文档内容
专题 06 利用导函数研究能成立（有解）问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................1
题型一：单变量有解问题.................................1
题型二：双变量不等式有解问题...........................6
题型三：双变量等式有解问题............................11
三、专项训练.............................................15
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一
个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化： ，使得 能成立 ；
，使得 能成立 ．
③求最值.
学科网（北京）股份有限公司二、典型题型
题型一：单变量有解问题
1．（2024·四川成都·一模）已知函数 ，
.
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)当 时，设函数 ，求证： 有解.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）当 时，求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）化简得出函数 的解析式，利用 可证得结论成立.
【详解】（1）解：当 时， ，则 ，
，则 ，
故当 时， 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）证明：当 时， ， ，
，
因为 ，故不等式 有解.
2．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知 ．
(1)讨论 的单调性和极值；
(2)若 时， 有解，求 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）首先求函数的导数， ，讨论 和 两种情况讨论
函数的单调性和极值；
（2）首先不等式参变分离为 ，在 时有解，再构造函数
， ，转化为利用导数求函数的最大值.
【详解】（1） ，
当 时， 恒成立，函数在区间 上单调递减，无极值；
当 时，令 ，得 ，
，得 ，函数在区间 上单调递减，
，得 ，函数在区间 上单调递增，
当 ，函数取得极小值 ，
综上可知， 时，函数的单调递减区间是 ，无增区间，无极值；
时，函数的单调递增区间是 ，单调递减区间 ，极小值 ，无极大
值.
（2）由题意可知， ， 时有解，
则 ，在 时有解，即 ，
设 ， ，
，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 的最大值为 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司所以实数 的取值范围是 .
3．（20234·河南洛阳·模拟预测）已知函数 在 处取得极值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用题给条件列出关于a，b的方程组，解之并进行检验后即可求得a，b的
值；
（2）利用题给条件列出关于实数 的不等式，解之即得实数 的取值范围．
【详解】（1） ，则 ．
因为函数 在 处取得极值4，
所以 ，解得
此时 ．
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
则 是函数 的极大值点，符合题意．故 ， ．
（2）若存在 ，使 成立，则 ．
由（1）得， ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
4．（2024·安徽淮南·一模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知 ，若存在 时，不等式 成立，求 的取值范围．
【答案】(1)函数 在区间 ， 上均单调递减
(2)
【分析】（1）利用导数在函数单调性中的应用，即可得到结果；
学科网（北京）股份有限公司（2）根据题意，将原不等式转化为 ，即 ；再根据（1），可知
在 单调递减，将原问题转换为 在 ，两边同取自然对数，采用
分离参数法可得 在 上能成立，再利用导数求出函数 的最
值，即可得到结果.
【详解】（1）解： 的定义域为
因为 ，所以 ．
令 ，则 ，
所以函数 在区间 单增；在区间 单减．
又因为 ，所以当 时 ，
所以函数 在区间 ， 上均单调递减；
（2）解：
当 ， 时 ，所求不等式可化为 ，
即 ，
易知 ，
由（1）知， 在 单调递减，
故只需 在 上能成立．
两边同取自然对数，得 ，即 在 上能成立．
令 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
，
所以 ，又 ，故 的取值范围是 ．
5．（2024·广东珠海·一模）已知函数 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）讨论 的单调性﹔
（2）若存在 ，求 的取值范围．
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2） ．
【分析】(1)对函数 求导，再按 和 分别讨论导函数值正负而得解；
(2)构造函数 ，讨论 时 在 的值的正负， 时再分段讨论
最小值情况即可得解.
【详解】(1)函数 的定义域为(0，+∞)， ，
当 时， ，则 在 上递增，
当 时﹐由 得 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
于是有 在 上递增，在 上递减；
由 ，得 ，
，当 时， ，满足题意，
当 时，令 ， ， 在 上递增，
则 不合题意，
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
于是有 在 上递减，在 上递增， ，
则 时， ，
综上， 的取值范围为 ．
【点睛】结论点睛：对于能成立问题，(1)函数f(x)定义区间为D， ，a≥f(x)成立，则
有a≥f(x) ；(2)函数f(x)定义区间为D， ，a≤f(x)成立，则有a≤f(x) .
min max
学科网（北京）股份有限公司题型二：双变量不等式有解问题
1．（23-24高三下·江苏南京·阶段练习）已知函数 （ ）．
(1)当 ，求f（x）的极值．
(2)当 时，设 ，若存在 ， ，求实数 的取值
范围．（ 为自然对数的底数， ）
【答案】(1)极小值为3；极大值为4ln7－3
(2)
【分析】（1）利用导数判断单调性，求出极值即可；
（2）存在 ，使 ，转化为在区间 上 ,即可
求解.
【详解】（1） 的定义域为 ，
当 时， ，
∴ ，
令 ，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，
∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）
∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3；
（2） ，令 ，
若 ，则 ，
∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，
∴当 时，f（x）在 上单调递减，
∴f（x）在 上的最大值为 ，
，令 ，得 ，
当 时， ，∴ 单调递减，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，∴g（x）单调递增，
∴ 在 上的最小值为 ，
由题意可知 ，解得 ，
又∵ ，
∴实数a的取值范围为[1，4）．
2．（2024·广西柳州·二模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 （ 为自然对数的底数），当 时，对任意
，存在 ，使 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2) .
【分析】（1）求出函数 的导数，再分类讨论求出函数 的单调区间作答.
（2）利用（1）的结论求出 在 上的最大值，再利用给定条件，构建不等式并分离
参数，构造函数，求出函数最大值作答.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得
，
而 ，当 时，由 得 ，由 得 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，由 得 ，由 得 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时，由（1）知，函数 在 上单调递减，而 ，则
，
任意 ，存在 ，使 等价于 ， 恒成
立，
学科网（北京）股份有限公司则有 ， 成立，令 ，
则 ，当 时， ，当 时， ，
即有 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
因此当 时， 最大值为 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
3．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线经过原点，求a的值；
(2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求a的取值范
围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程（含参数a），由切线过原点求出a的值；
（2）利用导数研究 的单调性并求出 上的最大值，由二次函数性质求 在
上的最大值，根据已知不等式恒（能）成立求参数a的范围.
【详解】（1）由 ，可得 ．
因为 ， ，
所以切点坐标为 ，切线方程为： ，
因为切线经过 ，所以 ，解得 ．
（2）由题知 的定义域为 ， ，
令 ，解得 或 ，
因为 所以 ，所以 ，
令 ，即 ，解得： ，
令 ，即 ，解得： 或 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 增区间为 ，减区间为 ．
因为 ，所以函数 在区间 的最大值为 ，
函数 在 上单调递增，故在区间 上 ，
所以 ，即 ，故 ，
所以 的取值范围是 .
4．（23-24高二下·黑龙江大庆·）已知函数 ， 为 的导
数．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）证明： 在区间 上存在唯一零点；
（Ⅲ）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得
，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） .
【分析】（Ⅰ）将 代入 求出切点坐标，由题可得 ，将
代入 求出切线斜率，进而求出切线方程．
（Ⅱ）设 ，则 ，由导函数研究 的单调性进，而得出
答案．
（Ⅲ）题目等价于 ，易求得 ，利用单调性求出 的最小值，
列不等式求解．
【详解】（Ⅰ） ，所以 ，即切线的斜率 ，且
，从而曲线 在点 处的切线方程为 .
（Ⅱ）设 ，则 .
当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，在
单调递减.
又 ，故 在 存在唯一零点.
所以 在 存在唯一零点.
（Ⅲ）由已知，转化为 ， 且 的对称轴 所以
.
学科网（北京）股份有限公司由(Ⅱ)知， 在 只有一个零点，设为 ，且当 时， ；当
时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
又 ，所以当 时， .
所以 ，即 ，因此， 的取值范围是 .
【点睛】导数是高考的重要考点，本题考查导数的几何意义，利用单调性解决函数的恒成
立问题，存在性问题等，属于一般题．
5．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若 ，且对 ，都 ，使得 成立，求
实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用导数研究 单调性，注意构造中间函数
判断 的符号；
（2）构造 研究其单调性证 在 上恒成立，再
应用导数研究 在 上的最大值，结合已知恒能成立有 即可求范围.
【详解】（1）因为函数 ，所以 ．
设 ，则 ，故 在 上递减．
，即 ，
在 上单调递减，最小值为 ．
（2）令 ，则 在 上恒成立，
学科网（北京）股份有限公司即函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即 在 上恒成立；
又 ，当 时 ，
在区间 上单调递增；
在区间 上单调递减．
函数 在区间 上的最大值为 ．
综上，只需 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
题型三：双变量等式有解问题
1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数
(1)当 时，解不等式 ；
(2)已知 ，当 时，若对任意的 ，总存在 ，使
成立，求正实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
（2）先求 和 在区间 上的值域，然后列不等式组来求得 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
由 ，
解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
（2）当 时， ，
对称轴为 ，且 ， ，
所以对任意的 ， .
学科网（北京）股份有限公司时， 是增函数， ，
由 得 ，
若对任意的 ，总存在 ，使 成立，
所以 ，解得 ，
所以正实数 的取值范围是 .
2．（23-24高二上·浙江·期中）函数 ， .
(1)当 时，总有 成立，求实数 的取值范围；
(2)若 ，对 ， ，使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意 恒成立，采用变量分离法得 ，求解出
的最大值，从而得解；
（2）根据题意可得出， 在 上的值域为 在 上的值域的子集，根据
子集运算规则解得参数 的取值范围.
【详解】（1）解：由 得 ，
当 时，此时 ；
当 时， ，
因为 ，故 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，即 时等号成立，
故 ；
综合得： ；
（2）记 ， ，
因为对 ， ，使得 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
当 时， 在 上单调递增，
所以 ，
故 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，
故 .
3．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数 ， .
(1)若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围；
(2)若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范
围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数 在 上单调递减，由函数 在区间 上存在
零点，得 即可解决；
（2）记函数 ， 的值域为集合 ， ， 的
值域为集合 ，则对任意的 ，总存在 ，使得 成立
，又 ， 的值域分 ， ， 求解，即可解
决.
【详解】（1）由题知， ，
因为 的图象开口向上，对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递减
因为函数 在区间 上存在零点，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
学科网（北京）股份有限公司（2）记函数 ， 的值域为集合 ，
， 的值域为集合 ，
则对任意的 ，总存在 ，使得 成立 ，
因为 的图象开口向上，对称轴为 ，
所以当 ，
， ，
得 ，
当 时， 的值域为 ，显然不满足题意；
当 时， 的值域为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ；
当 时， 的值域为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 .
4．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么
该函数在 上是减函数，在 上是增函数.
(1)已知 ， ，利用上述性质，求函数 的值域；
(2)对于（1）中的函数 和函数 ，若对任意 ，总存在 ，
使得 成立，求实数 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，则有 ， ，再根据给定的性质即可求
解；
（2）求出 的值域，根据题意易得 的值域是 的值域的子集，由此
列出不等式组，求解即可得出 的范围.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）依题意，
，
设 ， ，则 .
令 ， .
由已知性质得，当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
又∵ ， ， ，
∴ .
∴ 的值域为 .
（2） 为减函数，
故 ， .
由题意得，当 时， 的值域是 的值域的子集，
∴ 解得 .
【点睛】本题考查了函数的单调区间和值域的求法，函数的任意和存在性问题的解法以及
化简运算能力，属于中档题.
三、专项训练
1．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知________，且函数 .①函数
在 上的值域为 ；②函数 在定义域
上为偶函数.请你在①②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整.
(1)求a，b的值；
(2)求函数 在R上的值域；
(3)设 ，若 ， 使得 成立，求c的取值范围.
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)
(3)
【分析】（1）根据所选条件，利用函数的单调性和奇偶性求a，b的值；
（2）根据函数解析式，利用函数奇偶性结合基本不等式，求函数 在R上的值域；
（3）由已知条件 ，分类讨论即可求解.
【详解】（1）选①函数 在 上的值域为 ，
，函数 在 上单调递增，可得 ，解得 ．
选②函数 在定义域 上为偶函数，
可得 ，解得 .
所以 .
（2） ，函数定义域为R，因 ， 则 为奇函数．
当 时， ，由 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ；
当 时，因为 为奇函数，所以 ；
当 时， ；
所以 的值域为 .
（3）若 ， 使得 成立，则有 ，即
，
当 时， ，不合题意；
当 时， 在 上单调递增， ，解得 ；
当 时， 在 上单调递减， ，解得
；
学科网（北京）股份有限公司所以c的取值范围为 .
2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数 ，
，
(1)若对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值
范围；
(2)若不等式 对 及 都成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意 在 上的值域是 在 上的值域的子集，通过分类讨
论函数单调性，求解函数最值，解不等式组求出实数 的取值范围.
（2） 在 为单调增函数，所以 ，由 对任
意 都恒成立，求解t的取值范围.
【详解】（1）由题意 在 上的值域是 在 上的值域的子集，即
，
函数 在 上是增函数， ， ，
函数 图像开口向上，对称轴为直线 ，
①当 时，函数 在 上为增函数， ，
，∴ ， 此时无解；
②当 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
， ， ， 此时无
解；
③当 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
， ， ，解得
学科网（北京）股份有限公司；
④当 时，函数 在 上为减函数， ，
，∴ ， 解得 ；
综上所述，实数a的取值范围是 .
（2）由题意知， 对任意 都恒成立，
由 在 为单调增函数，所以 ，
即 对 都恒成立，
，解得 ，即t的取值范围为 .
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知________,且整数 .
①函数 在定义域为 上为偶函数;
②函数 在区间 上的值域为 .
在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出 的值,并解答本题.
(1)判断 的奇偶性,并证明你的结论;
(2)设 ,对任意的 ,总存在 ,使得 成立,求实数 的取
值范围.
【答案】(1)奇函数,证明见解析;
(2)
【分析】(1) 选①时,根据偶函数性质,定义域关于原点对称,图像关于 轴对称,求出 ,
选②时,根据 单调性,代入函数值可求出 ,
根据两种情况下所求出的 的值,代入 中,利用奇偶函数的定义证明奇偶性即可;
(2)由(1)结论求出 在R上的值域,再求出 在 的值域,因为 , ,
使得 成立,只需 值域是 值域的子集即可,进而求出 的取值范围.
【详解】（1）解:当选①时:因为 在定义域为 上为偶函数,
所以 ,所以 ,
学科网（北京）股份有限公司且 为偶函数,所以
故
所以 , ;
当选②时:因为 单调递增,
在区间 上的值域为 ,
所以
即 ,
解得 ,
综上: .
因为 ,
所以 ,
所以 ,
故 ,
所以 是奇函数;
（2）解:由(1)知, ,
当 时, ,当且仅当 时成立,
所以 ,
即 时, ,
当 , ,
因为 是奇函数,
所以即 时, ,
综上: ,
学科网（北京）股份有限公司记 值域为集合 ,
,
,
记 值域为集合 , ,
, ,使得 成立,
,
,
.
4．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函
数，且 ．
(1)若关于 的方程 的两根满足一根大于1，另外一根小于1，求实数
的取值范围；
(2)已知函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成
立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇偶性求得参数值，设 ，则函数 的图象开口向
上，
，从而得到实数 的取值范围；
（2）对任意 ，总存在 ，使得 成立等价于 的值域是
值域的子集.
【详解】（1） 是 上的奇函数， ，即 ，又 ，
．
即关于 的方程 的两根满足一根大于1，另外一根小于1，
学科网（北京）股份有限公司设 ，则函数 的图象开口向上，
∴ ，即 ，∴实数 的取值范围是 ；
（2）由（1）知 ， ，
当 时， ，
当 时， ，此时 ，∴ ，
当 时， ，此时 ，∴ ，
综上， 的值域 ；
∵ ， ，∴ 的值域 .
∵对任意 ，总存在 ，使得 成立，
∴ ，即 ，所以 ，
实数 的取值范围为 ．
5．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知函数 （ 为常数）
(1)讨论函数 的单调性；
(2)不等式 在 上有解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增，当 时， 在 上单调递
增，在 上单调递减
(2)
【分析】（1）根据导函数的解析式，对参数分类讨论结合导函数的符号即可求解；
（2）根据不等式的有解性问题，分离参数、构造新函数求出新函数的最值即可秋求解.
【详解】（1） 的定义域为 ，
，
当 时， ， ，所以 在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司当 时，令 ，解得 ，
若 ，则 ，所以 在 上单调递增，
若 ，则 ，所以 在 上单调递减，
综上，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
（2） 在 上有解，
在 上有解，
在 上有解，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
且 ，
所以 ，所以 ，
故实数 的取值范围是 .
6．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)判断函数 在区间 上的单调性；
(3)是否存在 ，使得 成立，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说
明理由.
【答案】(1) ；
(2)递增；
(3)存在， .
【分析】（1）求出函数 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）由导数值恒正判断函数 单调递增.
学科网（北京）股份有限公司（3）假定存在，分离参数构造函数 ，利用导数探讨最大值即可得
解.
【详解】（1）函数 ，求导得 ，
则 ，而 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）当 时， ， ，因此 ，
所以函数 在区间 上的单调递增.
（3）假定存在 ，使得 成立，即存在 ，不等式 成
立，
令 ，求导得 ，
令 ，求导得 ，即函数 在 上递增，
则 ，即 ，于是 ，而 ，
因此 ，函数 在 上单调递增， ， ，则
，
所以 的取值范围是 .
7．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若 ，且对 ，都 ，使得 成立，求
实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用导数研究 单调性，注意构造中间函数
判断 的符号；
（2）构造 研究其单调性证 在 上恒成立，再
应用导数研究 在 上的最大值，结合已知恒能成立有 即可求范围.
【详解】（1）因为函数 ，所以 ．
设 ，则 ，故 在 上递减．
，即 ，
在 上单调递减，最小值为 ．
（2）令 ，则 在 上恒成立，
即函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即 在 上恒成立；
又 ，当 时 ，
在区间 上单调递增；
在区间 上单调递减．
函数 在区间 上的最大值为 ．
综上，只需 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)设 ．当 时，若对 ， ，使 ，求实
数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导根据极值点的大小关系可得导函数正负区间，进而可得函数单调性；
（2）由（1） 在 上的最小值为 ，再将题意转化为 在 上的最
小值不大于 在 上的最小值 ，进而结合二次函数的最值讨论即可.
【详解】（1）∵ ，∴
，
令 ，可得两根分别为1， ，
∵ ，∴
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减．
（2） ， ，由（1）知，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
∴ 在 上的最小值为 ．
对 ， ，使 ，即
在 上的最小值不大于 在 上的最小值 ，（*）
又 ，
∴①当 时， ，此时与（*）矛盾；
②当 时， ，同样与（*）矛盾；
③当 时， ，且当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司解不等式 ，可得 ，
∴实数b的取值范围为 ．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，当 时，
， ，若 ， ，使 成立，求实数m的取
值范围．
【答案】
【分析】将 ， ，使 成立，等价为 ，再求出
和 ，代入化简求解即可．
【详解】将 ， ，使 成立，等价为 ，
由 ， ，则 ，
又 ，且 ，则 ，
则当 时， ；当 时， ，
所以 在区间 上单调递减；在区间 上单调递增，
所以 ．
又 ， ，则 ，
又 ， ，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，
又 ，则 ，解得 ，
故m的取值范围为 ．
10．（23-24高二下·重庆綦江·期中）已知函数 （ ），
（ ）．
(1)若函数 在 处的切线方程为 ，求实数 与 的值；
(2)当 时，若对任意的 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范
围．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）求导，由导函数几何意义得到方程，求出 ，从而得到 ，
代入切线 中，求出答案；
（2）转化为 时， ，求导得到 的单调性，求出 ，
再分三种情况求出 ，得到不等式，求出 的取值范围.
【详解】（1） ，由 得 ，
∴ ， ，
即切点为 ，代入方程 得 ，
所以 ， ；
（2）由题意可得 时， ．
∵ 时， 在 恒成立，
故 在 为增函数，
∴ ，
．
①当 时， 在区间 上递增，所以 ，
由 解得 ，舍去；
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
故 ，解得 或 ，
∴ ；
③当 时， 在区间 上递减，所以 ，
由 解得 ，∴ .
学科网（北京）股份有限公司综上， .
11．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知 ．
(1)讨论 的单调性和极值；
(2)若 时， 有解，求 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数， ，讨论 和 两种情况讨论
函数的单调性和极值；
（2）首先不等式参变分离为 ，在 时有解，再构造函数
， ，转化为利用导数求函数的最大值.
【详解】（1） ，
当 时， 恒成立，函数在区间 上单调递减，无极值；
当 时，令 ，得 ，
，得 ，函数在区间 上单调递减，
，得 ，函数在区间 上单调递增，
当 ，函数取得极小值 ，
综上可知， 时，函数的单调递减区间是 ，无增区间，无极值；
时，函数的单调递增区间是 ，单调递减区间 ，极小值 ，无极大
值.
（2）由题意可知， ， 时有解，
则 ，在 时有解，即 ，
设 ， ，
学科网（北京）股份有限公司，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 的最大值为 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 .
12．（2023·青海西宁·二模）设函数 ．
(1)若函数 在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)当 时，设函数 ，若在[ 上存在 ， 使 成立，求
实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意 在 上恒成立，进一步化为 在 上恒成
立，利用基本不等式求右侧最值，即可得范围；
（2）由题意 时 ，求 最小值，利用导数并讨论参数a研究
区间单调性确定最大值，即可求范围.
【详解】（1）因为函数 在其定义域上为增函数，即 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
又 （仅当x＝1时取等号），故a的取值范围为 ；
（2）在 上存在 ， ，使 成立，即当 时 ，
又 ，所以当 时， ，
即函数 在区间 上单调递增，故 ，
由（1）知 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，又 的判别式 ，
①当 时 ，则 恒成立，即 在区间 上单调递增，
故 ，故 ，即 ，得 ，
又 ，所以 ；
②当 时 ， 的两根为 ， ，
此时 ， ，故函数 在区间 上是单调递增．由①知 ，所以
综上，a的取值范围为 ．
13．（23-24高二上·河南·期末）已知函数 在 处取得极值 ．
(1)求a，b的值；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】
（1）根据已知条件可知得 求解即可.
（2）运用分离参数求最值解决存在性问题，再运用导数研究函数的最值即可.
【详解】（1）
，
因为函数 在 处取到极值 ，
所以 ，即 ，解得 ．
经检验，当 ， 时， 在 处取到极值，所以 ， ．
（2）
因为存在 ，使得 成立，所以 ，
由（1）知 ， ，
令 ，得 或 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
又 ，所以 ，所以 ．
所以实数t的取值范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司
