文档内容
专题 05 解三角形（角平分线问题问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
方法一：等面积法..............................................................................................2
方法二：内角平分线定理..................................................................................5
方法三：角互补...............................................................................................11
三、专项训练.........................................................................................................14
一、必备秘籍
角平分线
如图，在 中， 平分 ，角 , , 所对的边分别为 ， ，
核心技巧1：内角平分线定理：
或
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）
核心技巧3：边与面积的比值：
核心技巧4：角互补：
在 中有： ;
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中有：
二、典型题型
方法一：等面积法
1．（2023春·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）在 中， ， ， ，
的角平分线交BC于D，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】在 中,由余弦定理得 ,
则 ，即 ，
解得 ，（负值舍），
而AD平分 ，即 ，
又 ，故 ，
则 ，
故选：B
2．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）在 中，内角 ， ， 的对边分別为 ， ， ，且满足
.
(1)求 ；
(2)若内角 的角平分线交 于 点，且 ，求 的面积的最小值.
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【详解】（1）∵ ，∴由正弦定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ .
（2）
如图，由题意及第（1）问知， ，且 ，
∴ ，
∴ ，化简得 ，
∵ ， ，∴由基本不等式得 ，∴ ，
当且仅当 时，等号成立，
∴
∴ ，
故 的面积的最小值为 .
3．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）已知 中，内角A、B、C所对的边分别为a，
b，c， ，D是 边AC上的一点，且 ．
(1)若 ， ，求AD；
(2)若BD为 的角平分线，求 面积的最小值．
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1） ，由正弦定理得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ， ，
则 ，即 ，
解得 ，由 ，即得 ，如图所示.
由 ，则 ，
中，由余弦定理，
，解得 .
（2） ， BD为 的角平分线，且 ，如图所示，
则有 ， ，
则 ，
即 ，且 ，
则 ，可得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
故 面积的最小值为 ．
4．（2022·全国·高一专题练习） 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ，AD是
的角平分线，且 ，求 的最小值.
【答案】 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】在 中， ，AD是 的角平分线，且 ，而 ，
则有 ，即 ，得 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是 .
5．（2022·全国·高一专题练习） 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ，AD是
的角平分线，且AD＝ ， ，求c.
【答案】2或3
【详解】∵ ，
则有 ，
，
可得 ①
由余弦定理 ，
可得 ②
由① ②解得 ，或 ，
所以 ，或 .
方法二：内角平分线定理
1．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知 中， ， ， ， 是 的角
平分线，则 ．
【答案】 /
【详解】设 ，因为 是角平分线，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又由已知得 ，同理 ，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
2．（2023·全国·高三专题练习）在 ABC中，角 所对的边分别是 ，其中 ， ，
.若B的角平分线BD交AC于△点D，则 .
【答案】 /
【详解】由题设 ，则 ，
又 ，则 ，故 ，又 ，即 ，
在△ 中，由余弦定理知： ，即 ，得 ，故 ，
在△ 中，由余弦定理知： ，
故 ，故 或 ，
又 ，即 ，故 .
故答案为：
3．（2023秋·四川成都·高二石室中学校考开学考试）如图，在 中， ， 的角平分线
交 于 ， .
(1)求 的取值范围；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)已知 面积为1，当线段 最短时，求实数 .
【答案】(1) ；
(2)
【详解】（1）设
由角平分线定理， ， ，
由余弦定理， ，
，
所以 ，
化简得 .
因为 ，故 ；
（2）由题意， ，因此 ，
由余弦定理， ，
故 ，
当且仅当 时， 取得最小值3，此时 .
显然 为锐角，
由 代入 中，得
，或 舍去，
由（1）知，此时 .
4．（2023春·山东枣庄·高一统考期中） 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
.
(1)求 的值；
(2)若BD是 的角平分线.
（i）证明： ；
（ii）若 ，求 的最大值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）因为 中， ，
故
，
因为 ，故 ；
（2）（i）证明： 中，由正弦定理得 ①，
又 ②，
同理在 中， ③，
④，
BD是 的角平分线，则 ，
则 ，
又 ，故 ，
故①÷③得 ⑤，即 ，
由 ② ④得，
，
则
，
即 ；
（ii）因为 ，故 ，
则由⑤得 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 以及（i）知 ，
即 ，则 ，
当且仅当 ，结合 ，即 时等号成立，
故 ，即 的最大值为 .
5．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）如图，在 中， ， 是角 的角平分
线，且 面积为1.
(1)求 的面积；
(2)设 ，①求 的取值范围；②当 的长度最短时，求 的值.
【答案】(1)
(2)① ；②
【详解】（1）因为 是角 的角平分线，且
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 .
（2）①设 ， ， ，
则 ， ， ，
（1）知， ， ，
又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
整理得 ，
又 ，所以 ，
即 ，
所以 的取值范围为 ；
②由①知， ，即 ，
所以 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
又 ，
，
设 ，则 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 ，又 ，
解得 ，
所以 ，
所以当 的长度最短时， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
．
(1)求 ；
(2)已知 的角平分线交 于点 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，又 ，所以 .
（2）因为
，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
方法三：角互补
1．（2023春·高一单元测试）在 中， 是 的角平分线， 且交 于 . 已知
， 则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【详解】由题意 是 的角平分线， ，
由角平分线的性质知： ，
设 ，
因为 ，则 ，则 ,
所以 ，整理得 ，解得 或 （舍）.
所以 ,.
故答案为：
2．（2023春·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考阶段练习）已知 的内角A，B，C的对边为a，b，
c，且 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求内角A的角平分线 长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理，得 ，即 ，
故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）知 ，
因为 的面积为 ，所以 ，解得 ，
在 中，由正弦定理，得 ，
在 中，由正弦定理，得 ，
因为AD为角A的角平分线，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
不妨设 ， ，则 ，故 ，
延长 至点E，使得 ，连接 ，
则 ，又 ，
所以 ，故 ， ，
则 ， ，
则 ， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
其中 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 ，故 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 长的最大值为 .
3．（2023·全国·高三专题练习）在 中，点 在边 上， ， ．
(1)若 是 的角平分线，求 ；
(2)若 是边 上的中线，且 ，求 ．
【答案】(1)
(2) .
【详解】（1）解：点 在边 上， ， ． 是 的角平分线，
在 和 中，由正弦定理可得 ， ；
， ，
．
（2）解：因为 是边 上的中线，
设 ， ，
， ，
，
，化简可得 ，解得 或 （舍去），
．
4．（2022·浙江·模拟预测）在 中， 是 的角平分线且 ，若 ，
则 ， 的面积为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 6
【详解】在 中， 是 的角平分线，且 ，则有：
，令 ，则 ，
在 与 中，由余弦定理得： ，
，
因此， ，得 ，即有 ，解得 ，
的面积为 .
故答案为： ；6
三、专项训练
1．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若
， 为 的角平分线，且 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
所以， ，
由余弦定理可得 ，因为 ，所以， ，
因为 ，由 可得 ，
即 ，解得 ， ，
由余弦定理可得 ，
因此， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， 的角平分线 交 于点D，
的面积是 面积的3倍，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，
即 ，在 中，作 边上高，垂足为 ，
则 ，
故选:A.
3．（2022秋·广西柳州·高三校联考阶段练习）已知 中， 为 的角平分线，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设
∵ ，则
即 ，可得
∵ ，则
∴ ，则
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 对应的边分别是 ， 内角 的角平分线交边
于 点， 且 ．若 ， 则 面积的最小值是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．16 B． C．64 D．
【答案】B
【详解】∵ ，
∴ ，
即 ，
又 ， ，
∴ ，即 ，又 ，
∴ ，
由题可知 ， ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
当且仅当 取等号，
所以 .
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，AD是△ ABC的角平分线，D在BC边上， ，b＝3c，则a的值为
（ ） △
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为 ，
所以由正弦定理化简可得：a2＝b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2＝bc，
故 ，
由于A∈（0，π），
可得：A＝ ，
因为AD是 ABC的角平分线，D在BC边上，可得∠BAD＝∠DAC＝ ，
△
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以由余弦定理可得 ，
因为b＝3c，
所以CD＝3BD，即 ，
整理可得 ，
所以由余弦定理可得 ．
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，内角 所对的边分别是 ， 的角平分线交
于点D．若 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
对 用正弦定理，可得 ，设 ， ，由于 为
三角形内角，则 ，由 可得， ，整理得，
，对 ，由余弦定理， ，即
，故 ，即 ，于是
，根据基本不等式， ，即 ，结合 ，解
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得 ，即 ，于是 .
故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）在三角形 中，角 的对边分别是 ，若
，角 的角平分线交边 于点 ，且 ，则边c的大小为
.
【答案】 /
【详解】由 可得： ，
故 ，所以 ，
由于 ,故 ,
故由 可得： ，
又 ，故 ，联立 ，
解得 ，
故 ，
故 ，
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，∠A的角平分线与BC边相交于D． ，
，则AB边的长度为 ．
【答案】2或3/3或2
【详解】由题意得 ，
，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，可得 ，
所以 ，
又由余弦定理，有 ，可得 ，
所以 ，解得 ，
又由 ，可得 或 ．
故答案为：2或3
9．（2022·安徽·统考模拟预测）在 ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若AD为 ABC的角平
△ △
分线，且 ， ， ，则 ABC面积为 ．
△
【答案】 /
【详解】因为 ， ，
所以 ，
由正弦定理边化角可得： ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
由余弦定理可得 ，整理可得 ，
又 ，
所以 ，整理得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，解得 或-1（舍），
所以 .
故答案为：
10．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知
， ．
(1)求边b的长；
(2)延长BC至D，使得 ，连接AD．已知 为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若
外接圆半径为 ．求 长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
所以
又因为 ，所以 ，
∴ ，即 ，∴
（2）由（1）可知，
在 中，由正弦定理： ，
可得： ，所以 ，
∵ 为锐角，∴
由
可得：
即 ①
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可求得 ，求得 ，
代入①可解得：
11．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习） 的内角 ， ， 的对边分别记为 ， ，
，若 ， ，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题：
① ；② ；③ ．
(1)求 的面积；
(2)若 的角平分线与边 交于点 ，延长 至点 使得 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选① ，则 ，
，又 ．
若选② ， ，则 ， ，
，
由正弦定理可得： ．
若选③ ，由 得 ，且 ，
则
，
由 得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
由正弦定理可得： ；
（2）由角平分线的性质知： ，∴ ， ，
在 中， ，∵ ，∴ ，由余弦定理知：
，
故 ，
在 中，由正弦定理知： ，
即 ，故 ．
在 中， ， ，
由余弦定理知：
，
故 ．
12．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，已知
，
(1)求角 的大小；
(2)若 的角平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值，
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
由于 ，则 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 .
（2）因为 的角平分线交 于点 ，且 ， ，
根据三角形面积公式可得 ，
等式两边同除以 可得 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等式成立，
故 的最小值为 .
13．（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）在△ABC中，
．
(1)求B的值；
(2)给出以下三个条件：① ；② ， ；③ ，若这三个条件中仅有两
个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求 的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．
【答案】(1)
(2)正确条件为①③，（i） ，（ii）
【详解】（1）由题设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 ，
所以 ，故 ；
（2）若①②正确，则 ，得 或 ，
所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，
若②③正确，则 ，可得 ，即②为错误条件，
综上，正确条件为①③，
（i）由 ，则 ，即 ，
又 ，可得 ，
所以 ，可得 ，则 ，
故 ；
（ii）因为 且 ，得 ，
由 平分 得 ，
在 中， ，
在 中，由 ，得 ．
14．（2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ，
， ．已知 ， ， ，且 为 边上的中线， 为 的角平分线．
(1)求 及线段 的长；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求 的面积．
【答案】(1) ，BC＝6
(2)
【详解】（1）由题意在 中， ，∴ ，
∴ ，而 ， ，∴ ，
由余弦定理得 （ 舍去），即 .
（2）在 中， ， ， ，
∴ ，
∵AE平分∠BAC， ，
由正弦定理得： ，
其中 ，
∴ ，则 , ,
∵AD为BC边的中线，∴ ，
∴ .
15．（2022·全国·高三专题练习）在① ；②
两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ．
(1)求角C的大小；
△
(2)若∠ACB的角平分线CD交线段AB于点D，且 ，求 ABC的面积．
△
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）选①：由正弦边角关系得 ，
再由余弦边角关系得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，而 且 ，
所以 .
选②： ，
所以 ，即 ，
又 ，则 且 ，所以 ，可得 ，
所以 .
（2）过 作 交 延长线于 ，
因为 为角平分线，且 ，则 ，
由 ，则 ，又 ，
所以 ， ，故 ，又 ，
故△ 为等边三角形，则 ， ，
结合（1）结论， ABC的面积为 .
△
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
