1 根据一元二次方程的定义求值】
1．（2023秋•辉县市校级月考）当m 时，方程（m2﹣m﹣2）x2﹣mx+3＝0为关于x的一元二次方
程．
2．（2023秋•信阳期末）方程 是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
(a−2)xa2−2+3x=0
3．（2024春•启东市校级月考）若方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
4．（2023秋•河池期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．
5．（2023秋•船营区校级月考）关于x的方程 ．
(m+1)xm2+1+(m−3)x−1=0
（1）m取何值时，它是一元二次方程？
（2）m取何值时，它是一元一次方程？
【类型2 已知一元二次方程的解直接代入求值】
1．（2024春•历下区期末）若一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（）
A．0 B．﹣1 C．1 D．不能确定
2．（2024春•海阳市期末）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（
）
A．1 B．0 C．﹣1 D．±1
3．（2023秋•成武县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是
．
4．（2024•任城区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为
．
【类型3 已知一元二次方程的解，整体思想求值（直接代入）】
1．（2024•九龙坡区二模）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则a2﹣2a+2024的值为 ．
2．（2024•宿迁三模）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2023＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n+1的
值是 ．
3．（2024春•太湖县期末）若 m是关于x的方程x2﹣2024x﹣1＝0的根，则（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣
2024m+4）的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣16 D．16
4．（2024 春•泰兴市期末）若 m 是方程 x2﹣3x﹣2＝0 的一个根，则m+1 m2−1的值为
⋅(m−3)÷
2 m2−m
（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【类型4 已知一元二次方程的解，整体思想求值（变系数）】
1．（2024春•滨江区校级期末）若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为
．
2．（2024春•柯城区校级期中）若m是方程4x2﹣2x﹣7＝0的一个根，则代数式m﹣2m2+3的值是 ．
3．（2024春•大观区校级期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（
）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
4．（2023秋•北京期末）若x＝2是关于x的方程ax2+bx﹣4＝0的解，则多项式2024﹣4a﹣2b的值是（）
A．1010 B．1014 C．2020 D．2028
1
5．（2023 秋•光山县期中）已知 m 是一元二次方程 x2+3x﹣6＝0 的一个根，则− m2−m+3的值是
3
（ ）
A．﹣1 B．4 C．1 D．﹣5
【类型5 已知一元二次方程的解，整体思想求值（降次）】
1．（2023秋•思明区校级月考）已知m为方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么m3+2m2﹣2026m+2023的值为（
）
A．﹣2023 B．0 C．2023 D．4046
2
2．（2024春•淄川区期末）已知k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，则代数式(k2+3k)(k− +2)的值
k
为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
1
3．（2024•顺庆区二模）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个实数根，则m2（m﹣3）+2m− +1的值为（
m
）
A．2 B．±❑√6 C．2❑√2 D．±2❑√2
4．（2024•泉港区三模）若a是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根，则代数式a3+2a2﹣5a的值为 ．
5．（2024•通州区二模）若m是方程x2+x﹣4＝0的一个实数根，则代数式m3﹣5m+2024的值为 ．
6．（2024•南岸区自主招生）已知m为方程x2+x﹣3＝0的一个根，则代数式m3+2m2﹣2m+6的值为
．
a2+1
7．（2023秋•漳州期末）已知a是方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，则a3−2023a2+ 的值是 ．
2023
2024
8．（2023秋•邻水县期末）已知a是方程x2﹣2024x+1＝0一个根，则a2﹣2023a+ 的值为 ．
a2+1
【类型6 由根与系数关系求代数式的值】
1．（2024•临淄区二模）若m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6
2．（2024春•沙坪坝区校级期末）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则n m
+ 的值为（ ）
m n
5 13 1 17
A． B．− C． D．−
2 2 4 4
3．（2024 春•牟平区期末）已知 m，n 是方程 x2﹣3x﹣4＝0 的两根，则（m2﹣1）（n2﹣1）的值是
（ ）
A．0 B．﹣6 C．﹣7 D．6
4．（2024春•海曙区期末）已知x ，x 是方程2x2+3x﹣7＝0的两个根，则 的值为（ ）
1 2 x3x +x x3
1 2 1 2
21 259 63 133
A． B．− C．− D．−
4 8 8 8
1
5．（2024春•霍邱县月考）若一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0的两个实数根分别为 ， ，则√β √α 的
❑ +❑
α β
α β
值为（ ）
1 1
A． B．2024 C．− D．±2024
2024 2024
6．（2024春•鼓楼区校级期末）若m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根，则代数式
（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）的值是 ．
【类型7 一元二次方程的解与根与系数关系综合求值】
1．（2024•大冶市模拟）若m，n是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则m2+3m+n的值为（ ）
A．2023 B．﹣2022 C．2024 D．2022
2．（2023秋•曲阳县期末）已知 、 是方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则 2﹣4 ﹣2 ﹣2的值是（
） α β α α β
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
3．（2024春•庐阳区校级期中）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（
）
A．2023 B．2025 C．2026 D．2027
4．（2024春•杭州月考）已知x ，x 是方程x2﹣x﹣11＝0的两个实数根，则代数式 的值是
1 2 x3−11x +x2
1 1 2
．5．（2024春•鹿城区校级期中）已知一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x ，x ，则 的值为
1 2 8x2−3x −x
1 1 2
．
6．（2024春•昆明校级期末）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣3m+n+2024的值是
．
a3+a2b
7．（2024•成都模拟）若a，b是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则 的值为 ．
3a+2
【类型8 由根与系数关系构造方程求值】
1．（2024春•宁阳县期末）设x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数根，且
1 2
（x +1）（x +1）＝13，则m的值为（ ）
1 2
A．2 B．4 C．2或﹣4 D．﹣2或4
2．（2024•金乡县三模）已知关于x的方程3x2﹣5x+k＝0的两根分别为x 和x ，若6x +x ＝0，则k的值为
1 2 1 2
（ ）
2 1 11
A．﹣2 B．− C．− D．−
3 2 12
3．（2024春•芝罘区期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣3＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x ，x ，若（x ﹣1）（x ﹣1） 15，求k的值．
1 2 1 2 +x2x2=
1 2
4．（2024春•沂源县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0
（1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根为x ，x ，且（x ﹣x ）2﹣10m＝2，求m的值．
1 2 1 2
5．（2024春•双流区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x x ，求k的值．
2+ 1=x2+2x −1
x x 1 2
1 26．（2024春•海阳市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根分别为x ，x ．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）若（x ﹣x ）2＝|x |+|x |，求m的值．
1 2 1 2
