文档内容
专题 06 利用导函数研究能成立（有解）问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................1
题型一：单变量有解问题..................................................................................1
题型二：双变量不等式有解问题.......................................................................7
题型三：双变量等式有解问题.........................................................................12
三、专项训练.........................................................................................................15
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化： ，使得 能成立 ；
，使得 能成立 ．
③求最值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二、典型题型
题型一：单变量有解问题
1．（2023·四川乐山·统考二模）若存在 ，使不等式 成立，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，
，
令 ，即 ，由 ，得 ，
令 ，则原问题等价于存在 ，使得 成立，
求导得 ，由 ，得 ，由 ，得 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，又 ，
则当 时， ，若存在 ，使得 成立，
只需 且 ，解得 且 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
故选：D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的
内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于 的不等式 在 内有解，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 有意义可知， .
由 ，得 .
令 ，即有 .
因为 ，所以 ，令 ，
问题转化为存在 ，使得 .
因为 ，令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ，所以当 时， .
因为存在 ，使得 成立，所以只需 且 ，解得 .
故选： .
二、填空题
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 ，若存在唯一
的整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【详解】函数 存在唯一的整数 ，使得 ，
设 与 ,
即存在唯一的整数 ，使得 在直线 上方,
，当 时， , 在 上单调递增；当 时，
, 在 上单调递减， , ，
若要存在唯一的整数 ，使得 在直线 上方，
则 或 ，代入得 或 ，
解得 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
【点睛】关键点点睛:用导数求参数的范围问题，将题目转化两个函数的交点问题求解是解题的关键.
4．（2023·云南·校联考三模）设函数 ，若存在唯一整数 ，使得 ，则 的
取值范围是 .
【答案】
【详解】由函数 ，设 和
因为存在唯一整数 ，使得 ，
所以存在唯一的整数 使得 在直线 的下方，如图所示，
因为 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
当 时， 取得极小值，也为最小值 ，
且当 时， ，当 时， ，
又由直线 恒经过原点 ，斜率为 （其中 ），
所以 且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若存在 ，使得 ，求实数 的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 的定义域为 ．
当 时， ；
当 时，令 ，解得 或 （舍去），
所以当 时， ，当 时， ．
综上：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增．
（2）若存在 ，使得 ，则存在 ，使得 成立，
令 ，令 ，则 ，
当 时， ，即 在 单调递减，
当 时， ，则 在 单调递增，
所以 在 取得极小值，即最小值，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 在 上恒成立，
即存在 ，使得 成立，
即 ．
令 ，则 ，
令 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以当 时， 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即实数 的最小值为 ．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数解决含参函数单调区间问题，以及不等式能成立问题，难度
较难，解答本题的关键在于将不等式问题通过分离参数法，转化为最值问题，然后构造函数，利用导数判
断函数的单调性，解决问题.
6．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)如果存在 ，使得当 时，恒有 成立，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) ；
【详解】（1）当 时， ，求导得： ，则 ，而 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2） ，
因为存在 ，使得当 时，恒有 成立，
则存在 ，使得当 时， ，
令 ，即有 ， 恒成立，
求导得 ，令 ， ，
因此函数 ，即函数 在 上单调递增，而 ，
当 ，即 时， ，函数 在 上单调递增，
， 成立，从而 ，
当 时， ， ，则存在 ，使得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，当 时， ，不符合题意，
所以 的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调
性、最值是解决问题的关键.
题型二：双变量不等式有解问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，对于存在的 ，存在
，使 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】A
【详解】因为对于存在 ，存在 ，使 ，
所以 ， ， ，
又 ， ，
显然 在 上单调递减，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
则 ，
由 解得： ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A.
2．（2023·四川南充·统考三模）已知函数 ， ， ， 使
（ 为常数）成立，则常数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 在 上为增函数，
由 知， ，
令 ，则 ，
当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
不妨设 ，则 ， ，
可化为 ，
即 ，
令 ，
则 ，
， 使 能成立，
在 上能成立，
即 在 上能成立，
， ，
令 ， ，
则 ，令 ，
则 ，当 时， ，
故 在 上单调递增，所以 ，
故 ， 在 上单调递增，
，
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D
【点睛】关键点点睛：根据题意转化为存在 ， 使 能成立是其一，
其二需要构造函数 后分离参数转化为 在 上能成立，
再次构造函数 ，多次利用导数求其最大值.
3．（2023上·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）已知函数 ，
对于 ，都 ，使 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【详解】由 得 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
所以 ，
对于 ， ，所以 ，
由题意知对于 ，都 ，使 ，
故 ，则 ，所以 或 ，
故答案为： .
4．（2023下·重庆·高二校联考期中）已知函数 ，若对任意 都存在
，使 成立，则实数 的取值范围是 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【详解】对任意 都存在 使 成立，
而 ，所以 ，
即存在 ，使 ，
此时 ， ，所以 ，
因此将问题转化为：存在 ，使 成立，
设 ， ，
当 ， ， 单调递增，
所以 ，
由题意 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
5．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若 ，且对 ，都 ，使得 成立，求实数 的取值范
围．
【答案】(1) ；
(2) .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）因为函数 ，所以 ．
设 ，则 ，故 在 上递减．
，即 ，
在 上单调递减，最小值为 ．
（2）令 ，则 在 上恒成立，
即函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即 在 上恒成立；
又 ，当 时 ，
在区间 上单调递增；
在区间 上单调递减．
函数 在区间 上的最大值为 ．
综上，只需 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)设 ．当 时，若对 ， ，使 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）∵ ，∴ ，
令 ，可得两根分别为1， ，
∵ ，∴
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减．
（2） ， ，由（1）知，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
∴ 在 上的最小值为 ．
对 ， ，使 ，即
在 上的最小值不大于 在 上的最小值 ，（*）
又 ，
∴①当 时， ，此时与（*）矛盾；
②当 时， ，同样与（*）矛盾；
③当 时， ，且当 时， ，
解不等式 ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴实数b的取值范围为 ．
题型三：双变量等式有解问题
1．（2020·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ，若 ， ，使
得 ，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，当 时， ，
函数 单调递减，函数的值域是 ，
， ，当 时， ，
函数 单调递增，函数的值域是 ，
因为 ， ，使得 ，
所以 ，解得： ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数 ，若 ，使得
成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 ，使得 成立，
则函数 的值域包含 的值域.
当 时，函数 开口向上，对称轴 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
所以 ；
当 时， ，则 ，
①若 ，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ；
②若 ，则 ， 在 上单调递增，
此时 值域为 ，符合题意.
③当 时， 的值域为 ，不符合题意.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述，实数 的取值范围为 .
故选：B.
3．（2023上·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数 ， ，若
成立，则n－m的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令 ，则 ， ，
∴ ， ，即 ，
若 ，则 ，
∴ ，有 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
∴ ，即 的最小值为 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：令 确定 关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
4．（2021上·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）已知函数 和函数
，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是
.
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】当 时， ，
在 上单调递增，又 在 上单调递减， ， ，
；
当 时， ， ， ，
若存在 ，使得 成立，则 ，
即 ，解得： ， 实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的能成立问题的求解，解题关键是能够将能成立的条件转化为两个
函数最值之间大小关系的比较问题，从而利用导数、三角函数知识求得两函数的值域，根据最值大小关系
构造出不等式组.
5．（2022下·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数
. ，使得 )，求
实数a的取值范围.
【答案】
【分析】对 求导，判断 在(－∞,－1]、 在 上的单调性并确定值域，根据函数
等量关系能成立有1＋ < ，即可求参数范围.
【详解】由题设，f′(x)＝2x－2ax2＝2x(1－ax)．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ ，由a>0，
当x∈(－∞,0)时f′(x)<0，
∴f(x)在(－∞,－1]上单调递减，且值域为[ .
∵g(x)＝ ，
∴g′(x)＝ ′＝ ＝ ，
∵x<－ 时，g′(x)>0，
∴g(x)在 上单调递增，且值域为 .
若 x∈(－∞,－1]， x∈ ，使得f(x)＝g(x)，则1＋ < ，可得a< .
1 2 1 2
∃ ∃
综上，故实数a的取值范围是 .
三、专项训练
一、单选题
1．（2023下·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）若关于 的不等式 的解集中恰有
个整数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，且 ，可得 ，
构建 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，可得 ，
且 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C.
2．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知函数 ，若存在 ，使
，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】若存在 ，使 ，即 ，
所以 ，令 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以
所以 .
故选：C.
3．（2023下·江苏南通·高二统考阶段练习）已知函数 ， ，（其中 为自然
对数的底数）.若存在实数 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为存在实数 ，使得 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，
函数 在R上单调递增， ，
即 的最小值，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
时，函数 取得极小值即最小值，
，
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C
4．（2022下·天津·高二天津市蓟州区第一中学校联考期中）已知函数 ，若对任
意的 ，存在 使得 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．[ ，4]
C． D．
【答案】B
【详解】解： 的导函数为 ，
由 时， ， 时， ，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调
递增，
故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）= ，
所以对于任意的 ， ．
因为 开口向下，对称轴为 轴，
所以当 时， ，当 时， ，
则函数 在[ ，2]上的值域为[a–4，a]，
由题意，得 ， ，
可得 ，解得 ．
故选：B.
5．（2022下·全国·高三校联考开学考试）已知函数 ，若 ，
成立，则a的取值范围是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，得 ，同时除以 得： ， 使
该不等式成立．设 ， ，当 时， ，所以 在 为减函数，
所以，由 得 ，即 ，因为 ，所以， ，即
a的取值范围是 .
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）= ，函数g（x）=asin（ x）﹣2a+2
（a＞0），若存在x，x∈[0，1]，使得f（x）=g（x）成立，则实数a的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．[﹣ ，1] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ，2]
【答案】B
【详解】当x∈[0， ]时，y= ﹣ x，值域是[0， ]；
x∈（ ，1]时，y= ，y′= ＞0恒成立，故为增函数，值域为（ ，1]．
则x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]，
当x∈[0，1]时，g（x）=asin（ x）﹣2a+2（a＞0），为增函数，值域是[2﹣2a，2﹣ ]，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵存在x、x∈[0，1]使得f（x）=g（x）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a，2﹣ ]≠ ，
1 2 1 2
若[0，1]∩[2﹣2a，2﹣ ]= ，则2﹣2a＞1或2﹣ ＜0，即a＜ ，或a＞ ．
∴a的取值范围是[ ， ]，
故选：B．
7．（2021上·山西太原·高三太原五中校考阶段练习）已知函数 ， ．若
，都 ，使 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，都 ，使 成立， ；
当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 时， ； 时， ； ，
当 时， ；
①当 ，即 时， 在 上单调递增， ，
，解得： ， ；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，解得： 或 ，
；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】③当 ，即 时， 在 上单调递减， ，
，解得： ， ；
综上所述： 的取值范围为 .
故选：D.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 成立，故 ；
（5）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集 ．
8．（2021下·全国·高三校联考专题练习）设函数 ， ，若在区
间 上存在 ，使得 成立，其中e为自然对数的底数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 得 ，
设 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
∴ ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
∴存在 ，使得 成立，
即 ，
记 ，
则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
当 时， ，则函数 在 上单调递增，当 时， ，函数 在 上
单调递减，
∴ ，∴ ，
故实数a的取值范围为 .
故选：D.
9．（2018下·四川攀枝花·高三统考阶段练习）已知函数 若对
,使得 成立,则实数 的最小值是
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】 由题意，对于 ，使得 成立，
可转化为对于 ，使得 成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又由 ，可得 ，
当 时， ，所以函数 单调递增，
当 时， ，所以函数 单调递减，
所以当 时，函数 有最大值，最大值为 ，
又由二次函数 ，开口向上，且对称轴的方程为 ，
①当 ，即 时，此时函数 ，令 ，
解得 （不符合题意，舍去）；
②当 ，即 时，此时函数 ，令 ，
解得 ，（符合题意），
综上所述，实数 的最小值为 ，故选C．
二、填空题
10．（2023上·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）已知函数 ，
对于 ，都 ，使 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【详解】由 得 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
所以 ，
对于 ， ，所以 ，
由题意知对于 ，都 ，使 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，则 ，所以 或 ，
故答案为： .
11．（2021下·四川凉山·高二统考期中）已知函数 ，函数 ，若对任意的
，存在 ，使得 ，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意得 ．
因为 ，
当 时， ，故 在 上单调递增， ．
因为 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减， ．
由 ，即 ，解得 ．
故答案为： ．
12．（2023下·天津东丽·高二天津市第一百中学校考阶段练习）已知 ， ，
若 ， ，使 成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】∵ ，∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴当 时， ， 在区间 上单调递减，
∴ 在区间 上的最小值为 ；
又∵ ，
∴由二次函数知识， 在 上的最小值为 ，
若 ， ，使 成立，等价于 ，即 ，
∴实数 的取值范围是 .
故答案为： .
三、问答题
13．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若 ，且对 ，都 ，使得 成立，求实数 的取值范
围．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）因为函数 ，所以 ．
设 ，则 ，故 在 上递减．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即 ，
在 上单调递减，最小值为 ．
（2）令 ，则 在 上恒成立，
即函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即 在 上恒成立；
又 ，当 时 ，
在区间 上单调递增；
在区间 上单调递减．
函数 在区间 上的最大值为 ．
综上，只需 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
14．（2023上·云南昆明·高三统考期中）已知 （其中e为自然对数的底数， ）
(1)求 的单调区间；
(2)若存在实数 ，使 能成立，求正数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2) ．
【详解】（1） 的定义域是 ，则 ，
当 时， ， 递减区间为 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，令 得： ，令 得： ，
故 递增区间为 ，递减区间为 ；
（2）由题设 ，结合（1）知 ，
若 上存在实数x，使 能成立，则 ．
令 ，则 ，
当 时 ，当 时 ．
∴ 在 上为减函数，在 上为增函数，
而 上 ， ， ．
∴实数a的取值范围是 ．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)设 ．当 时，若对 ， ，使 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）∵ ，∴ ，
令 ，可得两根分别为1， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵ ，∴
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减．
（2） ， ，由（1）知，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
∴ 在 上的最小值为 ．
对 ， ，使 ，即
在 上的最小值不大于 在 上的最小值 ，（*）
又 ，
∴①当 时， ，此时与（*）矛盾；
②当 时， ，同样与（*）矛盾；
③当 时， ，且当 时， ，
解不等式 ，可得 ，
∴实数b的取值范围为 ．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若存在 ，使得 成立，求实数m的最小值.
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)4
【详解】（1）由 ，
令 ；令 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 在 处取得极小值，且为 ，无极大值；
（2）由 能成立，
问题转化为 ，
令 ，
由 ；由 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，则 ，
故m的最小值为4．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
