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专题05 解析几何（解答题10种考法）
1．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ： 的右顶点和
上顶点， ，直线 的斜率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 ，与 ， 轴分别交于点 ， ，与椭圆相交于点 ， .
（i）求 的面积与 的面积之比；
（ⅱ）证明： 为定值.
2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别为
是椭圆的中心，点 为其上的一点满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设定点 ，过点 的直线 交椭圆 于 两点，若在 上存在一点 ，使得直线 的斜率与直线
的斜率之和为定值，求 的范围．3（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点分别为
，长轴长为短轴长的2倍，点 在 上运动，且 面积的最大值为8．
(1)求 的方程；
(2)若直线 经过点 ，交 于 两点，直线 分别交直线 于 ， 两点，试问
与 的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
4．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且直线 是
抛物线 的一条切线．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 交椭圆 于 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点 ，使得以
为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）椭圆E的方程为 ，左、右顶点分别为
， ，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P
(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若 ，求 的长；
(2)若直线l过点 ，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线 与直线 交于点M，试问点
M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．
6．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为 ，
， 分别为椭圆 的左、右顶点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 为定值；
(3)在（2）的条件下，直线 与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上.
7．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线 ．
(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．
(2)设 ，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线 与曲线C交于不同的
两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不
是，说明理由．
8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，且E的渐近线方程为 ．
(1)求E的方程；(2)过 作两条相互垂直的直线 和 ，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积
的最小值．
9．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线 的离心率为 ，点 ，
分别是其左右焦点，过点 的直线交双曲线的右支于P，A两点，点P在第一象限.当直线PA的斜
率不存在时， .
(1)求双曲线的标准方程.
(2)线段 交圆 于点B，记 ， ， 的面积分别为S，S，S，求
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的最小值.10．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，
焦点到渐近线的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过双曲线 的右焦点 作互相垂直的两条弦（斜率均存在） 、 .两条弦的中点分别为 、 ，那
么直线 是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 ， ，A，B分别是C的右、上顶点，且 ，D是C上一点， 周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦 过 ，直线 ， 分别交直线 于M，N两点，P是线段 的中点，证明：以 为
直径的圆过定点.12．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知抛物线 ： ，过点 作斜率互为相反数的直线 ，
分别交抛物线 于 及 两点．
(1)若 ，求直线 的方程；
(2)求证： ．
13．（2023·广东梅州·统考三模）已知双曲线 的右焦点，右顶点分别为 ， ，
， ，点 在线段 上，且满足 ，直线 的斜率为1， 为坐标原点.
(1)求双曲线 的方程.
(2)过点 的直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，在 轴上是否存在与 不同的定点 ，使得恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
14．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，过右焦点 且平行
于 轴的弦 ．
(1)求 的内心坐标；
(2)是否存在定点 ，使过点 的直线 交 于 ，交 于点 ，且满足 ？若存在，
求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
15（2023·广东佛山·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点， ， ， 为线
段 上异于 的一动点，点 满足 .(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)点 是曲线 上两点，且在 轴上方，满足 ，求四边形 面积的最大值.
16．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆 过点
，且左焦点为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2) 内接于椭圆 ，过点 和点 的直线 与椭圆 的另一个交点为点 ，与 交于点 ，满足
，求 面积的最大值.
17．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆 过点，且左焦点为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2) 内接于椭圆 ，过点 和点 的直线 与椭圆 的另一个交点为点 ，与 交于点 ，满足
，证明： 面积为定值，并求出该定值．
18（2023·河北·统考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ，过点 作直线 交 于点 ， .
(1)若 ，求直线 的斜率；
(2)设 ， 是 上异于 的点，且 ， ， 三点共线，求证： .19．（2023·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系 中，已知点 、 ， 的内切
圆与直线 相切于点 ，记点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线 上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接 .若直线 的
斜率与直线 的斜率之和为0，试比较 与 的大小.
20．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆 ， ， 为C的左右焦点.
点 为椭圆上一点，且 .过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、
PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点M满足 ，求M的轨迹方程.21．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆 ： 的长轴长是短轴长的2倍，直线
被椭圆截得的弦长为4．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设M，N，P，Q为椭圆 上的动点，且四边形MNPQ为菱形，原点О在直线MN上的垂足为点H，求H
的轨迹方程．
22（2023·海南海口·海南中学校考二模）已知过点 的直线 与双曲线 ： 的左右两支分别
交于 、 两点.
(1)求直线 的斜率 的取值范围；
(2)设点 ，过点 且与直线 垂直的直线 ，与双曲线 交于 、 两点.当直线 变化时，
恒为一定值，求点 的轨迹方程.23．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）的离心率
为 ，右顶点 到渐近线的距离等于 .
(1)求双曲线 的方程.
(2)点 ， 在 上，且 ，直线 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
24．（2023·福建三明·统考三模）已知 是椭圆 的右焦点， 为坐标原点， 为
椭圆上任意一点， 的最大值为 .当 时， 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；(2) 、 为椭圆的左、右顶点，点 满足 ，当 与 、 不重合时，射线 交椭圆 于点 ，
直线 、 交于点 ，求 的最大值.
25．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测） 中， 是边 上的点， ，
且 ．
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)若 内是否存在点 ，使得 ？若存在，求 ；若不存
在，说明理由．
26．（2023·河北·校联考三模）已知椭圆 ，其焦距为 ，连接椭圆 的四个顶点
所得四边形的面积为6．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 ，过点 作斜率不为0的直线交椭圆 于不同两点 ，求证：直线 与直线
所成的较小角相等．
27．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是
著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆
的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的面积为 ，
两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点 的直线 与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线 交于点F，试证明B，Q，F三点共线.28．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）椭圆 的焦距为 为椭圆右焦
点， .
(1)求椭圆 的方程与离心率；
(2)设 为原点， 为椭圆上一点， 的中点为 .直线 与直线 交于点 ，过 且平行于 的直
线与直线 交于点 .求证： .
29．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知椭圆C： 经过圆 ：
的圆心，C的左焦点F到圆 上的点的距离的最小值为 ．
(1)求C的标准方程．
(2)过点F作斜率之积为－1的两条直线 ， ， 与C相交于A，B两点， 与C相交于M，N两点，点
P，Q分别满足 ， ，问：直线PQ是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；
若不过定点，试说明理由．30．（2023·浙江·校联考三模）已知双曲线 为其左右焦点，点 为其右支上一点，
在 处作双曲线的切线 .
(1)若 的坐标为 ，求证： 为 的角平分线；
(2)过 分别作 的平行线 ，其中 交双曲线于 两点， 交双曲线于 两点，求 和
的面积之积 的最小值.
