文档内容
专题 05 函数类型的识别与应用模型构建
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................12
题型一：二次函数与幂模型 12
题型二：分段函数模型 19
题型三：对勾函数模型 23
题型四：指数函数模型 29
题型五：对数函数模型 34
重难点突破：函数模型的选择 39本节内容倾向于采纳跨学科视角或植根于社会生活的实际场景来构建命题，诸如聚焦于生产经营的实
际运作、企业盈利与亏损的动态变化等热点议题中的增长与衰减现象。在此类丰富多样的背景下，我们需
具备敏锐的洞察力以发掘、甄选并构建恰当的数学模型——包括但不限于二次函数、指数函数及对数函数
等，进而通过对现实世界中复杂数据的精妙解析与处理，寻求问题的有效解答。这一过程不仅彰显了数学
知识的深度应用价值，也体现了其作为解决实际问题重要工具的不可或缺性。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
掌握二次及分段
二次函数模型，分段 2021年北京卷第8题，4分
函数模型，提升
函数模型 应用能力 2020年上海卷第19题，14分 展望 2025 年高考趋
势，或将融合函数理论与
生活实际，全面评估学生
的数学建模与实战应用能
2023年I卷第10题，5分
掌握指数对数模 力。
指数函数、对数函数
型，强化函数应 2021年甲卷（文）第6题，5分
模型
用能力
2020年山东卷第6题，5分1、几种常见的函数模型：
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数且a≠0)
反比例函数模型 k
f(x)= （ 为常数）
x k
二次函数模型 f(x)=ax2 +bx+c(a，b，
c
为常数且a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax +c(a，b，
c
为常数，b≠0， ，
对数函数模型 f(x)=blog
a
x+c(a，b，c为常数，b≠0， ，
幂函数模型 f(x)=axn +b(a，b为常数，a≠0)
2、解函数应用问题的步骤：
（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数
学模型；
（3）解模：求解数学模型，得出结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
3、解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，
往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，
领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立
解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它．
其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立
函数关系．
其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问
题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可
能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些
非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛
读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精
读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率．1．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压
级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的 声压级
距离
燃油汽车 10
混合动力汽 10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得， ， ，
， ，
， ，
可得 ， 正确；
， 错误；
， 正确；
， ， 正确．
故选： ．2．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中 为建筑物暴露
在空气中的面积（单位：平方米）， 为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为 ，高度为 ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建
筑体的“体形系数” ；（结果用含 、 的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为 ，其中 为建筑物底面面积， 为建筑物底面周长，又定义
为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设 为某宿舍楼的层数，
层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为 ．当 ， 时，试求当
该宿舍楼的层数 为多少时，“体形系数” 最小．
【解析】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：
，
所以 ．
（2）由题意可得 ， ，
所以 ，
令 ，解得 ，
所以 在 ， 单调递减，在 ， 单调递增，
所以 的最小值在 或7取得，
当 时， ，当 时， ，
所以在 时，该建筑体 最小．
3．（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和
小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 和小数记录法的数据 满足 ．已知某同学视力
的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据约为
A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6
【答案】
【解析】在 中， ，所以 ，即 ，
解得 ，
所以其视力的小数记录法的数据约为0．8．
故选： ．
4．（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的
深度，称为这个时段的降雨量（单位： ．24 降雨量的等级划分如下：
等级
降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨
暴雨
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为 ，高为 的圆锥形雨量器．若一次降雨过
程中，该雨量器收集的 的雨水高度是 如图所示），则这 降雨量的等级是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】
【解析】圆锥的体积为 ，
因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，
所以圆锥内积水部分的半径为 ，
将 ， 代入公式可得 ，
图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，
平底上积水的体积为 ，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，
所以 ，
则平地上积水的厚度 ，
因为 ，
由题意可知，这一天的雨水属于中雨．
故选： ．
5．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1．1亿元，往后每个季度增加0．05亿元，第一季度的
利润为0．16亿元，往后每一季度比前一季度增长 ．
（1）求今年起的前20个季度的总营业额；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 ？
【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，
则首项 ，公差 ，，
即营业额前20季度的和为31．5亿元．
（2）解法一：假设今年第一季度往后的第 季度的利润首次超过该季度营业额的 ，
则 ，
令 ， ，
即要解 ，
则当 时， ，
令 ，解得： ，
即当 时， 递减；当 时， 递增，
由于 （1） ，因此 的解只能在 时取得，
经检验， ， ，
所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的 ．
解法二：设今年第一季度往后的第 季度的利润与该季度营业额的比为 ，
则 ，
数列 满足 ，
注意到， ， ，
今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的 ．
6．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车
辆密度是该路段一定
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 ， 为道路密度， 为车辆密度，交通流量 ．
（1）若交通流量 ，求道路密度 的取值范围；
（2）已知道路密度 时，测得交通流量 ，求车辆密度 的最大值．
【解析】（1）按实际情况而言，交通流量 随着道路密度 的增大而减小，
故 是单调递减函数，
所以 ，
当 时， 最大为85，
于是只需令 ，解得 ，
故道路密度 的取值范围为 ．
（2）把 ， 代入 中，
得 ，解得 ．
，
①当 时， ，
．
②当 时， 是关于 的二次函数， ，
对称轴为 ，此时 有最大值，为 ．综上所述，车辆密度 的最大值为 ．
7．（2020•山东）基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模
型： 描述累计感染病例数 随时间 （单位：天）的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足
．有学者基于已有数据估计出 ， ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病
例数增加1倍需要的时间约为
A．1．2天 B．1．8天 C．2．5天 D．3．5天
【答案】
【解析】把 ， 代入 ，可得 ， ，
当 时， ，则 ，
两边取对数得 ，解得 ．
故选： ．
8．（2019•新课标Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航
天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．
为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是
平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 ，月球质量为 ，地月距离为 ， 点到月球的距
离为 ，根据牛顿运动定律和万有引力定律， 满足方程： ．
设 ．由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则 的近似值为
A． B． C． D．【答案】
【解析】 ． ，
满足方程： ．
，
把 代入，得： ，
，
，
．
故选： ．
9．（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，
值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别
为 ， ， ，则 ，当 时， ， ．
【答案】8；11
【解析】 ，当 时，化为： ，
解得 ， ．
故答案为：8；11．题型一：二次函数与幂模型
【典例1-1】红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长 ），其它三
面用某种环保材料围建，但要开一扇 宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料 ，则可围成该
活动区的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设这个活动区垂直于墙的一边长是 ，则平行于墙的一边是 ，
面积 ，
墙长 ，所以 ，
解得 ，
对称轴方程 ，
抛物线开口向下， ，函数在 上递减，
当 时， 最大为 （ ），
故选：C．
【典例1-2】某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 ），每小时可获得利润
元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（ ）
A．2千克/小时 B．3千克/小时
C．4千克/小时 D．6千克/小时
【答案】C【解析】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为
， ，
令 ， ，则 ，故当 时， 最大，此时
.
故选：C
【变式1-1】[新考法]（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（ ）
{ 4 } { 4 } { 4 }
A． x∈ N| ∈ N B． x∈ Z| ∈ N C． x∈ N| ∈ Z D．
x x x
{ 4 }
x∈ Q| ∈ N
x
1、二次函数模型的应用
构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法
求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意
自变量的取值范围．
2、幂函数模型为 （ ， 为常数， ），
在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题．
【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图为某小区七人足球场的平面示意图， 为球门，在某次小
区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线 米的 点处接球，此时 ，假设甲沿着平行边
线的方向向前带球，并准备在点 处射门，为获得最佳的射门角度（即 最大），则射门时甲离上方
端线的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，并根据题意作如下示意图，由图和题意得： ， ，
所以 ，且 ，
所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，即 ，
设 ， ，则 ，
，所以在 中，
有 ，
令 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则要使 最大，即 要取得最小值，即 取得最大值，
即 在 取得最大值，
令 ， ，
所以 的对称轴为： ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，即 最大，此时 ，即 ，
所以 ，所以 ，即为获得最佳的射门角度（即 最大），
则射门时甲离上方端线的距离为： .
故选：B.
【变式1-3】在国家大力推广新能源汽车的背景下，各大车企纷纷加大对新能源汽车的研发投入，某车企
研发部有100名研发人员，原年人均投入40万元，现准备将这100名研发人员分成两部分：燃油车研发部
和新能源车研发部，其中燃油车研发部有x名研究人员，调整后新能源车研发部的年人均投入比原来增加
，而燃油车研发部的年人均投入调整为 万元.
(1)若要使新能源车研发部的年总投入不低于调整前原100名研发人员的年总投入，求调整后新能源车研发
人员最少为多少人？(2)若要使新能源车研发部的年总投入始终不低于燃油车研发部的年总投入，求正整数m的最大值.
【解析】（1）令新能源车研发部的年总投入 ，
则 ，
令 ，则 ，
∵ ，∴ ，
故调整后新能源车研发人员最少为34人
（2）令燃油车研发部的年总投入
则 ，
即 在 恒成立.
令 ，即 在 上恒成立，
，
是开口向上的二次函数，∵
①对称轴 时，即 ，时 在 上恒成立；
②当对称轴 时，即 ， ，解得
综上所述：
∴ 的最大值为：6.
1．（2024·上海崇明·一模）某公园有一块如图所示的区域 ，该场地由线段 、 、 及曲线段围成.经测量， ， 米，曲线 是以 为对称轴的抛物线的一部分，点
到 、 的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场 ，其中点 在曲线段 上，点 、
分别在线段 、 上，且该游乐场最短边长不低于30米.设 米，游乐场的面积为 平方米.
(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段 的方程；
(2)求面积 关于 的函数解析式 ；
(3)试确定点 的位置，使得游乐场的面积 最大.
【解析】（1）以 为坐标原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则 ， ， ，
设曲线 所在的抛物线方程为 ， ，点 ， 在抛物线上，
则 ，解得 ， ，
所以曲线段 所在的抛物线方程为 .（2）因为点 在曲线段 上， ， ，所以 ，
∴ ， .
（3）∵ ， ，
令 ，解得 ，
当 时，f'(x)>0，当 时，f'(x)<0，
所以 时，函数 单调递增， 时，函数 单调递减，
因此，当 时， 是极大值也是最大值，
即当点 在曲线段 上且到 的距离为 米时，游乐场的面积最大.
2．（2024·山东·二模）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距
离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离 （米）与汽车的车速 （千米／时）满足下列关
系： （ ， 是常数， ）.根据多次实验数据绘制的刹车距离 （米）与汽车的车速
（千米/时）的关系图，如图所示.
(1)求 ， 的值；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度.
【解析】（1）由图象可知，点 ， 在函数 图象上，，解得 ，
， ；
（2）令 ，得 ，
解得 ，
又 ， ，
即行驶的最大速度为70千米 时．
3．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距
离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，
发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过 ，乙车的刹车距
离略超过 .已知甲车的刹车距离 与车速 之间的关系为 ，乙车的刹车距离
与车速 之间的关系为 .请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（ ）
A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速
C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速
【答案】C
【解析】对于甲车，令 ，即
解得 （舍）或 ，所以甲未超速；
对于甲车，令 ，即
解得 （舍）或 ，所以乙超速；
故选:C.题型二：分段函数模型
【典例2-1】（2024·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设
施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数 满足关系
，其中 为安全距离， 为车速 .当安全距离 取 时，该道路一小时“道路
容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149
C．165 D．195
【答案】B
【解析】由题意得， ，当且仅当 ，即
时取“=”，
所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.
故选：B
【典例2-2】（2024·山东临沂·二模）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度 （每层
玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量 满足关
系式 ，其中玻璃的热传导系数 焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空气的热传导
系数 焦耳/（厘米·度）， 为室内外温度差， 值越小，保温效果越好，现有4种型号的双
层玻璃窗户，具体数据如下表：
每层玻璃厚度 （单位：厘
型号 玻璃间夹空气层厚度 （单位：厘米）
米）
型 0.4 3
型 0.3 4
型 0.5 3型 0.4 4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是（ ）
A． 型 B． 型 C． 型 D． 型
【答案】D
【解析】 ，固定 ，可知 最大时， 最小，
保温效果最好，
对于 型玻璃， ，
对于 型玻璃， ，
对于 型玻璃， ，
对于 型玻璃， ，
经过比较可知， 型玻璃保温效果最好.
故选：D.
1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变
化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏
【变式2-1】（2024·河南·一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现
第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企
业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的
固定成本为200万元，每生产 万件，需可变成本 万元，当产量不足50万件时， ；
当产量不小于50万件时， .每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A
产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为 万元.
【答案】1000
【解析】由题意得，销售收入为 万元，当产量不足50万件时，利润 ；
当产量不小于50万件时，利润 .
所以利润
因为当 时， ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ；
当 时， ，当且仅当 时取等号.
又 ，故当 时，所获利润最大，最大值为1000万元.
故答案为：1000
【变式2-2】（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基
地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株
产量W（单位：千克）与投入的成本 （单位：元）满足如下关系： ，已知
这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为 （单位：元）.(1)求 的函数关系式；
(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?
【解析】（1）由题意可知： .
（2）由（1）可知： ，
若 ，则 ，可知其图象开口向上，对称轴为 ，
此时 的最大值为 ；
若 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 的最大值为 ；
又因为 ，可知 的最大值为 ，
所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是 元.
1．根据疫情防控要求，学校教室内每日需要进行喷洒药物消毒．若从喷洒药物开始，教室内空气中的药
物浓度 （毫克/立方米）与时间 （分钟）的关系为： ，根据相关部门规定该药物浓度达到不超过 毫克/立方米时，学生可以进入教室，则从开始消毒至少 分钟后，学生可进教室正常
学习；研究表明当空气中该药物浓度超过 毫克/立方米持续8分钟以上时，才能起到消毒效果，则本次
消毒 效果（填：有或没有）.
【答案】 30 有
【解析】由题设，只需 ，即 ，可得 分钟，
所以 分钟后药物浓度不超过 毫克/立方米，故30分钟后学生可进教室正常学习，
当 ，则 ， 当 ，则 ，可得 ，
即第5分钟到第20分钟之间药物浓度超过 毫克/立方米，故 分钟，
所以本次消毒有效果.
故答案为：30，有.
2．（2024·北京西城·一模）调查显示，垃圾分类投放可以带来约 元/千克的经济效益.为激励居民垃圾
分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放 积分 分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放
总量不低于 ，则额外奖励 分（ 为正整数）.月底积分会按照 元/分进行自动兑换.
①当 时，若某家庭某月产生 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换 元；
②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的 %，则 的最大值
为 .
【答案】
【解析】①若某家庭某月产生 生活垃圾，则该家庭月底的积分为 分，
故该家庭该月积分卡能兑换 元；
②设每个家庭每月产生的垃圾为 ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为 元.
若 时， 恒成立；
若 时， ，可得 .故 的最大值为 .
故答案为：① ；② .
3．（2024·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于 ，
已知一驾驶员某次饮酒后体内每 血液中的酒精含量 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系是：
当 时， ；当 时， ，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过
才可驾车.
【答案】
【解析】当 时， ，
当 时，函数有最大值 ，所以当 时，饮酒后体内每 血液中的酒精含量小于
，
当当 时，函数 单调递减，令 ，因此饮酒后 小时体内每 血液中
的酒精含量等于 ，
故答案为：
题型三：对勾函数模型
【典例3-1】（2024·高三·湖南衡阳·期中）近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎
来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（ ），现为加强技术研发，该企业
把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工 名（ 且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的
人数最少为多少？
(2)为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个
条件：
①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；
②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m
的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的人数为 ，且年人均投入为 万元，
则 ．
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 且 ，所以 ，故 ，
即要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人
员的人数最少为500．
（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得
，
上式两边同除以ax，得 ，
整理得 ，
由条件②技术人员年人均投入不减少，得 ，
解得 ．假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，
即 （ ）恒成立．
设 ，
由 在 上单调递减，
因为 且 ，所以 在 上单调递减，
则 ，
当 时，等号成立，所以 ．
又因为 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，
即存在这样的m满足条件，m的取值范围为 ．
【典例3-2】（2024·高三·福建福州·期末）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售
价为25元，年销售8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商
品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并
提高定价到x元.公司拟投入 万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元
作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不
低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.
【解析】（1）依题意，设每件定价为 元，得 ，
整理得 ，解得 .
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.（2）依题意知当 时，不等式 有解，
等价于 时， 有解，
由于 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，
当该商品改革后销售量 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，
此时该商品的每件定价为30元.
1、解决此类问题一定要注意函数定义域；
b
f(x)=ax+
x
2、利用模型 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
【变式3-1】（2024·江苏南通·二模）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围
内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度 （单位：毫米/立方米）随着时间 （单位：小时）变
化的关系如下：当 时， ；当 时， ．若多次喷洒，则某一时刻空气
中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不
低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒 个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中
能够持续有效消毒，试求 的最小值（精确到0.1，参考数据： 取1.4）
【解析】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为
当 时， ，解得 ，此时 ，
当 时， ，解得 ，此时 ，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
（2）设从第一次喷洒起，经 小时后，
其浓度 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立；
所以其最小值为 ，由 ，解得 ，
所以a的最小值为 ．
【变式3-2】（2024·上海浦东新·二模）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知
小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量 （微克）随着时间 （小时）变化的函数关系式近似为
．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为
多少小时？
【解析】（1）设服用1粒药，经过 小时能有效抗病毒，
即血液含药量须不低于4微克，可得 ，
解得 ，
所以 小时后该药能起到有效抗病毒的效果．
（2）设经过 小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；若 ，药物浓度 ，
解得 ，
若 ，药物浓度 ，
化简得 ，所以 ；
若 ，药物浓度 ，
解得 ，所以 ；
综上 ，
所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为 小时．
1．（2024·江西南昌·二模）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主
要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售
模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式
已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的
售价定为“进货价的 ”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利
润是 万元.
【答案】
【解析】由题意，产品的月销量 万件与投入实体店体验安装的费用 万元之间满足 ，
即 ，
所以月利润为
，当且仅当 时，即 时取等号，
即月最大利润为 万元.
故答案为: .
2．（2024·高三·山东日照·期中）某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生
态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）
满足如下关系： ，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等
人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为
（单位：元）
(1)写单株利润 （元）关于施用肥料x（千克）的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少?
【解析】（1）依题意， ，又 ，
所以 .
（2）当 时， ，其图象开口向上，对称轴为 ，
因此 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上的最大值为 ；
当 时，
，
当且仅当 时，即 时等号成立，而 ，则当 时， ，
所以当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元.
题型四：指数函数模型
【典例4-1】（2024·湖北·一模）高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，
每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜.如果每天的进步率都是 ，那么一年后是 ，
如果每天的落后率都是 ，那么一年后是 ，一年后“进步”是“落后”的 230
万倍，现张三同学每天进步 ，李四同学每天落后 ，假设开始两人相当，则大约（ ）天后，张三
超过李四的100倍（参考数据： ）
A．7 B．17 C．27 D．37
【答案】B
【解析】经过 天后，张三超过李四的100倍，所以 ，
两边取以10为底的对数得 ，所以 ，
又 ，所以 ,所以大约17天后，张三超过李四的100倍.
故选：B
【典例4-2】（2024·四川绵阳·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P
（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为 （e是自然对数的底数， ，k为正的常数）．
如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据： ）
A．33h B．35h C．37h D．39h
【答案】C
【解析】依题意， ，解得 ，即 ，
当 时， ，即 ，
解得 ，
所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h.
故选：C
在解题时，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于 1）的一类函数模型，与增长率、银行利
率有关的问题都属于指数模型．
【变式4-1】（2024·广东湛江·一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和
水的温度有关 研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意
义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是 ，室温是 ，那么 后茶水的
温度 单位： ，可由公式 求得，其中 是常数，为了求出这个 的值，某数学建
模兴趣小组在 室温下进行了数学实验，先用 的水泡制成 的茶水，利用温度传感器，测量并记
录从 开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：(1)请你利用表中的一组数据 ， 求 的值，并求出此时 的解析式(计算结果四舍五入精确
到 ；
(2)在 室温环境下，王大爷用 的水泡制成 的茶水，想等到茶水温度降至 时再饮用，根据
（1）的结果，王大爷要等待多长时间 计算结果四舍五入精确到 分钟)．
参考数据： ， ， 是自然对数的底数，
【解析】（1）依题意， ，且当 ， 时， ，
则 ， ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，当 时， ，即 ，
整理得 ，解得 ，
王大爷要等待约 分钟.
【变式4-2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.
水城春茶因富含有机茶硒和十余种人体必需的微量元素而享誉贵州省内外.经验表明，水城春茶用 的
水泡制，再等到茶水温度降至 时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环
境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是 ，室温是 ，则经过时间t（单位：分钟）后物体
的温度 （单位： ）满足 ，其中k为正常数.该研究小组在 的室温下，通过多次
测量取平均值的方法，测得200mL初始温度为 的水的温度降至相应温度所需时间如下表所示：
从 降至 所需时间 3.4分钟
从 降至 所需时间 5.0分钟
(1)从上表中选取一组数据求出k的值（精确到0.01），并根据上述冷却模型写出冷却时间t关于冷却后水
温 的函数解析式；(2)在（1）的条件下，现用200mL水在 的室温下泡制水城春茶，从泡制到获得最佳饮用口感约需要多
少分钟？（精确到0.1分钟）
（参考数据： ， ， ， ）
【解析】（1）由题可知 ，有 ，
若取第一组数据，则有 ，得 ，
此时解析式为 ；
若取第二组数据，则有 ，解得 ，
此时解析式为 .
综上，所求解析式为
（2）由（1）知， ，
令 ，则 ，解得 .
所以，从泡制到获得最佳饮用口感约需要 分钟.
1．（2024·福建福州·模拟预测）大气压强 （单位： ）与海拔 （单位： ）之间的关系可以由
近似描述，其中 为标准大气压强， 为常数.已知海拔为 两地的大气压强分别为
.若测得某地的大气压强为80 ，则该地的海拔约为（ ）（参考数据：
）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题知 ①， ②，
① ②两式相比得到 ，
所以 ③，
当 时，由 ④，② ④得到 ，
所以 ⑤，
由⑤ ④，得到 ，
解得 .
故选：C.
2．（2024·吉林长春·模拟预测）某制药厂临床试验一批新药的疗效（ -因子是主要成分），根据国家规
定：服用新药后100mL血液中 -因子含量达到 认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，
20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中 -因子的浓度呈线性增长，当其上
升到 时，血液中 -因子的浓度将会以每小时 的速度减少（函数模型如图）．
(1)请写出服用该药后血液中 -因子浓度 （单位： ）随时间 （单位：小时）变化的关系式；
(2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中 -因子才能降至无效？（结果取整数）．
（参考数据： ）
【解析】（1）开始时，血液中 -因子浓度呈线性增长时，设 ，
将 代入，得 ，解得 ，因此 ；当 时， ，又当 -因子浓度上升到 时，以每小时 的速度减少，
则当 时， ，
所以所求关系式为 .
（2）设至少要经过 小时血液中 -因子降至无效，即 ，
整理得 ，两边取常用对数，得 ，
则 ，解得 ，
所以至少要经过9个小时血液中 -因子才能降至无效.
3．（2024·全国·模拟预测）在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系．设t时刻甲、
乙种群的数量分别为 ， （起始时刻为 ）．由数学家Lotka和Volterra提出的模型是函数 ，
满足方程 ， ，其中a，b，c，d均为非负实数．
(1)下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图．为预测甲种群的数量变化趋势，研
究人员提出了两种可能的数学模型：① ；② ，其中m，n均为大于1的正数．根
据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由．
(2)设 ， ．
①函数 的单调性；
②根据①中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝．注：在题设条件下，各种群数量均有上限值．
【解析】（1）由折线图知，甲种群数量的增长速度随着时间的推移而加快．而增长速度大致对应种群数
量对时间的导数．
如选用模型①， ， 是关于时间的减函数，不符合折线图；
如选用模型②， ， 是关于时间的增函数，符合折线图．
所以应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势
（2）由题设知 ， ．
（i） ， ．
消去条件中的 得 ，所以 ．
所以 为常函数．
（ii）由（i）， ， ．
由于各种群数量均有上限值，不妨设甲乙种群数量的上限值分别为 ， ．
①若 ， ．
则当 时， ，此时可以近似认为甲种群灭绝；
②若 ， ．
则当 时， ，此时可以近似认为乙种群灭绝；
③若 ， ，甲乙种群数量之比保持恒定，可能不出现灭绝的情况．
综上所述，对所有 的情况，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝题型五：对数函数模型
【典例5-1】（2024·江西九江·二模）已知火箭在 时刻的速度为 （单位：千米/秒），质量为
（单位：千克），满足 （ 为常数）， 、 分别为火箭初始速度和质量．假设一小
型火箭初始质量 千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为 ，经过 秒后的速度
千米/秒，此时火箭质量 千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（ ）（ ，
）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由题意知，火箭在 时刻的速度为 ，质量为 ，满足 ，
因为经过 秒后的速度 千米/秒，此时火箭质量 千克，
可得 ，火箭耗尽燃料时速度为 ，
两式相除得 .
故选：C．
【典例5-2】（2024·福建龙岩·三模）声音的等级 (单位：dB)与声音强度x(单位： )满足
. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般
说话时声音强度的 倍，则一般说话时声音的等级约为（ ）
A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB
【答案】D【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 ，
由题意可得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以一般说话时声音的等级约为60dB.
故选：D
在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图
像 求解最值问题．
【变式5-1】（2024·青海海西·模拟预测）北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场
用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑
空气阻力的情况下，火箭的最大速度 和燃料的质量 、火箭（除燃料外）的质量 的函
数关系是 ．按照这个规律，当 m时，火箭的最大速度为 ；当 m
时，火箭的最大速度为 ．则 （参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由火箭的最大速度 和燃料的质量 、火箭的质量 的函数关系是 ，当
时，有 ，所以 ；
当 时，有 ，所以 ，可得 ．
故选：A．
【变式5-2】（2024·上海崇明·一模）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数 与听课时
间 （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当 时，曲线是二次函数图像的一部分；当
时，曲线是函数 图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处
于“欠佳听课状态”.
（1）求函数 的解析式；
（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）
【解析】（1）当 时，设函数 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，
由 ，解得 ，所以 ，
综上，函数的解析式为 .
（2）当 时，令 ，即 ，解得 或 （舍去），所以 ，
当 时，令 ，得 ，
所以 ，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为 分钟.
1．（2024·吉林·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，
例如，地震时释放出的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为 .2024年3
月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级
地震的（ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
【答案】C
【解析】设里氏5.1级和3.1级地震释放出的能量分别为 和 ，
由 ，于是 ，则 ，因此 ，
所以它释放的能量是里氏3.1级地震的1000倍.
故选：C
2．2021年中国载人航天工程相继发射了第十二、第十三艘飞船，与空间站完成对接，进入太空站完成任
务。在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式 计算火箭的最大速度 ，其
中 是喷流相对速度， 是火箭（除推进剂外）的质量， 是推进剂与火箭质量的总和， 称为
“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为 ．
(1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的 ，
若要使火箭的最大速度至少增加 ．求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据： ， .
【解析】（1）由题意总质比 ， ，代入公式 ，
即 .
所以，当总质比为200时， A型火箭的最大速度为 .
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭得喷流相对速度为 ，总质比为 .
要使得速度至少增加到 ，则需 ，
化简得 ，
所以 ，
由 的单调性易得 ，即 ，
因为 ，所以 .
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74.
3．（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在 进制的大量随机数据中，以 开头的数出现
的概率为 ，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定
律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（ ）倍
（参考数据：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【解析】由题意，以 开头的数出现的概率为 ，
可得 ，所以 .
故选：C.
重难点突破：函数模型的选择
【典例6-1】为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”新的计划有以下几点
需求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来
的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时
奖金为1千元.设业绩为x（ ）万元时奖金为f（x）千元，下面给出三个函数模型：①
；② ；③ .其中 .请选择合适的函数模型，并计算：
业绩为100万元时奖金为 千元.
【答案】
【解析】根据题意，当 时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高而提高”，而
只有模型“ ”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”，故模型选择：
根据题意，则有：
解得：
则模型为：
当 时，
故答案为：【典例6-2】（2024·山东潍坊·模拟预测）某地区未成年男性的身高 （单位：cm）与体重平均值 （单位：
kg）的关系如下表1：
表1 未成年男性的身高与体重平均值
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重平均
值/kg
直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身
高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优
度判断系数 （如表2）．误差平方和越小、拟合优度判断系数 越接近1，拟合度越高．
表2 拟合函数对比
函数模型 函数解析式 误差平方和
指数函数
二次函数
幂函数
(1)问哪种模型是最优模型？并说明理由；
(2)若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细
胞数量成正比，比例系数为 ；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为 ．记时刻 的未成年时期骨细
胞数量 ，其中 和 分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻 的未成年时期肌肉细
胞数量 ，其中 和 分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重 关于身高 的函数
模型；
(3)在（2）的条件下，若 ， ．当刚出生的婴儿身高为50cm时，与（1）的
模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．
注： ， ；婴儿体重 符合实际，婴儿体重 较符合实际，婴
儿体重 不符合实际．【解析】（1）因为 ，所以指数函数模型误差平方和最小，
因为 ，所以指数函数模型 最大，
所以指数函数模型是最优模型；
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以体重 关于身高 的函数模型为 ；
（3）把 代入 ，得 不符合实际，
把 ， 代入 得 ，
把 代入 ，得 符合实际，
所以（2）中幂函数模型更适合.
对于给定模型供选择的问题， 需根据问题对每个模型进行验证，可结合函数图像、性质、函数值等
多方面进行验证．
【变式6-1】（2024·高三·湖北襄阳·期中）某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产
量平稳增长.记2014年为第1年，且前4年中，第 年与年产量 （单位：万件）之间的关系如下表所
示：
1 2 3 4
4.00 5.61 7.00 8.87
若 近似符合以下三种函数模型之一：① ，② ，③ ．则你认为
最适合的函数模型的序号为 ．【答案】①
【解析】符合条件的是① ，
若模型为 ，则由 ，得 ，即 ，
此时 ， ， ，与已知相差太大，不符合；
若模型为 ，则 是减函数，与已知不符合；
故答案为：①．
【变式6-2】某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表
月份 1月 2月 3月
小型汽车数量
30 60 80
（辆）
600
创造的收益 （元） 4800 4800
0
(1)根据上表数据，从下列三个函数模型中：① ，② ，③ 选取一个恰当的
函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量 （辆）与创造的收益 （元）之间的关系，并写出这个函
数关系式；
(2)利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么
它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？
【解析】（1）选取② ，
由题表可知，随着 的增大， 的值先增大后减小，
而函数 及 均为单调函数，故不符合题意，
所以选取② ，
将 ， ， 三点分别代入函数解析式 ，
可得二次函数对称轴为 ，故可将函数解析式设为 ，
即得到 ，解出 ，
∴ ，∴ ， ， ；
（2）设在一周内大约应生产 辆小型汽车，根据题意，可得 ，
即 ，即 ，
因为 ，
所以方程 有两个实数根 ， ，
由二次函数 的图象可知不等式的解为 .
因为 只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量 且 之间时，
这家工厂能够获得6020元以上的收益.
1．某公司每个仓库的收费标准如下表（ 表示储存天数， （万元）表示 天收取的总费用）．
(1)给出两个函数 且 ， 且 ，要从这两个函数中选出一个
来模拟表中 之间的关系，问：选择哪一个函数较好？说明理由．
(2)该公司旗下有 个这样的仓库．每个仓库储存货物时，每天需要 元的运营成本，不存货物时仅需
元的成本．一批货物需要存放 天，设该批货物存放在 个仓库内，其余仓库空闲．要使该公司这
天的仓库收益不少于 元，则 的最小值是多少？
注：收益 收入 成本．
【解析】（1）若选择函数 且 ，
将 代入函数得： ，解得： ， ；
当 时， ；当 时， ；
可知当 或 时，与实际数据差距较大；若选择函数 且 ，
将 代入函数得： ，解得： ， ；
当 时， ；当 时， ；
可知当 或 时，与实际数据比较接近；
综上所述：选择 且 较好.
（2）设该公司这 天的仓库收益为 元，
由表格数据可知：若货物存放 天，每个仓库收费 元，
，
由 得： ， 的最小值为 .
2．在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区 年底新能源
汽车保有量为 辆， 年底新能源汽车保有量为 辆， 年底新能源汽车保有量为 辆．
(1)根据以上数据，试从 （ ， 且 ）， ，（ ， 且 ），
三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理
由），设从 年底起经过 年后新能源汽车保有量为 辆，求出新能源汽车保有量 关于 的函数关系
式；
(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比
相同， 年底该地区传统能源汽车保有量为 辆，预计到 年底传统能源汽车保有量将下降
．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据： ，
）
【解析】（1）根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是
（ ， 且 ），由题意得 ，解得 ，所以 .
（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为 ，
依题意得， ，解得 ，
设从 年底起经过 年后的传统能源汽车保有量为 辆，
则有 ，
设从 年底起经过 年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有
化简得 ，所以 ，
解得 ，
故从 年底起经过 年后，即 年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.
3．（2024·上海闵行·一模）大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通
过数学方法来代入某种算式的表示方式.比如 是平面直角坐标系上的一系列点，其中
是不小于 的正整数，用函数 来拟合该组数据，尽可能使得函数图像与点列 比较接近.
其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数 的拟合误差为：
.已知在平面直角坐标系上，有5个点的坐标数据
如下表所示：
2.2 1 2 4.6 7（1）若用函数 来拟合上述表格中的数据，求 ；
（2）若用函数 来拟合上述表格中的数据.
①求该函数的拟合误差 的最小值，并求出此时的函数解析式 ；
②指出用 中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？
【解析】（1）若用函数 来拟合上述表格中的数据，
，
则 ；
（2）①若用函数 来拟合上述表格中的数据，则
，
则当 时， 的最小值为 ，
此时 .
②由上可知， ， ，
当 时， > ，此时用 来拟合上述表格中的数据更好；
当 或 时， = ，用 拟合效果一样；
当 或 时， < ，此时用 来拟合上述表格中的数据
更好.
