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专题05 解析几何（解答题10种考法）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 定点
【例1-1】（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点 为双曲线
上一点， 的左焦点 到一条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)不过点 的直线 与双曲线 交于 两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线
过定点，并求该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为 .
【解析】（1）设 到渐近线 ，即 的距离为 ，
则 ，结合 得 ，
又 在双曲线 上，所以 ，得 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）联立 ，消去 并整理得 ，
则 ， ，即 ，
设 ， ，
则 ， ，
则
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
所以 ，
因为直线 不过 ，即 ， ，
所以 ，即 ，
所以直线 ，即 过定点 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在
上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）由题意可知：直线 的斜率存在，设 ，
联立方程 ，消去y得： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，解得 ，
可得 ，
因为 ，则直线 ，
令 ，解得 ，即 ,
同理可得 ，
则
，
所以线段 的中点是定点 .
【例1-3】（2023·江西九江·统考一模）已知过点 的直线 与抛物线 交于 两点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】过线段 的中点 作直线 轴，垂足为 ，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为 上异于点 的任意一点，且直线 与直线 交于点 ，证明：以 为直径的圆
过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，可设直线 的方程为 ，
将 代入 ，消去 得 ，
设 ， ，则 ， ，
是线段 的中点，
， ，
即 ， 又 轴，
垂足 的坐标为 ，
则 ， ，
，
对任意的 恒成立，
，又 ，解得 ，
故抛物线 的方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
设 ， ， ，由（1）可知，
， ，
则 ，直线 的方程为 ，
令 ，则 ，
，同理 ，
由抛物线的对称性可知，若以线段 为直径的圆过定点，则定点必在 轴上，
设该点坐标为 ，
则 ， ，且 ，
，
，
或 ，
以 为直径的圆过定点 和 .
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为： .
（2） ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，综上，可得直线HN过定点
2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率是 ，上、下顶点分别为
， .圆 与 轴正半轴的交点为 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与圆 相切且与 相交于 ， 两点，证明：以 为直径的圆恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得 ， ， .
则 ， ， ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，又 ，所以 ， .
故 的方程为 .
（2）当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，即 .
因为直线 与圆 相切，所以 ，即 .
设 ， ，则 ， .
由 化简，得 ，
由韦达定理，得
所以 ，
所以 ，
故 ，即以 为直径的圆过原点 .
当直线 的斜率不存在时， 的方程为 或 .
这时 ， 或 ， .
显然，以 为直径的圆也过原点 .综上，以 为直径的圆恒过原点 .
3（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 的焦距为2，圆 与椭圆 恰有
两个公共点．
(1)求椭圆 的标准方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)已知结论：若点 为椭圆 上一点，则椭圆在该点处的切线方程为 ．若椭圆
的短轴长小于4，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，求证：直线 过定点．
【答案】(1) 或
(2)证明见解析
【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ．当圆 在椭圆 的内部时， ，椭
圆 的方程为 ．
当圆 在椭圆 的外部时， ，
椭圆 的方程为 ．
（2）证明：设 ．
因为椭圆 的短轴长小于4，所以 的方程为 ．
则由已知可得，切线 的方程为 的方程为 ，
将 代入 的方程整理可得，
．
显然 的坐标都满足方程 ，
故直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即直线 过定点 ．
考法二 定值
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆 的左、右焦点
为 ， ，离心率为 ．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线 、 分别与椭圆C交于点
A、B， 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ， ，求证： 为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
由离心率为 得 ，从而 ，
所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）
设 ， ，则 ，
可设直线PA的方程为 ，其中 ，
联立 ，化简得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，同理可得， ．
因为 ， ．
所以
，
所以 是定值 .
【变式】
1．（2023·河北保定·统考二模）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭
圆 经过点 ，
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 是椭圆上不同于点 的两个动点，直线 与 轴围成底边在 轴上的等腰三角形，证明：直
线 的斜率为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设椭圆的方程为 根据题意得 ，解得 故所求椭圆方
程为
（2）如下图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设直线 交该椭圆 与 两点．
将 代入
得
所以
由直线 能与 轴共同围成底边在 轴上的等腰三角形，
可得 ，
即
整理得 ，
即 即 ，
所以当 时，不论 为何值时 都成立，
所以直线 与 轴共同围成底边在 轴上的等腰三角形时直线 的斜率为定值
2．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆 的左、右焦点为
，离心率为 .点 是椭圆 上不同于顶点的任意一点，射线 分别与椭圆 交于点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的周长为8.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 ， ， 的面积分别为 .求证： 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：因为 的周长为 ，即
所以 ，可得 ，
由椭圆的离心率 ，可得 ，从而 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）证明：设 ，则 ，
可设直线PA的方程为 ，其中 ，
联立方程 ，整理得 ，
则 ，
同理可得， ．
因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以
所以 是定值．
3.（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过
， ， ， 四点中的两点.
(1)求抛物线T的方程：
(2)已知圆 ，过点 作圆的两条切线，分别交抛物线T于 ，
和 ， 四个点，试判断 是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，
请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值16．
【解析】（1）抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过 ， ， ， 四点中
的两点，由对称性，点 和点 不可能同时在抛物线T上，点 和点 也不可能同时
在抛物线T上，则抛物线只可能开口向上或开口向右，
设 ，若过点 ，则 ，得 ，
∴ ，抛物线过点 ，∴ 符合题意；
设 ，若过点 ，则 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，但抛物线不过点 ，不合题意．
综上，抛物线T的方程为 ．
（2） ，设直线 ，即 ，
由AB与圆相切得 ，∴ ，
设 ，同理可得 ，
∴ 是方程 的两根， ．
联立 ，消y得 ，∴ ，
同理 ，
∴
所以 为定值16．
考法三 定直线
【例3】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】（1）设双曲线方程为 ，由焦点坐标可知 ，
则由 可得 ， ，
双曲线方程为 .
（2）由(1)可得 ，设 ，
显然直线的斜率不为0，所以设直线 的方程为 ，且 ，
与 联立可得 ，且 ，
则 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与直线 的方程可得：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
由 可得 ，即 ，
据此可得点 在定直线 上运动.
【变式】
1．（2023·湖南永州·统考一模）已知点A为圆 上任意一点，点 的坐标为
，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)设轨迹E与 轴分别交于 两点（ 在 的左侧），过 的直线 与轨迹 交于 两点，直
线 与直线 的交于 ，证明： 在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由 得 ，其半径为4，
因为线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，则 ,
而 ，故点 的轨迹 为以 为焦点的双曲线，
则 ，
故点 的轨迹 的方程为 .
（2）证明：由题意知 ，
若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；
故直线l的斜率不能为0，故设其方程为 ，
联立 ，得 ， ，
故 ，
设 ，则直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
即 ，解得 ，
故直线 与直线 的交点 在定直线上.
2．（2023·江苏常州·校考一模）已知椭圆 ： 的短轴长为 ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 与椭圆 相交于不同的 两点，在线段 上取点 ，满足 ，
证明：点 总在某定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意可知 ，因为 ，所以解得 ， ．
所以所求椭圆的方程为
（2）设 ， ， ， ，
直线 的斜率显然存在，设为 ，则 的方程为 ．
因为 ， ， ， 四点共线，不妨设 ，
则 ， ， ， ，
由 ，可得 ，
化简得 ．（*）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立直线 和椭圆的方程，得 ，
消去 ，得 ，
，得 ，
由韦达定理，得 ， ．代入（*）
化简得 ，即 ．
又 ，代入上式，得 ，化简得 ．
所以点 总在一条定直线 上．
考法四 最值
【例4】（2023·全国·统考高考真题）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 可得， ，所以 ，
所以 ，
即 ，因为 ，解得： ．
（2）因为 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ： ， ，
由 可得， ，所以， ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
亦即 ，
将 代入得，
， ，
所以 ，且 ，解得 或 ．
设点 到直线 的距离为 ，所以 ，
，
所以 的面积 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 或 ，所以，
当 时， 的面积 ．
【变式】
1．（2023·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合
百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点
满足 .
(1)化简曲线 的方程；
(2)已知圆 （ 为坐标原点），直线 经过点 且与圆 相切，过点A作直线 的垂
线，交 于 两点，求 面积的最小值.
【答案】(1) ；
(2)
【解析】（1）
，由 得
．
所以曲线 的方程是 ；
（2）设 ，直线 方程是 ，则直线 方程为 ，即 ,
直线 与已知圆相切，所以 ，则 ，
由 得， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意 （∵ ），
， ，∴ 或 ，
，
又原点 到直线 的距离为 ，
∴ ，
由 或 得 ，设 ，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
∴ 时， ，
∴ ，即 时， ．
2．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆 ，点 ，斜率不为0的直线 与椭圆 交于点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】与圆 相切且切点为 为 中点.
(1)求圆 的半径 的取值范围；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）如图所示，
由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为 （ ）， ， ，设圆N
的半径为r，
，
，
， ，
所以 ，
又因为M为 的中点，所以 ，
又因为圆N与直线l相切于点M，所以 ，且 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，解得 ，
所以 ，
，解得： ，
所以 （ ），
所以 ，即 ，
所以圆N的半径r的取值范围为 .
（2）由（1）知， ，
所以 （ ），
令 ，则 （ ），
所以 ，
显然 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 ，
故 的取值范围为 .
3．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线 实轴的一个端点是 ，虚轴的一个端
点是 ，直线 与双曲线的一条渐近线的交点为 .
(1)求双曲线的方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若直线 与曲线 有两个不同的交点 是坐标原点，求 的面积最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设点 ，点 ，则直线 的方程为 ，
与渐近线 联立，得 ，解之得 ，
即直线 与双曲线的一条渐近线交点为 ，
又直线 与双曲线的一条渐近线的交点为 ，
所以 ，即 ，因此双曲线方程为 .
（2）
设 ，把 代入 ，
得 ，
则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
点 到直线 的距离 ，所以 的面积为
，
令 ，所以 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，由 ，得 ，由 ，
得 ，由 ，得 ，
即当 时，等号成立，
此时满足 ，所以 面积的最小值为 .
考法五 轨迹问题
【例5】（2023·湖南·校联考二模）已知 为双曲线 的左右焦点，且该双曲线离
心率小于等于 ，点 和 是双曲线上关于 轴对称非重合的两个动点， 为双曲线左右顶点，
恒成立．
(1)求该双曲线 的标准方程；
(2)设直线 和 的交点为 ，求点 的轨迹方程．
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【解析】（1）设双曲线 的焦距为 ，
由 及双曲线的定义，得 ，解得 ，
由 可得 ，
又 恒成立，所以 ，解得 ．
因为该双曲线离心率小于等于 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，则 ，
所以双曲线 的标准方程为 ．
（2）因为 ，所以点 只能在双曲线的右支上，
设 ，则 ，
因为 在双曲线上，所以 ，
易得 ，所以直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ①，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】同理可求得直线 的方程为 ②，
由①×②得 ③，
将 代入③得 ，化简得 ，
令①=②即 ，化简得 ，
因为 ，所以 ，
即点 的轨迹方程为 ．
【变式】
1（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点 的直线交双曲线
于 两点，曲线 的左右顶点分别为 ，虚轴长与实轴长的比值为 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)如图，点 关于原点 的对称点为点 ，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，
求 的轨迹方程．
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【解析】（1）由题意得 ，又 ，则 ，曲线 的方程为 ；
（2）设直线 的斜率分别为 ，直线 为 ，
由 ，得 ，
，
，
则
，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于点 关于原点 的对称点为点 ， ，
则直线 为 ，直线 为 ，显然 ，
由 ，得 ，
即 ，
则直线 的方程为 ，
由 得 ，即 ，
当 时，由对称性可知 在 轴上，
此时直线 平行于直线 ，不符合题意，
故 的轨迹方程为 ．
2．（2023·江西·校联考二模）已知过曲线 上一点 作椭圆 的切线 ，则切线
的方程为 .若 为椭圆 上的动点，过 作 的切线 交圆 于 ，
过 分别作 的切线 ，直线 交于点 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)已知 为定直线 上一动点，过 的动直线 与轨迹 交于两个不同点 ，在线段 上取一点 ，
满足 ，试证明动点 的轨迹过定点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设点 ，由题意知切线 的方程为 ，
同理，设点 ，
则切线 的方程分别为： ，
又点Q在直线 上，所以 ，
所以直线 的方程为： ，和 比较可得 ，
又 在曲线 上，即 ，
所以 ，即点Q的轨迹E的方程为 ；
（2）设点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则由 知 ，设 ，则 且 ，
则： ，
即 ， ，
整理可得 且 ，
又 在曲线E上，则 ，
故 ，
所以
，
所以 ，
即 ，由于 ,故 时， ，
所以动点T的轨迹过定点 .
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知椭圆C： ，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)点 为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为 ，
试探究直线l是否过定点，并说明理由；
(2)若 ．过点O作 ，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．
【答案】(1)直线l过定点 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【解析】（1）直线 过定点 ，下面证明：
设 ， ， ，
又 ， ，∴ ，
∴直线 过原点满足 ．
又当PA两点固定时 为定值，有且仅有一个斜率值与之相乘之积为 ，
则直线 重合，则 重合，
∴直线l过定点 ．
（2）设 ， ， ，不妨设 ，
∴ ， ，又点A，B在椭圆上，
∴ ， ，
∴ ， ，两式相加得 ，
由 ，
得 ，
∴点Q的轨迹是以点O为圆心以 为半径的圆，
∴点Q的轨迹方程为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法六 长度比值
【例6】（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲
线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个
定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成
比例的结论．如图所示，抛物线 ，其中 为一给定的实数.
(1)写出抛物线 的焦点坐标及准线方程；
(2)若直线 与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；
(3)如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：
．
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）焦点为 ，准线为 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）将 代入 ，
化简得 （*），
方程（*）的判别式 ，
化简得 ，解得 ；
（3）设 ，
设抛物线 在 点处的切线方程为 ，
由 ，消去 并化简得 ，
，
， ，
解得 ，故切线方程为 ，
， ，即 ，
同理可求得抛物线 上过点B，C的切线方程分别为：
， ，
联立 ，解得 ，即 ，
同理可得 ， ，
因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
所以 ．
【变式】
1．（2023·云南·校联考三模）如图，已知椭圆 的上、下顶点为 ，
右顶点为 ，离心率为 ，直线 和 相交于点 ，过 作直线交 轴的正半轴于 点，交椭圆于
点，连接 交 于点 .
(1)求 的方程；
(2)求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意可得 ， ，又 ，解得 ，所以 的方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）在椭圆 中 ， ，所以 ， ，
设直线 （ ），直线 （ ），
因为直线 与直线 相交于点 ，由 ，解得 ，所以 ，
又点 在椭圆上，所以 ，整理得 ，
因为直线 交 轴正半轴于 点，令 得 ，即 ，
又因为 ，所以 ， ，所以 ，
因为直线 交 于点 ，令 得 ，故 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 .
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过 的直
线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为 .
(1)求C的方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)证明： 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）根据题意有 ，C的一条渐近线方程为 ，
将 代入C的方程有 ， ，
所以M，N到直线 的距离之和为 ，
所以 ，C的方程为 .
（2）
方法1：当l垂直于x轴时，由（1）可知， ，
且由双曲的定义可知 ，故 .
当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知 ， ，
故 .
设 ，代入C的方程有： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ， ，则 ， ，
所以
，
所以 .
综上， 的值为6.
方法2：当l垂直于x轴时，由（1）可知， ，
且由双曲的定义可知 ，
故 .
当l不垂直于x轴时，设 ，
代入C的方程有： .
设 ， ，则 ， ，
所以 .
综上， 的值为6.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法七 存在性
【例7】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆 经过点 ，过点
的直线交该椭圆于 ， 两点.
(1)求 面积的最大值，并求此时直线 的方程；
(2)若直线 与 轴不垂直，在 轴上是否存在点 使得 恒成立？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由.
【答案】(1) 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 或 ；
(2)存在，
【解析】（1）将 代入椭圆方程，
得到 ，故 ，
故椭圆方程为 .
当直线 的斜率为0时，此时 三点共线，不合要求，舍去；
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，
与椭圆方程 联立，得 ，
设 ，则 ，
则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 面积的最大值为 ，
此时直线 的方程为 或 .
（2）在x轴上存在点 使得 恒成立，
理由如下：
因为 ，所以 ，即 ，
整理得 ，
即 ，
所以 ，
则 ，解得 ，
故在x轴上存在点 ，使得 恒成立.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】
1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆 的离心率为 ，过椭圆焦点并
且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，与 轴相交于 点，若存在实数 ，使得 ，
求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为该椭圆的离心率为 ，所以有 ，
在方程 中，令 ，解得 ，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有 ，由 可得： ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）当直线 不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线 存在斜率时，设为 ，所以直线 的方程设为 ，
于是有 ，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有 ，
化简，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，于是有 ，
因为 ，
所以 ，
代入 中，得 ，
于是有 ，
化简，得 ，代入 中，得
.
2．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点 到定点 的距离与动点 到定直线 的距离之比
为 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)对 ，曲线 上是否始终存在两点 ， 关于直线 对称？若存在，求实数 的取值范围；
若不存在，请说明理由．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)存在，
【解析】（1）设 ，则 ，
即 ，整理得 ，
所以点 的轨迹 的方程为 ．
（2）假设曲线 上始终存在两点 ， 关于直线 对称，
当 时，设直线 方程为 ， ， ，
联立 ，整理得 ，
则 ，
所以 ， ．
设 的中点为 ，
则 ， ，
将 代入 ，则 ，
所以 ，所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，则 ．
易知当 时，曲线 上存在两点，关于直线 对称．
所以 的取值范围为 ．
3．（2023·四川成都·模拟预测）已知椭圆 的中心为O，左、右焦点分别为 ， ，
M为椭圆C上一点，线段 与圆 相切于该线段的中点N，且 的面积为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点 ，且四边形 是平行四边形？
若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）连接 ，则 ，
因为 为 的中点， 为 的中点，所以 ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，解得 ，
由椭圆定义可知， ，解得 ，
由勾股定理得 ，即 ，解得 ，
故 ，
故椭圆方程为 ；
（2）由题意得 ，当直线 的斜率不存在时，即 ，
此时 ，解得 ，设 ，
由于 ，由对称性可知， 为椭圆左顶点 ，但 ，故不合要求，舍去，
当直线 的斜率存在时，设为 ，
联立 得， ，
，
设 ，则 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 中点坐标为 ，
假设存在点P，使得四边形 是平行四边形，则 ，
将 代入椭圆 中，得 ，
解得 ，
此时直线AB的方程为 .
考法八 角度关系转斜率
【例8】（2022·全国·统考高考真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q
两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，即双曲
线 ．
易知直线l的斜率存在，设 ， ，
联立 可得， ，
所以， ， 且 ．
所以由 可得， ，
即 ，
即 ，
所以 ，
化简得， ，即 ，
所以 或 ，
当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，
故 ．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ，由（1）知，
，
当 均在双曲线左支时， ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，解得 （负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当 均在双曲线右支时，
因为 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 （负值舍去），
于是，直线 ，直线 ，
联立 可得， ，
因为方程有一个根为 ，所以 ， ，
同理可得， ， ．
所以 ， ，点 到直线 的距离 ，
故 的面积为 ．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为 ， ，由 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
联立 ，及 得 ， ，
同理， ， ，故 ，
而 ， ，
由 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故
【变式】
1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知点P是平面直角坐标系 异于O的任意一点过点P作直线
及 的平行线，分别交x轴于M，N两点，且 ．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)在x轴正半轴上取两点 ，且 ，过点A作直线l与轨迹C交于E，F两点，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，
设点P坐标为 ，则根据题意，得 ，
由 得： ，
化简得： ，所以轨迹C的方程为：
（2）由题意，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当直线l的斜率不存在时，根据椭圆的对称性， 成立．
当直线l的斜率存在，由题意，设直线l的方程为： 、 、 ，
由 得： ，
有 得： ，且 ， ，
则 ，
又 ，
因为 ，
所以 ，则 ．
综上所述， ．
2．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知椭圆 的三个顶点所确定的三角形的面积为
， （ 是 的离心率）是 上一点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 两点，设 ，直线 与 分别交于 （不同于 ）两
点，当 时，记直线 的倾斜角分别为 ， ，求 的最大值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
【解析】（1）依题意可得 ，得 ，得 ，
得 ，得 ，得 ，得 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
因为 在椭圆内，所以判别式恒大于 ，
， ，
当 时，直线 ： ，
联立 ，消去 并整理得 ，
因为 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 在椭圆内，所以判别式恒大于 ，
， ，
，
所以 ，
当 时，直线 ： ，易得 ，也满足，
故 ，同理可得 ，
所以
，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，又 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点九 三点共线
【例9】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线交抛
物线 于 两点，当 平行于 轴时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为坐标原点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线与抛物线 的另一
交点为 的中点为 ，证明： 三点共线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ，
当 平行于 轴时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
，解得 ，
所以，抛物线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为直线 的方程为 ，
将 代入直线 的方程可得 ，可得 ，即点 ，
所以， ，
因为 ，则 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，
故 ，则 ，
由 的中点为 ，可得 ，
故 、 、 三点共线．
【变式】
1．（2022秋·云南昆明 ）过抛物线 ： 上一动点 作x轴的垂线，记垂足为 ，设线段 的中
点为 ，动点 的轨迹为曲线 ，设 为坐标原点
(1)求曲线 的方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)过抛物线 的焦点 作直线与曲线 交于 两点，设抛物线 的准线为 ，过点 作直线 的垂线，记
垂足为 ，证明： 、 、 三点共线，
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：设 ，则 ， ，
因为 是 的中点，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以曲线C的方程 ；
（2）证明：由题意得 ，准线 ，
设点 ， ，则
设过抛物线 的焦点 的直线为
当 时，则 ， ， ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
因为 过原点 ，所以 、 、 三点共线；
当 时，联立方程 ，化简得 ，
则 ，且 ，
直线 的方程为 ，
将 代入 的方程，即当 成立时， 、 、 三点共线.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】下面证明 成立：
因为 ，
欲证 成立，
只需证 成立，
即证 成立，
即证 成立，
又 ，所以
所以 成立，
所以 、 、 三点共线.
2．（2023·江苏镇江）已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于两点 、
，其中 ，且 .
（1）求该抛物线的方程；
（2）设O为坐标原点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为C，证明：B、O、C三点共线.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为 ，故直线 的方程为 ，
联立 ，可得 .
∵ ， ， ，解得 .
∴经过抛物线焦点的弦 ，解得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴抛物线方程为 ；
（2）由（1）知A点的坐标为 ，B点的坐标为 ，
过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为C，则C点的坐标为 ，
，又直线 与直线 有一个公共点O，
所以B、O、C三点共线.
3．（2023·江苏南京）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： 的准线方程为 ： .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 的焦点 作直线与抛物线相交于 ， 两点，过点 作直线 的垂线，交 于点 ，求证：
， ， 三点共线.
【答案】(1) ；(2)证明见详解.
【解析】（1）因为抛物线 的准线方程为 ： ，
故可得 ，解得 .
故抛物线方程为 .
（2）由（1）中抛物线方程可得 ，
设 坐标分别为 ，
故可设直线 方程为 ，联立抛物线方程可得：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ；
又根据抛物线定义可知 点坐标为 ，
故可得
.
故可得 斜率相同，且有公共点 ，
故可得 三点共线.即证.
考法十 三角形类型的转化
【例10】（2022·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考三模）已知椭圆 ，左焦点为
，上顶点为 ，直线BF与椭圆交于另一点Q，且 ，且点 在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ， ，M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线 与直线 交于点P，直线
与直线 交于点 .证明： 是等腰三角形.
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）因为 ， ， ，故 ，
故 ，所以 即 ，
而 在椭圆上，故 ，故 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，故椭圆方程为： .
（2）设 ， ，故 ，而 ，
由 可得 ，同理 .
,
因为 在椭圆上，故 ，故 即 ，
而 所以 ，
故 是等腰三角形.
【变式】
1.（2022·浙江·模拟预测）已知直线l： 为双曲线C： 的一条渐近线，且双
曲线C经过点 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求双曲线C的方程；
(2)设A，B是双曲线右支上两点，若直线l上存在点P，使得 为正三角形，求直线AB的斜率的取值
范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）双曲线C： 的渐近线为
直线l： 为曲线C： 的渐近线，所以
即 ，所以双曲线方程为 ，又因为双曲线C经过点 .
即 ，所以 ，所以双曲线方程为：
（2）当 的斜率不存在时，则 为原点，则 ，舍去.
由题意得 的斜率一定不为零，当 的斜率存在时，设方程为 ，点 .把直线方
程代入双曲线方程得：
并且 即
则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故线段 的中点为 ，又 为正三角形， 故
，由正三角形可得
即
则
即 代入 ，若 ，则 ，不满足 ，则
，得
则 ，又 两点在右支上，故 ，则
，解得 .
2．（2023·福建·统考一模）已知椭圆 的离心率为 ，其左焦点为 ．
(1)求 的方程；
(2)如图，过 的上顶点 作动圆 的切线分别交 于 两点，是否存在圆 使得 是以 为斜边
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的直角三角形？若存在，求出圆 的半径；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）由题意设焦距为 ，则 ，
由离心率为 ，所以 ，
则 ，
的方程为 ．
（2）不存在，
证明如下：假设存在圆 满足题意，当圆 过原点 时，直线 与 轴重合，
直线 的斜率为0，不合题意．
依题意不妨设为 ： ，
： ， ， ，圆 的半径为 ，
则圆心到直线 的距离为 ，
即 是关于 的方程 的两异根，
此时 ，
再联立直线 与椭圆方程 得 ，
所以 ，即 ，得
所以 ，同理
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得 ，
由题意， ，即 ，此时
，
所以 ，
因为 ，所以方程无解，命题得证．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
